এনগন: বৈশিষ্ট্য, কিভাবে একটি এনগন তৈরি করবেন, উদাহরণ EXAMPLES - গণিতশাস্ত্র

একটি এনিগন একটি বহুভুজ যা নয়টি পক্ষ এবং নয়টি শীর্ষে রয়েছে, যা নিয়মিত হতে পারে বা নাও পারে। এনিগোনো নামটি গ্রীক থেকে এসেছে এবং গ্রীক শব্দ এন্নিয়া (নয়) এবং গনন (কোণ) দিয়ে গঠিত।

নয়-পার্শ্বযুক্ত বহুভুজের বিকল্প নাম নোনগন, যা লাতিন শব্দ ননাস (নাইন) এবং গনন (ভার্টেক্স) থেকে এসেছে। অন্যদিকে, এনগননের পক্ষ বা কোণগুলি যদি একে অপরের সাথে অসম হয় তবে আপনার অনিয়মিত এনগন রয়েছে। অন্যদিকে, এনগননের সমস্ত নয়টি এবং নয়টি কোণ সমান হয়, তবে এটি নিয়মিত এনগন হয়।

চিত্র 1. নিয়মিত এনগন এবং অনিয়মিত এনগন। (নিজস্ব বিবরণ)

এনগন এর বৈশিষ্ট্য

বহু পাশের বহুভুজগুলির জন্য এর পাশের কোণগুলির সমষ্টি:

(n - 2) * 180º º

এনেগনে এটি n = 9 হবে, সুতরাং এর অভ্যন্তরীণ কোণগুলির যোগফলটি হ'ল:

সা = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º º

যে কোনও বহুভুজের ক্ষেত্রে তির্যকের সংখ্যাটি হ'ল:

ডি = এন (এন - 3) / 2 এবং এনগেনের ক্ষেত্রে, এন = 9 থেকে আমাদের ডি = 27 রয়েছে।

নিয়মিত এনেগন

নিয়মিত এনগন বা নোনগনে সমান পরিমাপের নয়টি (9) অভ্যন্তরীণ কোণ থাকে, সুতরাং প্রতিটি কোণ অভ্যন্তরীণ কোণগুলির মোট যোগফলের এক-নবতম পরিমাপ করে।

একটি এনিগনের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির পরিমাপটি তখন 1260º / 9 = 140º º

চিত্র 2. অ্যাপোথেম, ব্যাসার্ধ, পক্ষগুলি, কোণ এবং একটি নিয়মিত এনগনটির শীর্ষে। (নিজস্ব বিবরণ)

পার্শ্ব ডি সহ নিয়মিত এনিগনের ক্ষেত্রের সূত্রটি তৈরি করতে কিছু সহায়ক নির্মাণ যেমন সুবিধা 2 এ দেখানো হয়েছে তেমন সুবিধাজনক।

দুটি কেন্দ্রের দ্বিখণ্ডিতদের সনাক্ত করে কেন্দ্র O খুঁজে পাওয়া যায়। কেন্দ্রটি উল্লম্ব থেকে সমতুল্য।

দৈর্ঘ্যের r এর ব্যাসার্ধ হ'ল অংশটি O এর কেন্দ্র থেকে শুরু করে এনেগনের একটি শীর্ষ প্রান্তে। চিত্র 2 দৈর্ঘ্যের r- এর Radii OD এবং OE দেখায়।

এপোথেম হ'ল সেগমেন্ট যা কেন্দ্র থেকে এনেগনের একপাশের মাঝখানে যায়। উদাহরণস্বরূপ ওজে হ'ল একটি অ্যাপোথেম যার দৈর্ঘ্য হ'ল একটি।

পাশ এবং অ্যাপোথেম পরিচিত একটি এনিগনের ক্ষেত্রফল

আমরা চিত্র 2 এ ত্রিভুজ ODE বিবেচনা করি এই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলটি তার বেস ডিই এর পণ্য এবং উচ্চতা ওজে 2 দ্বারা বিভক্ত:

ওডিএ অঞ্চল = (ডিইডি * ওজে) / 2 = (ডি * এ) / 2

যেহেতু এনেগনে সমান ক্ষেত্রের 9 টি ত্রিভুজ রয়েছে, তাই এটি সিদ্ধান্ত নিয়েছে যে এর ক্ষেত্রফলটি হ'ল:

উপকূলের ক্ষেত্রফল = (9/2) (d * a)

পাশের একটি পরিচিত এনেগনের ক্ষেত্রফল

যদি কেবল এনিগনের পাশগুলির দৈর্ঘ্য ডি পরিচিত হয়, তবে পূর্ববর্তী বিভাগে সূত্রটি প্রয়োগ করতে অ্যাপোথেমের দৈর্ঘ্য সন্ধান করা প্রয়োজন।

আমরা জে ডান ত্রিভুজ ওজেই বিবেচনা করি (চিত্র 2 দেখুন)। যদি স্পর্শী ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রয়োগ করা হয়, আমরা প্রাপ্ত:

ট্যান (∡ ওইজে) = ওজে / ইজে।

কোণ ∡OEJ = 140º / 2 = 70 The, যেহেতু EO এনেগনের অভ্যন্তরীণ কোণের দ্বিখণ্ডক।

অন্যদিকে, ওজে দৈর্ঘ্যের অ্যাথোথেম এ।

তারপরে, যেহেতু জে ইডির মিডপয়েন্ট, এটি ইজে = ডি / ২ অনুসরণ করে।

আমাদের স্পর্শকাতর সম্পর্কের ক্ষেত্রে পূর্বের মানগুলি প্রতিস্থাপন করা:

ট্যান (70º) = a / (d / 2)।

এখন আমরা অ্যাপোথেমের দৈর্ঘ্য পরিষ্কার করেছি:

a = (d / 2) ট্যান (70º)।

পূর্ববর্তী ফলাফলটি পেতে অঞ্চল সূত্রে প্রতিস্থাপিত হয়:

এনেগনের ক্ষেত্রফল = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) ট্যান (70º))

অবশেষে, আমরা সূত্রটি আবিষ্কার করি যা নিয়মিত এনগেনের ক্ষেত্রটি পেতে অনুমতি দেয় যদি কেবল তার পাশের দৈর্ঘ্যের ডিটি পরিচিত হয়:

এনেগনের ক্ষেত্রফল = (9/4) ডি ² ট্যান (70º) = 6.1818 ডি ²

নিয়মিত এনিগনের পরিধিটি এর পার্শ্বটি পরিচিত

বহুভুজের পরিধি হল এর পক্ষের সমষ্টি। এনেগনের ক্ষেত্রে, উভয় পক্ষের প্রতিটি দৈর্ঘ্য d পরিমাপ করে, এর পরিধিটি নয় গুনের যোগফল হবে, যা:

পরিধি = 9 ডি

এনিগনের পরিধি এর ব্যাসার্ধ জানেন

জেতে ডান ত্রিভুজ ওজেই বিবেচনা করে (চিত্র 2 দেখুন), ট্রিগনোমেট্রিক কোসাইন অনুপাত প্রয়োগ করা হয়েছে:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / আর

এটি কোথা থেকে প্রাপ্ত হয়েছে:

d = 2r কোস (70º)

এই ফলাফলটি প্রতিস্থাপন করার পরে, আমরা এনেগনের ব্যাসার্ধের একটি কার্য হিসাবে পরিধিটির সূত্রটি পাই:

পরিধি = 9 ডি = 18 আর কোস (70º) = 6.1564 আর

কীভাবে নিয়মিত এনেগন বানাবেন

1- নিয়ামক এবং একটি কম্পাস সহ একটি নিয়মিত এনগন তৈরি করতে, এনগনটিকে পরিবেষ্টিত পরিধি গ থেকে শুরু করুন। (চিত্র 3 দেখুন)

2- পরিধিটির কেন্দ্রস্থল দিয়ে দুটি লম্ব লম্ব আঁকা। তারপরে একটি লাইনের একটি এবং বি ছেদগুলি পরিধির সাথে চিহ্নিত করা হয়।

3- কম্পাসের সাহায্যে, ইন্টারসেপ্ট বি-তে কেন্দ্র করে এবং ব্যাসার্ধের বিওয়ের সমান প্রারম্ভের সাথে একটি চাপ তোলা হয় যা একটি বিন্দু সিতে মূল পরিধিকে বাধা দেয়

চিত্র 3. নিয়মিত এনেগন তৈরির পদক্ষেপ। (নিজস্ব বিবরণ)

4- পূর্ববর্তী পদক্ষেপটি পুনরাবৃত্তি করা হয়েছে তবে এ এবং ব্যাসার্ধ এওতে একটি কেন্দ্র তৈরি করে, একটি চাপ তৈরি করা হয় যা পরিধি ই এর বিন্দুতে আটকায় c

5- এ তে এসি এবং কেন্দ্র খোলার সাথে সাথে পরিধির একটি চাপ তোলা হয়। একইভাবে বিই এবং কেন্দ্র বি খোলার সাথে সাথে আরও একটি তোরণ আঁকতে হবে। এই দুটি আরাকের ছেদটি পয়েন্ট জি হিসাবে চিহ্নিত হয়েছে।

G- জিতে কেন্দ্র করে এবং জিএ খোলার সাথে একটি চাপ তোলা হয় যা এইচ পয়েন্টে গৌণ অক্ষকে (এই ক্ষেত্রে অনুভূমিক) বাধা দেয় the মূল পরিধি সি সহ গৌণ অক্ষের ছেদটি চিহ্নিত করা হয়েছে I হিসাবে চিহ্নিত।

7- বিভাগের IH দৈর্ঘ্য এনেগনের পাশের দৈর্ঘ্যের d সমান।

8- কম্পাস খোলার সাথে সাথে IH = d, কেন্দ্র A ব্যাসার্ধের এজে, কেন্দ্র জে ব্যাসার্ধ একে, কেন্দ্র কে ব্যাসার্ধ কেএল এবং কেন্দ্র এল ব্যাসার্ধ এলপি এর ক্রমগুলি টানা অঙ্কিত হয়।

9- একইভাবে, এ থেকে শুরু করে এবং ডান দিক থেকে, রেডিয়াস আইএইচ = ডি এর আর্কগুলি অঙ্কিত হয় যে চিহ্নটি এম, এন, সি এবং কিউকে মূল পরিধির উপর চিহ্নিত করে গ।

10- অবশেষে বিভাগগুলি এজে, জে কে, কেএল, এলপি, এএম, এমএন, এনসি, সিকিউ এবং শেষ পর্যন্ত পিবি অঙ্কিত হয়।

এটি লক্ষ করা উচিত যে নির্মাণ পদ্ধতি সম্পূর্ণ সঠিক নয়, যেহেতু এটি যাচাই করা যেতে পারে যে শেষ দিকের পিবি অন্যান্য পক্ষের তুলনায় 0.7% দীর্ঘ। আজ অবধি, কোনও রুলার এবং কম্পাসের সাথে নির্মাণের কোনও পরিচিত পদ্ধতি নেই যা 100% সঠিক।

উদাহরণ

এখানে কিছু পরিশ্রমী উদাহরণ রয়েছে।

উদাহরণ 1

আমরা একটি নিয়মিত এনিগন তৈরি করতে চাই যার পক্ষের পরিমাপ 2 সেমি। কোন ব্যাসার্ধের অবশ্যই তার পরিধিটি পরিবেশন করা উচিত, যাতে পূর্বে বর্ণিত নির্মাণ প্রয়োগ করে কাঙ্ক্ষিত ফলাফল পাওয়া যায়?

পূর্ববর্তী বিভাগে, নিয়মিত এনগনের পাশের ঘরের সাথে সংক্ষিপ্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধের সাথে সম্পর্কিত সূত্রটি হ্রাস করা হয়েছিল:

d = 2r কোস (70º)

আমাদের কাছে থাকা পূর্বের এক্সপ্রেশন থেকে আর এর জন্য সমাধান করা:

আর = ডি / (2 কোস (70º)) = 1.4619 * ডি

পূর্বের সূত্রে d = 2 সেন্টিমিটারের মান প্রতিস্থাপন 2.92 সেন্টিমিটার ব্যাসার্ধকে দেয়।

উদাহরণ 2

পাশের 2 সেন্টিমিটার নিয়মিত এনিগনের ক্ষেত্রফল কত?

এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, আমাদের অবশ্যই আগে দেখানো সূত্রটি উল্লেখ করতে হবে, যা আমাদের পাশের দৈর্ঘ্যের দ্বারা একটি পরিচিত এনেগনের ক্ষেত্রটি খুঁজে পেতে দেয়: