কারখানা: পদ্ধতি এবং উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

গুণকনির্ণয় একটি পদ্ধতি যার মাধ্যমে বহুপদী গুণ কারণের, যা সংখ্যা বা অক্ষর বা উভয় হতে পারে হিসাবে প্রকাশ করা হয়। ফ্যাক্টর করার জন্য, পদগুলির মধ্যে সাধারণ যে উপাদানগুলি একত্রে গোষ্ঠীভূত হয় এবং এইভাবে বহুভুজটি বিভিন্ন বহুবর্ষে বিভক্ত হয়।

সুতরাং, যখন কারণগুলি একসাথে বহুগুণ হয়, ফলাফলটি মূল বহুপদী হয়। বীজগণিতীয় ভাব প্রকাশের সময় ফ্যাক্টরিং একটি খুব কার্যকর পদ্ধতি, কারণ এটি বেশ কয়েকটি সরল পদগুলির গুণতে রূপান্তরিত হতে পারে; উদাহরণস্বরূপ: 2a ² + 2ab = 2a _* (এ + বি)।

এমন অনেকগুলি ক্ষেত্রে রয়েছে যেগুলিতে বহুবচনটি ফ্যাক্টর করা যায় না কারণ এর শর্তাদির মধ্যে কোনও সাধারণ কারণ নেই; সুতরাং, এই বীজগণিতীয় ভাবগুলি কেবল নিজের দ্বারা এবং 1 দ্বারা বিভাজ্য example উদাহরণস্বরূপ: x + y + z।

একটি বীজগণিতিক অভিব্যক্তিতে, সাধারণ উপাদানটি এটি রচনা করে এমন শর্তগুলির মধ্যে সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক।

ফ্যাক্টরিং পদ্ধতি

বেশ কয়েকটি ফ্যাক্টরিং পদ্ধতি রয়েছে, যা কেসের উপর নির্ভর করে প্রয়োগ করা হয়। এর কয়েকটি নিম্নরূপ:

সাধারণ উপাদান দ্বারা ফ্যাক্টরিং

এই পদ্ধতিতে যে সমস্ত কারণগুলি সাধারণ তা চিহ্নিত করা হয়; অর্থাৎ, যা অভিব্যক্তির পদে পুনরাবৃত্তি হয়। তারপরে বিতরণযোগ্য সম্পত্তি প্রয়োগ করা হয়, সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক নেওয়া হয়, এবং ফ্যাক্টরিং সম্পন্ন হয়।

অন্য কথায়, অভিব্যক্তির সাধারণ উপাদানটি চিহ্নিত করা হয় এবং প্রতিটি শব্দটি এর দ্বারা বিভক্ত হয়; ফলস্বরূপ শর্তাবলী গুণক প্রকাশ করার জন্য সর্বশ্রেষ্ঠ সাধারণ বিভাজক দ্বারা গুণিত হবে।

উদাহরণ 1

ফ্যাক্টর (b ² x) + (b ² y)

সমাধান

প্রথমে আপনি প্রতিটি পদটির সাধারণ ফ্যাক্টরটি সন্ধান করেন যা এই ক্ষেত্রে খ ^{2 হয়} এবং তারপরে শর্তগুলি সাধারণ ফ্যাক্টর দ্বারা নিম্নরূপে ভাগ করুন:

(বি ² এক্স) / বি ² = এক্স

(b ² y) / b ² = y।

অনুষঙ্গটি প্রকাশ করা হয়, ফলাফলটি শর্তাবলী দ্বারা সাধারণ গুণক:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y)।

উদাহরণ 2

ফ্যাক্টর (2 এ ² বি ³) + (³ এবি ²)।

সমাধান

এক্ষেত্রে আমাদের দু'টি কারণ রয়েছে যা প্রতিটি পদে পুনরাবৃত্তি হয় যা "ক" এবং "খ" হয় এবং এটি একটি শক্তিতে উত্থাপিত হয়। সেগুলি ফ্যাক্ট করার জন্য, দুটি পদটি তাদের দীর্ঘ আকারে প্রথমে পচে যায়:

2 _* ক _* এ _* বি _* বি _* বি + ৩ এ _* বি _* খ

এটি দেখা যেতে পারে যে দ্বিতীয় পদটিতে কেবল একবার ফ্যাক্টর "এ" পুনরাবৃত্তি হয় এবং ফ্যাক্টর "বি" এর মধ্যে দু'বার পুনরাবৃত্তি হয়; সুতরাং প্রথম মেয়াদে কেবল 2 টি অবধি, একটি গুণক "ক" এবং একটি ফ্যাক্টর "বি"; যদিও দ্বিতীয় মেয়াদে মাত্র 3 টি রয়ে গেছে।

অতএব, "ক" এবং "খ" এর পুনরাবৃত্তি বারগুলিতে প্রতিটি শব্দটির অবশিষ্ট কারণগুলি দ্বারা রচনা ও গুণিত হয়, যেমন চিত্রটিতে প্রদর্শিত হয়েছে:

গ্রুপিং ফ্যাক্টরিং

যেহেতু সব ক্ষেত্রে বহুবর্ষের বৃহত্তম সাধারণ বিভাজকটি স্পষ্টভাবে প্রকাশিত হয় না, বহুপদী এবং এভাবে ফ্যাক্টরটি পুনরায় লিখতে সক্ষম হওয়ার জন্য অন্যান্য পদক্ষেপগুলি করা প্রয়োজন।

এই পদক্ষেপগুলির মধ্যে একটি হ'ল বহুপথের শর্তাদি কয়েকটি গ্রুপে বিভক্ত করা এবং তারপরে সাধারণ ফ্যাক্টর পদ্ধতিটি ব্যবহার করা।

উদাহরণ 1

ফ্যাক্টর এসি + বিসি + বিজ্ঞাপন + বিডি।

সমাধান

4 টি কারণ রয়েছে যেখানে দুটি সাধারণ: প্রথম পদটিতে এটি «c» এবং দ্বিতীয়টিতে এটি «d» হয় » এইভাবে দুটি পদকে দলবদ্ধ করে পৃথক করা হয়েছে:

(এসি + বিসি) + (বিজ্ঞাপন + বিডি)।

এখন সাধারণ পদার্থের পদ্ধতি প্রয়োগ করা সম্ভব, প্রতিটি পদকে এর সাধারণ গুণক দ্বারা ভাগ করে এবং তারপরে ফলাফল হিসাবে পদগুলি দ্বারা এই সাধারণ ফ্যাক্টরটিকে আরও বৃদ্ধি করে:

(এসি + বিসি) / সি = এ + বি

(বিজ্ঞাপন + বিডি) / ডি = এ + বি

সি (এ + বি) + ডি (এ + বি)।

এখন আমরা একটি দ্বিপদী পেয়ে যা উভয় পদেই সাধারণ। এটি ফ্যাক্ট করতে, এটি অবশিষ্ট কারণগুলি দ্বারা গুণিত হয়; এইভাবে আপনাকে করতে হবে:

এসি + বিসি + বিজ্ঞাপন + বিডি = (সি + ডি) _* (এ + বি)।

পরিদর্শন ফ্যাক্টরিং

এই পদ্ধতিটি চতুর্ভুজ বহুপদীকে ফ্যাক্টর হিসাবে ব্যবহার করা হয়, একে ট্রিনোমিয়ালও বলা হয়; অর্থাৎ, যেগুলি অক্ষ ² ± বিএক্স + সি হিসাবে কাঠামোযুক্ত, যেখানে "ক" এর মান 1 থেকে পৃথক হয় এই পদ্ধতিটি তখনও ব্যবহৃত হয় যখন ত্রিকোণীয়টি ফর্ম x ² ± বিএক্স + সি এবং "ক" এর মান থাকে = 1।

উদাহরণ 1

ফ্যাক্টর x ² + 5x + 6।

সমাধান

আমাদের কাছে এক্স ² ± বিএক্স + সি ফর্মের একটি চতুষ্কোণ ত্রিকোণীয় রয়েছে । এটির ফ্যাক্টর করতে, আপনাকে প্রথমে দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যা গুণিত হওয়ার পরে, ফলস্বরূপ «c» (যা, 6) এর মান দেয় এবং তাদের যোগফল the বি »এর সমান হয়, যা 5 Those সংখ্যাগুলি 2 এবং 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5।

এইভাবে, এক্সপ্রেশনটি এভাবে সরলীকৃত হয়:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

প্রতিটি পদার্থ যুক্ত:

- (x ² + 2x) এর জন্য সাধারণ শব্দটি নেওয়া হয়: x (x + 2)

- এর জন্য (3x + 6) = 3 (x + 2)

সুতরাং, এক্সপ্রেশন:

x (x +2) + 3 (x +2)।

যেহেতু আমাদের দ্বিপদী রয়েছে, তাই প্রকাশকে হ্রাস করার জন্য আমরা এটিকে বাকী শর্তগুলি দিয়ে গুন করি এবং আমাদের করতে হবে:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3)।

উদাহরণ 2

ফ্যাক্টর 4 এ ² + 12 এ + 9 = 0।

সমাধান

আমাদের ফ্যাক্স অক্ষ ² We বিএক্স + সি এর একটি চতুর্ভুজীয় ত্রৈমাসিক রয়েছে এটির ফ্যাক্ট করতে, এক্স ^{2 এর} সহগ দ্বারা সম্পূর্ণ এক্সপ্রেশনটি গুণান; এই ক্ষেত্রে, 4।

4 এ ² + 12 এ +9 = 0

4 এ ² (4) + 12 এ (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 এ ² + 12 এ (4) + 36 = 0

4 ² এ ² + 12 এ (4) + 36 = 0

এখন আমাদের অবশ্যই দুটি সংখ্যার সন্ধান করতে হবে যা একে অপরের দ্বারা গুণিতকালে ফলাফলকে "সি" (যা 36) এর মান দেয় এবং যা যুক্ত হওয়ার পরে, "a" শব্দটির সহগ, যা 6 হয় give

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12।

এইভাবে 4 ² এ ² = 4 এ _* 4 এ বিবেচনায় নিয়ে এক্সপ্রেশনটি নতুন করে লেখা হয় । সুতরাং, বিতরণযোগ্য সম্পত্তি প্রতিটি শর্তে প্রযোজ্য:

(4 এ + 6) _* (4 এ + 6)।

অবশেষে, এক্সপ্রেশনটি ^{2 এর} সহগ দ্বারা ভাগ করা হয়; যা 4:

(চতুর্থ + 6) _* (চতুর্থ + 6) / 4 = ((চতুর্থ + 6) / 2) _* ((চতুর্থ + 6) / 2)

প্রকাশটি নিম্নরূপ:

4 এ ² + 12 এ +9 = (2 এ +3) _* (2 এ + 3)।

উল্লেখযোগ্য পণ্য সঙ্গে কারখানা

এমন ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে উপরোক্ত পদ্ধতিগুলির সাহায্যে বহুভুজকে পুরোপুরি ফ্যাক্ট করতে, এটি একটি খুব দীর্ঘ প্রক্রিয়াতে পরিণত হয়।

যে কারণে অসাধারণ পণ্যগুলির সূত্রগুলি দিয়ে একটি অভিব্যক্তি তৈরি করা যায় এবং এইভাবে প্রক্রিয়াটি সহজ হয়ে যায়। সর্বাধিক ব্যবহৃত ব্যবহৃত উল্লেখযোগ্য পণ্যগুলির মধ্যে রয়েছে:

- দুটি স্কোয়ারের পার্থক্য: (a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

- একটি অঙ্কের নিখুঁত বর্গ: একটি ² + 2ab + বি ² = (এ + বি) ²

- পার্থক্যের নিখুঁত বর্গ: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- দুটি কিউবের পার্থক্য: একটি ³ - বি ³ = (আব) _* (একটি ² + আব + বি ²)

- দুটি কিউবের সমষ্টি: একটি ³ - বি ³ = (এ + বি) _* (একটি ² - আব + বি ²)

উদাহরণ 1

ফ্যাক্টর (5 ² - এক্স ²)

সমাধান

এক্ষেত্রে দুটি স্কোয়ারের পার্থক্য রয়েছে; অতএব উল্লেখযোগ্য পণ্য সূত্র প্রয়োগ হয়:

(a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ²) = (5 - এক্স) _* (5 + এক্স)

উদাহরণ 2

ফ্যাক্টর 16x ² + 40x + 25 ²

সমাধান

এই ক্ষেত্রে, আপনার একটি যোগফলের একটি নিখুঁত বর্গক্ষেত্র রয়েছে, কারণ আপনি দুটি পদ বর্গক্ষেত্র চিহ্নিত করতে পারবেন, এবং যে শব্দটি রয়ে গেছে তা হ'ল প্রথম পদটির বর্গমূলের সাথে দ্বিতীয় পদটির বর্গমূলের দ্বারা দুটি গুণ করে।

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

প্রথম এবং তৃতীয় পদগুলির কেবলমাত্র বর্গাকার শিকড়গুলি গণনা করতে:

16 (16x ²) = 4x

25 (25 ²) = 5।

তারপরে দুটি ফলস্বরূপ পদটি অপারেশনের চিহ্ন দ্বারা পৃথকভাবে প্রকাশ করা হয় এবং সম্পূর্ণ বহুভুজটি স্কোয়ার করা হয়:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² ।

উদাহরণ 3

ফ্যাক্টর ^{27 এ 3} - খ ³

সমাধান

অভিব্যক্তিটি একটি বিয়োগকে প্রতিনিধিত্ব করে যেখানে দুটি কারণকে ঘনক্ষেত করা হয়েছে। তাদের ফ্যাক্ট করতে, কিউবসের পার্থক্যের উল্লেখযোগ্য পণ্যটির সূত্র প্রয়োগ করা হয়েছে, যা হ'ল:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

সুতরাং, ফ্যাক্টর হিসাবে, বাইনোমিয়ালের প্রতিটি টার্মের কিউব রুট নেওয়া হয় এবং প্রথম পদটির বর্গ দ্বারা গুণিত হয়, এবং দ্বিতীয়টির দ্বারা প্রথমটির গুণফল এবং দ্বিতীয় স্তরের বর্গক্ষেত্র হয়।

27a ³ - খ ³

³√ (27a ³) = 3 এ

³√ (-বি ³) = -বি

27a ³ - বো ³ = (3a - খ) _*

27a ³ - বো ³ = (3ab) _* (9a ² + + 3ab + খ ²)

রুফিনির নিয়মের সাথে ফ্যাক্টরিং

এই ডিগ্রিটি ব্যবহার করা হয় যখন আপনি দু'বারের বেশি ডিগ্রির বহুপদী থাকে, তখন কম ডিগ্রির বেশ কয়েকটি বহুবর্ষে অভিব্যক্তিটি সরল করতে।

উদাহরণ 1

ফ্যাক্টর Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

সমাধান

প্রথমে আমরা সেই সংখ্যার সন্ধান করি যা 12 এর বিভাজক, যা স্বতন্ত্র শব্দ; এগুলি হ'ল ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 এবং 12 ডলার।

তারপরে x এই মানগুলি দ্বারা সর্বনিম্ন থেকে সর্বোচ্চ পর্যন্ত প্রতিস্থাপন করা হবে এবং এইভাবে বিভাগটি কোনটি মানকে সঠিক হিসাবে নির্ধারণ করা হবে; অর্থাৎ, বাকিটি অবশ্যই 0:

x = -1

প্রশ্ন (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0।

x = 1

প্রশ্ন (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0।

x = 2

প্রশ্ন (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0।

এবং প্রতিটি বিভাজকের জন্য তাই। এই ক্ষেত্রে, প্রাপ্ত উপাদানগুলি x = -1 এবং x = 2 এর জন্য for

এখন রুফিনি পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়েছে, যার অনুসারে অভিব্যক্তিটির সহগগুলি পাওয়া যায় এমন উপাদানগুলির দ্বারা বিভক্ত হবে যাতে বিভাগটি যথাযথ হয়। বহুপদী পদগুলি সর্বোচ্চ থেকে সর্বনিম্ন ব্যয়কারীর কাছে অর্ডার করা হয়; সেক্ষেত্রে পরবর্তী ডিগ্রি সহ একটি পদ অনুপস্থিত থাকলে একটি 0 তার জায়গায় স্থাপন করা হয়।

সহগ বা নিম্নোক্ত চিত্রটিতে প্রদর্শিত স্কিমে অবস্থিত scheme

প্রথম সহগটি ডিভাইডার দ্বারা নিম্ন এবং গুণিত হয়। এই ক্ষেত্রে, প্রথম বিভাজক -1 হয় এবং ফলাফলটি পরবর্তী কলামে স্থাপন করা হয়। তার পরে প্রাপ্ত ফলাফলের সহগের মানটি উল্লম্বভাবে যুক্ত করা হয় এবং ফলাফলটি নীচে স্থাপন করা হয় placed এই পদ্ধতিটি শেষ কলাম পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি হয়।

তারপরে একই পদ্ধতিটি আবার পুনরাবৃত্তি করা হয়েছে তবে দ্বিতীয় বিভাজক (যা 2) এর সাথে কারণ অভিব্যক্তিটি এখনও সরল করা যেতে পারে।

সুতরাং, প্রাপ্ত প্রতিটি মূলের জন্য বহুপদী একটি শব্দ (x - a) থাকবে, যেখানে "ক" মূলের মান:

(এক্স - (-1)) _* (এক্স - 2) = (এক্স + 1) _* (এক্স - 2)

অন্যদিকে, এই পদগুলি অবশ্যই রাফিনির বিধি 1: 1 এবং -6 এর বাকী দ্বারা গুণিত করতে হবে, এটি এমন একটি কারণ যা একটি ডিগ্রি উপস্থাপন করে। এইভাবে যে ভাবটি গঠিত হয় তা হ'ল: (x ² + x - 6)।

রাফিনি পদ্ধতির মাধ্যমে বহুবর্ষের গুণগতকরণের ফলাফল পাওয়া:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (এক্স - 2) _* (এক্স ² + এক্স - 6)

শেষ অবধি, পূর্বের এক্সপ্রেশনটিতে উপস্থিত ডিগ্রি 2-এর বহুভুজটি (x + 3) (x-2) হিসাবে আবারও লেখা যেতে পারে। অতএব, চূড়ান্ত গুণনটি হ'ল:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2)।

তথ্যসূত্র

1. আর্থার গুডম্যান, এলএইচ (1996)। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সাথে বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতি। পিয়ারসন শিক্ষা.
2. জে, ভি। (2014)। পলিনোমিয়াল ফ্যাক্টরিং সম্পর্কে বাচ্চাদের কীভাবে শেখানো যায়।
3. ম্যানুয়েল মরিলো, এএস (এসএফ) অ্যাপ্লিকেশন সহ বেসিক গণিত।
4. রোলেস, পিএল (1997)। সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলিতে বহুপদী ফ্যাক্টেরাইজেশনের জন্য রৈখিক পদ্ধতি: তত্ত্ব এবং বাস্তবায়ন। ইউনিভার্সিটি এসেন।
5. শার্প, ডি (1987)। রিং এবং ফ্যাক্টরাইজেশন।