একটি ভেক্টর স্পেস হ'ল একটি দুর্দান্ত সেট V = { u, v, w, ……}, যার উপাদানগুলি ভেক্টর। তাদের সাথে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ ক্রিয়াকলাপ পরিচালিত হয়, যার মধ্যে নিম্নলিখিতগুলি উপস্থিত রয়েছে:

- দুটি ভেক্টর u + v ফলাফল z এর মধ্যে যোগফল , যা ভীমের সেটের অন্তর্গত ।

- একটি ভেক্টর দিয়ে একটি বাস্তব সংখ্যার α গুণ বনাম: α বনাম অন্য ভেক্টর দান এবং একাত্মতার ভী ।

একটি ভেক্টর স্পেসের শৈল্পিক দৃষ্টি। সূত্র: পিক্সাবে

কোনও ভেক্টর বোঝাতে আমরা গা bold় (v একটি ভেক্টর) ব্যবহার করি, এবং স্কেলার বা সংখ্যার জন্য গ্রীক অক্ষর (α একটি সংখ্যা)।

অক্ষ এবং বৈশিষ্ট্য

একটি ভেক্টর স্থান দেওয়ার জন্য, নিম্নলিখিত আটটি অক্ষটি অবশ্যই রাখা উচিত:

1-পরিবহণযোগ্যতা: u + v = v + u

2-ট্রানজিটিভিটি: (ইউ + ভি) + ডাব্লু = ইউ + (ভি + ডাব্লু)

3-নাল ভেক্টরের অস্তিত্ব 0 যেমন 0 + ভি = ভি

4-বিপরীতটির উপস্থিতি: v এর বিপরীত (- v), যেহেতু v + (- v) = 0

ভেক্টরের যোগফলের সাথে পণ্যের 5-টির বিতরণ: α (u + v) = α u + α v

6-স্কেলারের যোগফলের সাথে পণ্যটির বিতরণ: (α + β) ভি = α ভি + β ভি

7-স্কেলার পণ্যটির সহযোগিতা: α (β v) = (α β) ভি

8-নম্বর 1 হ'ল নিরপেক্ষ উপাদান: 1 v = v

ভেক্টর স্পেসগুলির উদাহরণ

উদাহরণ 1

(R²) বিমানের ভেক্টরগুলি ভেক্টর স্পেসের উদাহরণ। সমতল একটি ভেক্টর একটি জ্যামিতিক বস্তু যা দৈর্ঘ্য এবং দিক আছে। এটি একটি ওরিয়েন্টেড সেগমেন্ট দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় যা বলা বিমানের অন্তর্গত এবং এর আকারের সাথে আনুপাতিক আকারের।

বিমানের দুটি ভেক্টরের যোগফলকে প্রথমটির পরে দ্বিতীয় ভেক্টরের জ্যামিতিক অনুবাদ অপারেশন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। যোগফলের ফলাফলটি হল ওরিয়েন্টেড সেগমেন্ট যা প্রথমটির উত্স থেকে শুরু হয়ে দ্বিতীয়টির শিখরে পৌঁছে।

চিত্রটিতে দেখা যাবে যে R² এর যোগফলটি পরিবর্তনশীল।

চিত্র 2. প্লেনের ভেক্টরগুলি ভেক্টর স্পেস তৈরি করে। সূত্র: স্বনির্মিত।

একটি সংখ্যা a এবং একটি ভেক্টরের পণ্যও সংজ্ঞায়িত করা হয়। যদি সংখ্যাটি ইতিবাচক হয় তবে মূল ভেক্টরের দিক রাখা হয় এবং আকারটি মূল ভেক্টরের চেয়ে α গুণ হয়। যদি সংখ্যাটি নেতিবাচক হয় তবে দিকটি বিপরীত হয় এবং ফলাফলযুক্ত ভেক্টরের আকার হ'ল সংখ্যার পরম মান value

যে কোনও ভেক্টরের v এর বিপরীতে ভেক্টরটি হ'ল - v = (- 1) v ।

নাল ভেক্টরটি R² বিমানের একটি বিন্দু, এবং কোনও ভেক্টর নাল ভেক্টরকে শূন্য বারের সংখ্যা দেয়।

যা বলা হয়েছে তা চিত্র 2 এ চিত্রিত হয়েছে।

উদাহরণ 2

ডিগ্রির শূন্য সহ দুটি বা তার সমান ডিগ্রির বহু বহুবর্ষের সেট পি একটি সেট তৈরি করে যা ভেক্টর স্পেসের সমস্ত অক্ষকে সন্তুষ্ট করে।

বহুবর্ষীয় পি (এক্স) = একটি x² + বিএক্স + সাই কিউ (এক্স) = ডি x² + প্রাক্তন + এফ দিন

দুটি বহুভুজের যোগফলকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: পি (এক্স) + কিউ (এক্স) = (এ + ডি) x² + (বি + ই) এক্স + (সি + এফ)

সেট পি এর অন্তর্ভুক্ত বহুবচনগুলির যোগফল পরিবর্তন এবং ট্রানজিটিভ।

সেট পি এর সাথে নাল বহুত্বীয়টি হ'ল এটির শূন্যের সমান তার সমস্ত সহগ রয়েছে:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

একটি বহুভুজের দ্বারা একটি স্কেলারের যোগফলকে সংজ্ঞায়িত করা হয়: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

পি (এক্স) এর বিপরীত বহুভুজ হ'ল -পি (এক্স) = (-1) পি (এক্স)।

উপরের সমস্তটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে দুটি এর চেয়ে কম বা সমান ডিগ্রির সমস্ত বহুবচনগুলির সেট পি একটি ভেক্টর স্পেস।

উদাহরণ 3

এম সারি এক্সএন কলামগুলির সকল ম্যাট্রিকের সেট এম, যার উপাদানগুলি আসল সংখ্যা হ'ল একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা ম্যাট্রিক এবং সংখ্যার পণ্য যোগ করার ক্রিয়াকলাপের সাথে একটি আসল ভেক্টর স্পেস গঠন করে।

উদাহরণ 4

রিয়েল ভেরিয়েবলের অবিচ্ছিন্ন ফাংশনগুলির সেট এফ একটি ভেক্টর স্পেস গঠন করে, যেহেতু দুটি ফাংশনের যোগফল, কোনও ফাংশন দ্বারা একটি স্কেলারের গুণ, নাল ফাংশন এবং প্রতিসম ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞা দেওয়া সম্ভব। তারা ভেক্টর স্পেসকে চিহ্নিত করে এমন অক্ষগুলিও পূর্ণ করে।

একটি ভেক্টর স্পেসের ভিত্তি এবং মাত্রা

ভিত্তি

একটি ভেক্টর স্পেসের বেসটি লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট ভেক্টরগুলির সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেগুলির একটি লিনিয়ার সংমিশ্রণ থেকে সেই ভেক্টর স্পেসের কোনও ভেক্টর তৈরি করা যায়।

দুই বা ততোধিক ভেক্টরকে রৈখিকভাবে সংমিশ্রণে কিছু ভাস্কর দ্বারা ভেক্টরকে গুণিত করা এবং তারপরে সেগুলি ভেক্টোরিয়ালি যুক্ত করা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, R³ দ্বারা গঠিত তিন মাত্রায় ভেক্টরগুলির ভেক্টর স্পেসে, ইউনিট ভেক্টরগুলি দ্বারা নির্ধারিত ক্যানোনিকাল ভিত্তি (1 মাত্রার 1) আই, জে, কে ব্যবহৃত হয় ।

যেখানে আমি = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); কে = (0, 0, 1) এগুলি হলেন কার্টেসিয়ান বা ক্যানোনিকাল ভেক্টর।

কোন ভেক্টর ভী R³ অন্তর্গত হিসাবে লেখা হয় ভী = একটি আমি + খ ঞ + C ট, যা বেস ভেক্টর একটি রৈখিক সমন্বয় আমি, ঞ, ট । একটি স্কেলার বা সংখ্যা a, b, c ভি এর কার্টেসিয়ান উপাদান হিসাবে পরিচিত ।

আরও বলা হয় যে ভেক্টর স্পেসের বেস ভেক্টরগুলি ভেক্টর স্পেসের জেনারেটর সেট গঠন করে।

মাত্রা

একটি ভেক্টর স্পেসের মাত্রা হল সেই জায়গার জন্য ভেক্টরের ভিত্তির কার্ডিনাল সংখ্যা; এটি হ'ল বেসটি তৈরি করে এমন ভেক্টরের সংখ্যা।

এই কার্ডিনাল হল সেই ভেক্টর স্পেসের সর্বাধিক সংখ্যক রৈখিক স্বতন্ত্র ভেক্টর এবং একই সাথে সর্বনিম্ন সংখ্যক ভেক্টরের সংখ্যা যা সেই জায়গার জেনারেটর সেট গঠন করে।

একটি ভেক্টর স্পেসের বেসগুলি অনন্য নয়, তবে একই ভেক্টর স্পেসের সমস্ত ঘাঁটিগুলির একই মাত্রা রয়েছে।

ভেক্টর সাবস্পেস

ভেক্টর স্পেস ভি এর ভেক্টর সাবস্পেস এস হ'ল ভি এর একটি উপসেট যা একই অপারেশনগুলিকে ভি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং সমস্ত ভেক্টর স্পেস অক্ষগুলি পূরণ করে। অতএব, উপসর্গ এস এছাড়াও একটি ভেক্টর স্পেস হবে।

ভেক্টর সাবস্পেসের উদাহরণ হ'ল ভেক্টর যা এক্সওয়াই প্লেনের অন্তর্ভুক্ত। এই উপ স্পেসটি ত্রি-মাত্রিক স্থান XYZ এর সাথে সম্পর্কিত ভেক্টরগুলির সেটের চেয়ে বেশি মাত্রিকতার ভেক্টর স্পেসের একটি উপসেট।

সত্য উপাদানগুলির সাথে সমস্ত 2 × 2 ম্যাট্রিকেস দ্বারা গঠিত ভেক্টর স্পেস এস এর ভেক্টর সাবস্পেস এস 1 এর আরেকটি উদাহরণ নীচে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

অন্যদিকে, নীচে সংজ্ঞায়িত এস 2, যদিও এটি এস এর একটি উপসেট, একটি ভেক্টর সাবস্পেস গঠন করে না:

সমাধান ব্যায়াম

-অনুশীলনী 1

ভেক্টরগুলিকে ভি 1 = (1, 1, 0) দিন; ভি 2 = (0, 2, 1) এবং ভি 3 = (0, 0, 3) আরে

ক) দেখান যে তারা রৈখিকভাবে স্বাধীন।

খ) দেখান যে তারা আরে ভিত্তি তৈরি করে, যেহেতু কোনও ট্রিপল (x, y, z) ভি 1, ভি 2, ভি 3 এর রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে রচনা করা যেতে পারে।

গ) ভি 1, ভি 2, ভি 3 বেসটিতে ট্রিপল ভি = (-3,5,4) এর উপাদানগুলি সন্ধান করুন ।

সমাধান

রৈখিক স্বাধীনতা প্রদর্শনের মানদণ্ডটি α, β এবং in এ নিম্নলিখিত সমীকরণগুলির সেট স্থাপনের অন্তর্ভুক্ত γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

যদি এই সিস্টেমের একমাত্র সমাধানটি α = β = γ = 0 হয় তবে ভেক্টরগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন, অন্যথায় তারা তা নয়।

Α, β এবং of এর মানগুলি অর্জন করার জন্য আমরা নীচের সমীকরণগুলির সিস্টেমটি প্রস্তাব করি:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

প্রথমটি α = 0, দ্বিতীয় α = -2 ∙ β বাড়ে তবে α = 0 এর পরে β = 0 হয়। তৃতীয় সমীকরণটি বোঝায় যে γ = (- 1/3) β, তবে β = 0 এর পরে γ = 0 হয়।

উত্তর

এটি উপসংহারে পৌঁছে যে এটি আরে রৈখিক স্বাধীন ভেক্টরগুলির একটি সেট ³

উত্তর খ

এবার V1, V2, V3 এর রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে ট্রিপল (x, y, z) লিখি।

(x, y, z) = α ভি 1 + β ভি 2 + γ ভি 3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = জেড

আপনার কোথায় আছে:

α = এক্স

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

প্রথমটি α = x, দ্বিতীয় β = (yx) / 2 এবং তৃতীয় γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3 নির্দেশ করে। এইভাবে আমরা আর এর যে কোনও ট্রিপলেট γ, β এবং ³ এর জেনারেটরগুলি পেয়েছি ³

উত্তর গ

V1, V2, V3 বেসটিতে ট্রিপল ভি = (-3,5,4) এর উপাদানগুলি সন্ধান করতে এগিয়ে চলুন ।

আমরা জেনারেটরের জন্য উপরের মত প্রকাশের সাথে সম্পর্কিত মানগুলি প্রতিস্থাপন করি।

এই ক্ষেত্রে আমাদের রয়েছে: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

এটাই:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

শেষ অবধি:

ভি = -3 ভি 1 + 4 ভি 2 + 0 ভি 3

আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে ভি 1, ভি 2, ভি 3 3 টি মাত্রার ভেক্টর স্পেস আর-তে একটি ভিত্তি তৈরি করে।

অনুশীলন 2

বহিরাগত P (টি) = t² + 4t -3 P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t এবং P3 (t) = t + 3 এর রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করুন।

সমাধান

পি (টি) = এক্স পি 1 (টি) + ওয়াই পি 2 (টি) + জেড পি 3 (টি)

যেখানে x, y, z সংখ্যা নির্ধারণ করতে হবে।

টি তে একই ডিগ্রি সহ গুণগুলি এবং গোষ্ঠীকরণের মাধ্যমে আমরা প্রাপ্ত:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t + + (-2x -3y + z) টি + (5x + 3z)

যা আমাদের নীচের সমীকরণের পদ্ধতিতে নিয়ে যায়:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

এই সমীকরণের পদ্ধতির সমাধানগুলি হ'ল:

x = -3, y = 2, z = 4

এটাই:

পি (টি) = -3 পি 1 (টি) + 2 পি 2 (টি) + 4 পি 3 (টি)

অনুশীলন 3

দেখান যে ভেক্টরগুলি v1 = (1, 0, -1, 2); ভি 2 = (1, 1, 0, 1) এবং আর এর v3 = (2, 1, -1, 1) রৈখিকভাবে স্বতন্ত্র।

সমাধান

আমরা সুসংগত তিন ভেক্টর মেশা v1 এ, v2, v3 এর ও চাহিদা যে সমন্বয় R⁴ এর নাল উপাদান যোগ করে

a v1 + b v2 + c v3 = 0

ঐটাই বলতে হবে, a (1, 0, -1, 2) + বি (1, 1, 0, 1) + সি (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

এটি আমাদের নীচের সমীকরণের সিস্টেমে নিয়ে যায়:

a + b + 2 c = 0

খ + সি = 0

-এ - সি = 0

2 এ + বি + সি = 0

আমাদের প্রথম এবং চতুর্থটি বিয়োগ করা হচ্ছে: -a + c = 0 যা বোঝায় a = c।

তবে আমরা যদি তৃতীয় সমীকরণটি দেখি তবে আমাদের কাছে এটি a = -c আছে। A = c = (- c) এর একমাত্র উপায় হ'ল গ এর 0 হবে এবং সুতরাং এটি 0 হবে 0

a = c = 0

যদি আমরা এই ফলাফলটিকে প্রথম সমীকরণে প্লাগ করি তবে আমরা সেই বি = 0 উপসংহারে পৌঁছেছি।

অবশেষে a = b = c = 0, যাতে এটির সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় যে ভেক্টরগুলি ভি 1, ভি 2 এবং ভি 3 লাইনারি স্বতন্ত্র।

তথ্যসূত্র

1. Lipschutz, S. 1993. লিনিয়ার বীজগণিত। দ্বিতীয় সংস্করণ. ম্যাকগ্রাও হিল। 167-198।