- বৈশিষ্ট্য
- প্রকারভেদ
- প্রথম শ্রেণীর
- দ্বিতীয় গ্রেড
- দ্রাবক
- সর্বোচ্চ গ্রেড
- সমাধান ব্যায়াম
- প্রথম অনুশীলন
- সমাধান
- দ্বিতীয় অনুশীলন
- সমাধান
- তথ্যসূত্র
বহুপদী সমীকরণ এক বিবৃতিতে দুই এক্সপ্রেশন বা সদস্য, যেখানে পদ যে অন্তত এক সমতা উত্থাপন হয় আপ সমতার প্রতিটি পাশ polynomials p (x) আছে। এই সমীকরণগুলির নামগুলি তাদের ভেরিয়েবলগুলির ডিগ্রি অনুযায়ী নামকরণ করা হয়।
সাধারণভাবে, একটি সমীকরণ একটি বিবৃতি যা দুটি অভিব্যক্তির সমতা প্রতিষ্ঠিত করে, যেখানে এর মধ্যে কমপক্ষে একটিতে অজানা পরিমাণ রয়েছে, যাকে পরিবর্তনশীল বা অজানা বলা হয়। যদিও বিভিন্ন ধরণের সমীকরণ রয়েছে তবে এগুলিকে সাধারণত দুটি ধরণের শ্রেণিবদ্ধ করা হয়: বীজগণিত এবং ট্রান্সসেন্টেন্ট।
বহুপদী সমীকরণগুলিতে কেবল বীজগণিতিক ভাব থাকে, যা সমীকরণের সাথে জড়িত এক বা একাধিক অজানা থাকতে পারে। তাদের কাছে যে পরিমাণ এক্সটেনশন (ডিগ্রি) রয়েছে সে অনুসারে এগুলিকে শ্রেণিবদ্ধ করা যেতে পারে: প্রথম ডিগ্রি (রৈখিক), দ্বিতীয় ডিগ্রি (চতুর্ভুজ), তৃতীয় ডিগ্রি (ঘনক), চতুর্থ ডিগ্রি (কোয়ার্টিক), পাঁচটি এর চেয়ে বড় বা সমান এবং অযৌক্তিক
বৈশিষ্ট্য
বহুপদী সমীকরণগুলি এমন বহিঃপ্রকাশ যা দুটি বহুত্বের মধ্যে সমতা দ্বারা গঠিত হয়; এটি হ'ল অজানা (ভেরিয়েবল) এবং স্থির সংখ্যা (সহগুণ)গুলির মধ্যে সীমাবদ্ধ পরিমাণগুলির দ্বারা যেখানে ভেরিয়েবলের এক্সপোজার থাকতে পারে এবং তাদের মানটি শূন্য সহ একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার হতে পারে।
ক্ষয়কারীগণ ডিগ্রি বা সমীকরণের ধরণ নির্ধারণ করে। সর্বোচ্চ প্রকাশকারীর সাথে প্রকাশের শব্দটি বহুপদীটির পরম ডিগ্রি উপস্থাপন করে।
বহুবর্ষীয় সমীকরণগুলি বীজগণিত সমীকরণ হিসাবেও পরিচিত, তাদের সহগগুলি প্রকৃত বা জটিল সংখ্যা হতে পারে এবং ভেরিয়েবলগুলি একটি অক্ষর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা অজানা সংখ্যা, যেমন: "x"।
যদি পি (এক্স) এর ভেরিয়েবল "এক্স" এর জন্য কোনও মান প্রতিস্থাপন করে তবে ফলাফলটি শূন্য (0) এর সমান হয়, তবে সেই মানটি সমীকরণটি (এটি একটি সমাধান) সন্তুষ্ট করতে বলা হয়, এবং এটিকে সাধারণত বহুপথের মূল বলা হয়।
বহুবর্ষ সমীকরণ বিকাশ করার সময় আপনি সমস্ত শিকড় বা সমাধান সন্ধান করতে চান।
প্রকারভেদ
বহুবিধ সমীকরণ বিভিন্ন ধরণের রয়েছে, যা ভেরিয়েবলের সংখ্যা অনুসারে এবং তাদের প্রকাশকের ডিগ্রি অনুসারে পৃথক হয়।
সুতরাং, বহুপদী সমীকরণ - যেখানে এর প্রথম শব্দটি এমন একটি বহুপদী যা একটি একক অজানা, এটি বিবেচনা করে যে এর ডিগ্রিটি কোনও প্রাকৃতিক সংখ্যা হতে পারে (এন) এবং দ্বিতীয় শব্দটি শূন্য-, নিম্নলিখিত হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:
a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 1 * x 1 + a 0 * x 0 = 0
কোথায়:
- একটি এন, একটি এন -1 এবং 0 হ'ল আসল সহগ (সংখ্যা)।
- একটি এন শূন্য থেকে পৃথক।
- সূচক n হল একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যা সমীকরণের ডিগ্রি উপস্থাপন করে।
- x হল ভেরিয়েবল বা অনুসন্ধান করা অজানা।
বহুবর্ষীয় সমীকরণের পরম বা বৃহত্তর ডিগ্রি হ'ল বহুত্বীয় গঠনকারী সকলের মধ্যে সর্বাধিক মান সহকারে প্রকাশক; সুতরাং, সমীকরণগুলি হিসাবে শ্রেণিবদ্ধ করা হয়:
প্রথম শ্রেণীর
প্রথম ডিগ্রি বহুপদী সমীকরণ, লিনিয়ার সমীকরণ হিসাবেও পরিচিত, সেগুলি হ'ল ডিগ্রি (সবচেয়ে বড় ব্যয়কারী) 1 এর সমান, বহুপদীটি P (x) = 0 ফর্মের হয়; y একটি রৈখিক পদ এবং একটি স্বতন্ত্র শব্দ দ্বারা গঠিত। এটি নিম্নরূপ লিখিত হয়েছে:
ax + b = 0।
কোথায়:
- ক এবং খ প্রকৃত সংখ্যা এবং একটি ≠ 0।
- কুড়াল হল লিনিয়ার শব্দ।
- খ স্বাধীন শব্দ।
উদাহরণস্বরূপ, সমীকরণ 13x - 18 = 4x।
রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করার জন্য, অজানা এক্স থাকা সমস্ত শর্তাদি সাম্যের একদিকে যেতে হবে, এবং যার সমাধান নেই সেগুলি অন্য দিকে চলে গেছে, সমাধান করার জন্য এবং সমাধান পেতে:
13x - 18 = 4x
13x = 4x + 18
13x - 4x = 18
9x = 18
x = 18 ÷ 9
x = 2।
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের কেবল একটি সমাধান বা মূল রয়েছে, যা x = 2।
দ্বিতীয় গ্রেড
চতুর্ভুজ সমীকরণ হিসাবে পরিচিত দ্বিতীয়-ডিগ্রি বহুবর্ষীয় সমীকরণগুলি হ'ল ডিগ্রি (বৃহত্তম ব্যয়কারী) 2 সমান, একটি লিনিয়ার এবং একটি স্বতন্ত্র। এটি নিম্নলিখিত হিসাবে প্রকাশ করা হয়:
অক্ষ 2 + বিএক্স + সি = 0।
কোথায়:
- a, b এবং c হ'ল আসল সংখ্যা এবং a ≠ 0।
- ax 2 হল চতুষ্কোণ পদ, এবং "a" চতুর্ভুজ পদটির সহগ হয়।
- বিএক্স হল লিনিয়ার শব্দ, এবং "খ" হ'ল রৈখিক পদটির সহগ।
- গ স্বাধীন শব্দ।
দ্রাবক
সাধারণত, এই ধরণের সমীকরণের সমাধানটি সমীকরণ থেকে এক্স সাফ করার মাধ্যমে দেওয়া হয় এবং এটি নিম্নরূপে, যাকে বলা হয় সমাধান:
সেখানে (খ 2 - 4ac) সমীকরণের বৈষম্যমূলক বলা হয় এবং এই অভিব্যক্তিটি সমীকরণের কতগুলি সমাধান সমাধান করতে পারে তা নির্ধারণ করে:
- (b 2 - 4ac) = 0 হলে সমীকরণটির একক সমাধান হবে যা দ্বিগুণ; অর্থাৎ এটির দুটি সমান সমাধান হবে।
- (b 2 - 4ac)> 0 হলে সমীকরণের দুটি পৃথক বাস্তব সমাধান থাকবে have
- যদি (খ 2 - 4ac) <0 হয় তবে সমীকরণটির কোনও সমাধান নেই (এর দুটি পৃথক জটিল সমাধান হবে)।
উদাহরণস্বরূপ, আমাদের সমাধান করতে 4x 2 + 10x - 6 = 0 সমীকরণ রয়েছে, প্রথমে a, b এবং c পদগুলি শনাক্ত করুন এবং তারপরে সূত্রে এটি বিকল্প করুন:
a = 4
খ = 10
সি = -6।
এমন কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে দ্বিতীয় ডিগ্রি বহুত্ব সমীকরণের তিনটি পদই থাকে না এবং সে কারণেই এগুলি আলাদাভাবে সমাধান করা হয়:
- চতুর্ভুজ সমীকরণের ক্ষেত্রে রৈখিক শব্দটি থাকে না (যেমন, খ = 0), সমীকরণটি কুড়ালি 2 + সি = 0. হিসাবে প্রকাশ করা হবে এটি সমাধান করার জন্য, এক্স 2 এর জন্য সমাধান করুন এবং প্রতিটি সদস্যের বর্গমূলগুলি প্রয়োগ করুন স্মরণ করে যে দু'টি সম্ভাব্য চিহ্ন যা অজানা থাকতে পারে তা বিবেচনা করা উচিত:
অক্ষ 2 + সি = 0।
x 2 = - সি ÷ এ
উদাহরণস্বরূপ, 5 x 2 - 20 = 0।
5 এক্স 2 = 20
x 2 = 20 ÷ 5
x = ± √4
x = ± 2
x 1 = 2।
x 2 = -2।
- যখন চতুর্ভুজ সমীকরণের একটি স্বতন্ত্র শব্দ (যেমন, সি = 0) না থাকে তখন সমীকরণটি কুড়ালি 2 + বিএক্স = 0 হিসাবে প্রকাশ করা হবে এটি সমাধান করার জন্য, প্রথম সদস্যের অজানা এক্স এর সাধারণ উপাদানটি গ্রহণ করতে হবে; সমীকরণটি শূন্যের সমান হওয়ায় এটি সত্য যে কারণগুলির মধ্যে কমপক্ষে একটি 0 এর সমান হবে:
অক্ষ 2 + বিএক্স = 0।
x (ax + b) = 0।
সুতরাং, আপনি করতে হবে:
x = 0
x = -b ÷ a।
উদাহরণস্বরূপ: আমাদের 5x 2 + 30x = 0 সমীকরণ রয়েছে factor
5x 2 + 30x = 0
x (5x + 30) = 0।
দুটি উপাদান উত্পন্ন যা xy (5x + 30)। এটি বিবেচনা করা হয় যে এর মধ্যে একটির সমান হবে শূন্যের এবং অন্যটির সমাধান হবে:
x 1 = 0।
5x + 30 = 0
5x = -30
x = -30। 5
x 2 = -6।
সর্বোচ্চ গ্রেড
উচ্চতর ডিগ্রির বহুবিক সমীকরণগুলি হ'ল তৃতীয় ডিগ্রি থেকে যেগুলি প্রকাশিত হয় বা যে কোনও ডিগ্রির জন্য সাধারণ বহুপদী সমীকরণের সাথে প্রকাশ করা বা সমাধান করা যায়:
a n * x n + a n-1 * x n-1 +… + a 1 * x 1 + a 0 * x 0 = 0
এটি ব্যবহৃত হয় কারণ দুই এর চেয়ে বেশি ডিগ্রি সহ একটি সমীকরণ বহুবর্ষীয় ফ্যাক্টরিংয়ের ফলাফল; এটি হ'ল, এটি এক বা একাধিক ডিগ্রির বহুবচনগুলির গুণক হিসাবে প্রকাশ করা হয়েছে, তবে আসল শিকড় ছাড়াই।
এই ধরণের সমীকরণের সমাধান প্রত্যক্ষ, কারণ দুটি কারণের গুণনটি শূন্যের সমান হবে যদি কোনও কারণ শূন্য হয় (0); সুতরাং, প্রাপ্ত বহুভুজ সমীকরণগুলির প্রতিটি অবশ্যই সমাধান করতে হবে এবং তাদের প্রতিটি উপাদান শূন্যের সমান করে দিতে হবে।
উদাহরণস্বরূপ, আমাদের তৃতীয় ডিগ্রী সমীকরণ (কিউবিক) x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0. এটি সমাধান করার জন্য, নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করা আবশ্যক:
- পদগুলি গোষ্ঠীভুক্ত করা হয়েছে:
x 3 + x 2 + 4x + 4 = 0
(x 3 + x 2) + (4x + 4) = 0।
- অজানা সাধারণ কারণগুলি পেতে সদস্যরা পচা হয়:
x 2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0
(x 2 + 4) * (x + 1) = 0।
- এইভাবে, দুটি কারণ প্রাপ্ত হয়, যা শূন্যের সমান হতে হবে:
(x 2 + 4) = 0
(x + 1) = 0।
- এটি দেখা যায় যে ফ্যাক্টর (x 2 + 4) = 0 এর প্রকৃত সমাধান হবে না, যখন ফ্যাক্টর (x + 1) = 0 রয়েছে। সুতরাং সমাধানটি হ'ল:
(x + 1) = 0
x = -1।
সমাধান ব্যায়াম
নিম্নলিখিত সমীকরণগুলি সমাধান করুন:
প্রথম অনুশীলন
(2x 2 + 5) * (এক্স - 3) * (1 + এক্স) = 0।
সমাধান
এক্ষেত্রে সমীকরণটি বহুবর্ষের গুণ হিসাবে প্রকাশ করা হয়; এটি হল, এটি ফ্যাক্টরড। এটি সমাধানের জন্য, প্রতিটি ফ্যাক্টর অবশ্যই শূন্যের সমান সেট করা উচিত:
- 2x 2 + 5 = 0, এর কোনও সমাধান নেই।
- এক্স - 3 = 0
- এক্স = 3।
- 1 + x = 0
- এক্স = - 1।
সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণের দুটি সমাধান রয়েছে: x = 3 এবং x = -1।
দ্বিতীয় অনুশীলন
x 4 - 36 = 0
সমাধান
একটি বহুপদী দেওয়া হয়েছিল, যা দ্রুত সমাধানে পৌঁছানোর জন্য স্কোয়ারের পার্থক্য হিসাবে আবারও লেখা যেতে পারে। সুতরাং, সমীকরণটি হ'ল:
(x 2 + 6) * (x 2 - 6) = 0।
সমীকরণের সমাধান খুঁজতে, উভয় উপাদান শূন্যের সমান সেট করা হয়েছে:
(x 2 + 6) = 0, এর কোনও সমাধান নেই।
(x 2 - 6) = 0
x 2 = 6
x = ± √6।
সুতরাং, প্রাথমিক সমীকরণের দুটি সমাধান রয়েছে:
x = √6।
x = - √6।
তথ্যসূত্র
- আন্দ্রেস, টি। (2010)। গাণিতিক অলিম্পিয়াড ট্রেসার স্প্রিঙ্গের। নিউ ইয়র্ক
- অ্যাঞ্জেল, এআর (2007) প্রাথমিক বীজগণিত। পিয়ারসন শিক্ষা,.
- বায়ার, আর। (2012) লিনিয়ার বীজগণিত এবং প্রজেক্টিভ জ্যামিতি। কুরিয়ার কর্পোরেশন।
- বালডোর, এ। (1941)। বীজগণিত। হাভানা: সংস্কৃতি।
- কাস্তেসো, এইচএফ (2005)। গণনার পূর্বে গণনা। মেডেলিন বিশ্ববিদ্যালয়।
- ক্রিস্টাবাল সানচেজ, এমআর (2000) অলিম্পিক প্রস্তুতি গণিতের ম্যানুয়াল। জৌমে আই বিশ্ববিদ্যালয়
- ক্রেমলি পেরেজ, এমএল (1984) উচ্চ বীজগণিত আই।
- মাসারা, এনসি-এল। (উনিশশ পঁচানব্বই). গণিত 3।