ইনজেক্টিভ ফাংশন: এটি কী, এটি কী এবং উদাহরণগুলির জন্য - গণিতশাস্ত্র - 2025

একটি ইনজেকশন ফাংশন কোডোমেনের একটি একক উপাদানের সাথে ডোমেনের উপাদানগুলির কোনও সম্পর্ক। ওয়ান-টু ওয়ান ফাংশন (1 - 1) হিসাবেও পরিচিত, তারা যেভাবে তাদের উপাদানগুলির সাথে সম্পর্কিত তার সাথে ফাংশনগুলির শ্রেণিবিন্যাসের অংশ।

কোডোমেনের একটি উপাদানটি কেবলমাত্র ডোমেনের একক উপাদানের চিত্র হতে পারে, এইভাবে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের মানগুলি পুনরাবৃত্তি করা যায় না।

সূত্র: লেখক।

এর একটি সুস্পষ্ট উদাহরণ হ'ল গ্রুপ এ-তে চাকরিপ্রাপ্ত পুরুষদের গ্রুপ করা, এবং বি বিতে সমস্ত আধিকারিকদের কাজ করা। ফাংশন এফ হবেন যা প্রতিটি কর্মীকে তার বসের সাথে যুক্ত করে। যদি প্রতিটি কর্মী এফ এর মাধ্যমে একটি আলাদা বসের সাথে যুক্ত থাকে তবে এফ একটি ইনজেকশন ফাংশন হবে ।

কোনও ক্রিয়াকলাপটিকে ইনজেকশন বিবেচনা করার জন্য, নিম্নলিখিতগুলি অবশ্যই পূরণ করতে হবে:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

এই বলে এর বীজগাণিতিক উপায় যে x এর জন্য ₁ বিভিন্ন এক্স থেকে ₂ আমরা একটি f (x আছে ₁) f (x থেকে আলাদা ₂)।

ইনজেকশন ফাংশন কি জন্য?

ইনজেকটিভিটি হ'ল ক্রমাগত ফাংশনগুলির একটি সম্পত্তি, যেহেতু তারা ডোমেনের প্রতিটি উপাদানগুলির জন্য চিত্রগুলির কার্যনির্বাহীকরণ নিশ্চিত করে, যা কোনও ফাংশনের ধারাবাহিকতার জন্য একটি প্রয়োজনীয় দিক aspect

ইনজেকশন ফাংশনের গ্রাফে এক্স অক্ষের সমান্তরাল একটি রেখা অঙ্কন করার সময়, গ্রাফটি কেবলমাত্র একটি বিন্দুতে স্পর্শ করা উচিত, ওয়াই লাইনটির উচ্চতা বা প্রস্থটি কী আঁকবে তা নির্বিশেষে নয় । এটি কোনও ক্রিয়াকলাপের ইনজেকটিভিটি পরীক্ষা করার গ্রাফিকাল উপায়।

পরীক্ষা আরেকটি উপায় একটি ফাংশন যদি injective স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের সমাধানে হয় এক্স নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল পরিপ্রেক্ষিতে ওয়াই তারপর এটি যাচাই করা আবশ্যক যদি এই নতুন অভিব্যক্তি ডোমেইনের বাস্তব সংখ্যার রয়েছে, প্রতিটি মানের জন্য একই সময়ে ওয়াই এক্স এর একক মান আছে

ক্রিয়াকলাপ বা আদেশ সম্পর্ক মান্য করে, অন্যান্য উপায়ে, স্বীকৃতি F: D _f → C _f

F পড়তে হয় যা ডি _ফ থেকে সি _{চ এ যায়}

যেখানে ফাংশন এফ ডোমেন এবং কোডোমাইন সেটগুলি সম্পর্কিত করে । প্রারম্ভিক সেট এবং সমাপ্তি সেট হিসাবেও পরিচিত।

ডোমেন ডি _f এ স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের জন্য অনুমোদিত মান রয়েছে। কোডোমেন সি _f নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের জন্য উপলব্ধ সমস্ত মান নিয়ে গঠিত। D _f এর সাথে সি _f এর উপাদানগুলি ফাংশনের ব্যাপ্তি (R _f) হিসাবে পরিচিত ।

ফাংশন কন্ডিশনার

কখনও কখনও কোনও ফাংশন যা ইনজেকশন নয় তা নির্দিষ্ট শর্তে পড়তে পারে। এই নতুন শর্তগুলি এটিকে একটি ইনজেকশন ফাংশন তৈরি করতে পারে । ফাংশনের ডোমেন এবং কোডোমেনে সমস্ত ধরণের পরিবর্তনগুলি বৈধ, যেখানে উদ্দেশ্য সম্পর্কিত সম্পর্কের ইনজেকটিভিটির বৈশিষ্ট্যগুলি পূরণ করা।

সমাধান ব্যায়াম সহ ইনজেকশন ফাংশনগুলির উদাহরণ

উদাহরণ 1

F: R → R ফাংশনটি F (x) = 2x - 3 রেখা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক

উত্তর:

সূত্র: লেখক।

এটি লক্ষ্য করা যায় যে ডোমেনের প্রতিটি মানের জন্য কোডোমেনে একটি চিত্র থাকে। এই চিত্রটি অনন্য যা যা এফটিকে একটি ইনজেকশন ফাংশন করে তোলে। এটি সমস্ত লিনিয়ার ফাংশনগুলিতে প্রযোজ্য (ফাংশন যার ভেরিয়েবলের সর্বোচ্চ ডিগ্রি এক)।

সূত্র: লেখক।

উদাহরণ 2

F: R → R ফাংশনটি F (x) = x ² +1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক

সূত্র: লেখক

একটি অনুভূমিক রেখা অঙ্কন করার সময়, এটি গ্রাফটি একাধিক উপলক্ষে পাওয়া যায় এমনটি পর্যবেক্ষণ করা হয়। এই কারণে ফাংশন এফ যতদিন injective নয় আর → আর সংজ্ঞায়িত করা হয়

আমরা ফাংশনের ডোমেনটিকে শর্ত করতে এগিয়ে চলেছি:

ফ: আর ⁺ ইউ {0} → আর

সূত্র: লেখক

এখন স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল নেতিবাচক মান গ্রহণ করে না, এইভাবে পুনরাবৃত্তি করা ফলাফলগুলি এড়ানো হয় এবং এফ (এক্স) = x ² + 1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত F: R ⁺ U {0} → R ফাংশনটি ইনজেক্টিভ হয় ।

আরেকটি হোমলজাস সমাধান হ'ল ডোমেনটি বামদিকে সীমাবদ্ধ করা, অর্থাৎ কেবলমাত্র negativeণাত্মক এবং শূন্য মানের জন্য ফাংশনকে সীমাবদ্ধ করা।

আমরা ফাংশনের ডোমেনটিকে শর্ত করতে এগিয়ে চলি

এফ: আর ^- ইউ {0} → আর

সূত্র: লেখক

এখন স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল নেতিবাচক মান নেয় না, ফলস্বরূপ পুনরাবৃত্তি হওয়া ফলাফলগুলি এড়ানো হয় এবং F: x ^- U } 0} → R এফ (এক্স) = x ² + 1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয় ইনজেক্টিভ ।

ত্রিকোণমিত্রিক ফাংশনগুলির তরঙ্গের মতো আচরণ রয়েছে, যেখানে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের মানগুলির পুনরাবৃত্তিগুলি খুঁজে পাওয়া খুব সাধারণ। এই ফাংশনগুলির পূর্ব জ্ঞানের উপর ভিত্তি করে নির্দিষ্ট কন্ডিশনার মাধ্যমে আমরা ইনজেকটিভিটির শর্তগুলি পূরণ করতে ডোমেনটিকে সংকীর্ণ করতে পারি।

উদাহরণ 3

F: → R ফাংশনটি F (x) = Cos (x) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক

ব্যবধানে কোসাইন ফাংশন তার ফলাফলগুলি শূন্য এবং একের মধ্যে পরিবর্তিত করে।

সূত্র: লেখক।

যেমন গ্রাফ দেখা যাবে। এটি শূন্য থেকে x = - π / 2 এ শুরু হয়, তারপরে সর্বোচ্চ শূন্যে পৌঁছায়। এটি x = 0 এর পরে যখনই x = π / 2 এ শূন্যে ফিরে না আসে ততক্ষণ মানগুলি পুনরাবৃত্তি করতে শুরু করে । এইভাবে এটি পরিচিত যে F (x) = Cos (x) অন্তরের জন্য ইনজেকশন নয় ।

F (x) = Cos (x) ফাংশনের গ্রাফ অধ্যয়ন করার সময়, বিরতিগুলি পর্যবেক্ষণ করা হয় যেখানে বক্রের আচরণটি ইনজেকটিভিটির মানদণ্ডের সাথে মানিয়ে নেয়। যেমন অন্তর

যেখানে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের কোনও মান পুনরাবৃত্তি না করে ফাংশনটি ফলাফল 1 থেকে -1 পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়।

এইভাবে ফাংশন ফাংশন এফ: (আর এফ (এক্স) = কোস (এক্স) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে । এটি ইনজেকশনযুক্ত

ননলাইনার ফাংশন রয়েছে যেখানে একই রকম ঘটনা ঘটে। যুক্তিযুক্ত ধরণের অভিব্যক্তির জন্য, যেখানে ডিনোমিনেটরে কমপক্ষে একটি ভেরিয়েবল রয়েছে, এমন কিছু বিধিনিষেধ রয়েছে যা সম্পর্কের ইনজেকটিভিটি রোধ করে।

উদাহরণ 4

F: R → R ফাংশনটি এফ (এক্স) = 10 / এক্স দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক

ফাংশনটি real 0 except ব্যতিরেকে সমস্ত আসল সংখ্যার জন্য নির্ধারিত হয় যার অনির্দিষ্টত্ব রয়েছে (এটি শূন্য দ্বারা ভাগ করা যায় না) ।

নির্ভরশীল চলক বাম থেকে শূন্যের কাছে যাওয়ার সাথে সাথে এটি খুব বড় নেতিবাচক মান গ্রহণ করে এবং শূন্যের সাথে সাথেই, নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের মানগুলি বড় ধনাত্মক চিত্র গ্রহণ করে take

এই ব্যাহত অভিব্যক্তি তোলে এফ: আর → আর দ্বারা সংজ্ঞায়িত f (x) = 10 / এক্স

ইনজেকশন না।

পূর্ববর্তী উদাহরণগুলিতে দেখা গেছে, ডোমেনে মানগুলি বাদ দেওয়া এই অনির্দিষ্টকালের "মেরামত" করে। আমরা ডোমেন থেকে শূন্যকে বাদ দিয়ে এগিয়ে চলতে শুরু করি এবং নীচের হিসাবে সংজ্ঞায়িত সেটগুলি শেষ করে:

আর - {0} → আর

যেখানে আর - {0} এমন এক সেট ব্যতীত বাস্তবের প্রতীক হয়ে থাকে যার একমাত্র উপাদানটি শূন্য।

এইভাবে F: R - {0} → R টি F (x) = 10 / x দ্বারা সংজ্ঞায়িত করাটি ইঞ্জেকশনযুক্ত।

উদাহরণ 5

F: → R ফাংশনটি এফ (এক্স) = সেন (এক্স) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক

ব্যবধানে সাইন ফাংশন তার ফলাফলগুলি শূন্য এবং একের মধ্যে পরিবর্তিত করে।

সূত্র: লেখক।

যেমন গ্রাফ দেখা যাবে। এটি শূন্য থেকে x = 0 এ শুরু হয় এবং তারপরে সর্বাধিক x = at / 2 এ পৌঁছায় । এটা পরে এক্স = π / 2 যে মূল্যবোধ, পুনরাবৃত্তি শুরু না হওয়া পর্যন্ত তারা এ শূন্য ফিরে আসতে এক্স = π। এইভাবে এটি পরিচিত যে এফ (এক্স) = সেন (এক্স) বিরতির জন্য ইনজেকশন নয় ।

F (x) = সেন (এক্স) ফাংশনের গ্রাফ অধ্যয়ন করার সময়, বিরতিগুলি পর্যবেক্ষণ করা হয় যেখানে বক্রের আচরণটি ইনজেকটিভিটির মানদণ্ডের সাথে মানিয়ে নেয়। যেমন অন্তর

যেখানে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের কোনও মান পুনরাবৃত্তি না করে ফাংশনটি ফলাফল 1 থেকে -1 পর্যন্ত পরিবর্তিত হয়।

এইভাবে F: → R ফাংশনটি এফ (এক্স) = সেন (এক্স) দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে । এটি ইনজেকশনযুক্ত

উদাহরণ 6

F (x) = টান (এক্স) দ্বারা নির্ধারিত F: → R ফাংশনটি পরীক্ষা করুন

এফ: → আর এফ (এক্স) = কোস (এক্স + 1) দ্বারা সংজ্ঞায়িত

F: R → R রেখাটি F (x) = 7x + 2 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে

তথ্যসূত্র

1. যুক্তি এবং সমালোচনামূলক চিন্তাভাবনার পরিচিতি। মেরিলি এইচ। সালমন পিটসবার্গ বিশ্ববিদ্যালয়
2. গাণিতিক বিশ্লেষণে সমস্যা। পাইওটর বেলার, আলফ্রেড উইটকোস্কি। রোকলা বিশ্ববিদ্যালয়। পোল্যান্ড.
3. বিমূর্ত বিশ্লেষণের উপাদানসমূহ। মাচেল ও'সার্কয়েড পিএইচডি। গণিত বিভাগ। বিশ্ববিদ্যালয় কলেজ ডাবলিন, বেলফিল্ড, ডাবলিন্ড ৪।
4. যুক্তি এবং অনুদান বিজ্ঞানের পদ্ধতি সম্পর্কে পরিচিতি। আলফ্রেড তারস্কি, নিউ ইয়র্ক অক্সফোর্ড। অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস.
5. গাণিতিক বিশ্লেষণের নীতিমালা। এনরিক লিন্স এসকার্ডে সম্পাদকীয় রিভার্টé এস এ 1991. বার্সেলোনা স্পেন।