একটি সার্জেক্টিভ ফাংশন এমন কোনও সম্পর্ক যেখানে কোডোমেনের অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি উপাদানটি ডোমেনের কমপক্ষে একটি উপাদানের একটি চিত্র। একটি খামের ক্রিয়াকলাপ হিসাবেও পরিচিত, তারা যেভাবে তাদের উপাদানগুলির সাথে সম্পর্কিত তার সাথে ফাংশনগুলির শ্রেণিবিন্যাসের অংশ।

উদাহরণস্বরূপ একটি ফাংশন এফ: এ → বি এফ (এক্স) = 2 এক্স দ্বারা সংজ্ঞায়িত

কোনটি পড়া হয় " এফ থেকে যায় একটি থেকে বি দ্বারা সংজ্ঞায়িত f (x) = 2x"

আপনাকে এ এবং বি শুরু এবং সমাপ্তি সংজ্ঞায়িত করতে হবে

উত্তর: {1, 2, 3, 4, 5} এখন এফের মধ্যে মূল্যায়ন করার সময় এই উপাদানগুলির প্রত্যেকটি যে মান বা চিত্র দেবে তা হবে কোডোমেনের উপাদান।

চ (1) = 2

এফ (2) = 4

চ (3) = 6

চ (4) = 8

চ (5) = 10

সুতরাং সেট বি গঠন : {2, 4, 6, 8, 10}

এটি তখনই উপসংহারে পৌঁছানো যায়:

এফ: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10 F এফ (এক্স) = 2x দ্বারা সংজ্ঞায়িত এটি একটি surjective ফাংশন

কোডোমেনের প্রতিটি উপাদান অবশ্যই প্রশ্নযুক্ত ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের কমপক্ষে একটি অপারেশন থেকে ফলাফল হতে পারে। চিত্রগুলির কোনও সীমাবদ্ধতা নেই, কোডোমেনের একটি উপাদান ডোমেনের একাধিক উপাদানের একটি চিত্র হতে পারে এবং এখনও একটি surjative ফাংশন চেষ্টা করে ।

ছবিতে surjective ফাংশন সহ 2 টি উদাহরণ দেখানো হয়েছে ।

সূত্র: লেখক

প্রথমটিতে, এটি পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে যে ফাংশনের নজরদারি ছাড়াই চিত্রগুলি একই উপাদানকে উল্লেখ করা যেতে পারে ।

দ্বিতীয়টিতে আমরা ডোমেন এবং চিত্রগুলির মধ্যে একটি সমান বিতরণ দেখতে পাই। এটি বাইজিক ফাংশনকে জন্ম দেয়, যেখানে ইনজেকশন ফাংশন এবং সার্জেক্টিভ ফাংশনটির মানদণ্ড অবশ্যই মেনে নেওয়া উচিত ।

সার্জেক্টিভ ফাংশন শনাক্ত করার জন্য আরেকটি পদ্ধতি হ'ল কোডোমেন ফাংশনের র‌্যাঙ্কের সমান কিনা তা যাচাই করা। এর অর্থ এই যে আগত সেটটি যদি স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের মূল্যায়ন করার সময় ফাংশন দ্বারা সরবরাহিত চিত্রগুলির সমান হয় তবে ফাংশনটি surjective হয়।

প্রোপার্টি

একটি ক্রিয়াকলাপ surjective বিবেচনা করতে, নিম্নলিখিত অবশ্যই পূরণ করা আবশ্যক:

চলুন F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = খ

এটিই বীজগণিত পদ্ধতিতে প্রতিষ্ঠিত করার জন্য যে সি " _f " এর অন্তর্গত প্রতিটি "বি" এর জন্য একটি "ক" রয়েছে যা ডি _{চ এর সাথে সম্পর্কিত} যে ফাংশন এফ "ক" এর মূল্যায়ন "বি" সমান হয়।

সার্জেক্টিভিটি হ'ল ফাংশনগুলির বিশিষ্টতা, যেখানে কোডোমেন এবং ব্যাপ্তি সমান। সুতরাং, ফাংশনে মূল্যায়ন করা উপাদানগুলি আগমন সেট আপ করে।

ফাংশন কন্ডিশনার

কখনও কখনও surjective না একটি ফাংশন কিছু শর্ত সাপেক্ষে হতে পারে। এই নতুন শর্তাবলী এটি একটি surjative ফাংশন করতে পারে ।

ফাংশনের ডোমেন এবং কোডোমেনের সমস্ত ধরণের পরিবর্তনগুলি বৈধ, যেখানে উদ্দেশ্য সম্পর্কিত সম্পর্কের ক্ষেত্রে সার্জেক্টিভিটি বৈশিষ্ট্যগুলি পূরণ করা।

উদাহরণ: সমাধান ব্যায়াম

সার্জেটিভিটির শর্ত পূরণের জন্য, কোডোমেনের প্রতিটি উপাদান ফাংশনের চিত্রগুলির সেটের মধ্যে রয়েছে তা নিশ্চিত করার জন্য এটি বিভিন্ন কন্ডিশনার কৌশল প্রয়োগ করতে হবে।

অনুশীলনী 1

• F: R → R ফাংশনটি F (x) = 8 - x রেখা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক

উত্তর:

সূত্র: লেখক

এই ক্ষেত্রে, ফাংশনটি একটি অবিচ্ছিন্ন রেখা বর্ণনা করে, যা এর ডোমেন এবং ব্যাপ্তি উভয়তেই সমস্ত আসল সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত করে। যেহেতু ফাংশন পরিসীমা আর _চ codomain সমান আর এটা যে পর্যবসিত করা যেতে পারে:

F: R → R রেখা দ্বারা নির্ধারিত F (x) = 8 - x একটি surjective ফাংশন।

এটি সমস্ত লিনিয়ার ফাংশনগুলিতে প্রযোজ্য (ফাংশন যার ভেরিয়েবলের সর্বোচ্চ ডিগ্রি এক)।

অনুশীলন 2

• এফ (এক্স) = এক্স ² দ্বারা সংজ্ঞায়িত F: R → R ফাংশনটি অধ্যয়ন করুন : এটি কোনও surjective ফাংশন কিনা তা নির্ধারণ করুন । যদি তা না হয় তবে সার্জেটিভ করার জন্য প্রয়োজনীয় শর্তাদি প্রদর্শন করুন।

সূত্র: লেখক

অ্যাকাউন্টে নেওয়া প্রথম জিনিসটি হ'ল এফের কোডোমেন, যা আসল সংখ্যা আর গঠিত হয় the ফাংশনটির নেতিবাচক মান অর্জনের কোনও উপায় নেই, যা সম্ভাব্য চিত্রগুলি থেকে নেতিবাচক বাস্তবকে বাদ দেয়।

অন্তর অন্তর কোডোমেন কন্ডিশনার। কোডোমেনের উপাদানগুলি এফ এর মাধ্যমে সম্পর্কিত না করা এড়ানো যায় ।

ইমেজগুলি স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের জোড়াগুলির জন্য পুনরাবৃত্তি করা হয়, যেমন x = 1 এবং x = - 1। তবে এটি কেবল ফাংশনের ইনজেস্টিভিটিকে প্রভাবিত করে, এই গবেষণার জন্য সমস্যা না হয়ে।

এই উপায়ে এই সিদ্ধান্তে পৌঁছানো যায় যে:

চ: র → । এই ব্যবধানটি ক্রিয়াকলাপের surjectivity অর্জনের জন্য কোডোমেনকে শর্ত করে।

F: R → F (x) = সেন (এক্স) দ্বারা সংজ্ঞায়িত এটি একটি surjative ফাংশন

F: R → F (x) = Cos (x) দ্বারা সংজ্ঞায়িত এটি একটি surjective ফাংশন

অনুশীলন 4

• ফাংশন অধ্যয়ন

এফ:).পুষ ({});

সূত্র: লেখক

ফাংশন f (x) = ± √x বিশেষত্ব এটি "X" এর প্রতিটি মান 2 নির্ভরশীল ভেরিয়েবল সংজ্ঞায়িত হয়েছে। অর্থাৎ, পরিসীমাটি ডোমেনে তৈরি প্রতিটিটির জন্য 2 টি উপাদান সরবরাহ করে। "X" এর প্রতিটি মানের জন্য একটি ধনাত্মক এবং নেতিবাচক মান অবশ্যই যাচাই করা উচিত।

প্রারম্ভিক সেটটি পর্যবেক্ষণ করার সময়, এটি লক্ষ করা যায় যে ডোমেনটি ইতিমধ্যে সীমাবদ্ধ করা হয়েছে, এটি এমনকি মূলের মধ্যে নেতিবাচক সংখ্যার মূল্যায়ন করার সময় উত্পাদিত অনির্দিষ্টতা এড়াতে।

ফাংশনের পরিসরটি পরীক্ষা করার সময়, এটি লক্ষ করা যায় যে কোডোমেনের প্রতিটি মান সীমার সাথে সম্পর্কিত।

এই উপায়ে এই সিদ্ধান্তে পৌঁছানো যায় যে:

এফ: [0, ∞) → আর দ্বারা সংজ্ঞায়িত f (x) = ± √x এটা একটা surjective ফাংশন

অনুশীলন 4

• F (x) = Ln x ফাংশনটি অধ্যয়ন করুন যদি এটি কোনও surjative ফাংশন হয় । উপস্থিতি এবং প্রস্থান শর্তটি সার্জেসিটিভিটির মানদণ্ডে ফাংশনটি ফিট করতে পারে।

সূত্র: লেখক

গ্রাফে প্রদর্শিত হিসাবে, ফাংশন F (x) = Ln x শূন্যের চেয়ে বড় "x" মানের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়। "এবং" এর মানগুলি বা চিত্রগুলি যে কোনও আসল মান নিতে পারে।

এইভাবে আমরা এফ (এক্স) এর ডোমেনটি অন্তর (0, ∞) পর্যন্ত সীমাবদ্ধ করতে পারি

যতক্ষণ ফাংশনটির পরিসরটি আসল সংখ্যাগুলির সেট হিসাবে রাখা যেতে পারে ।

এটি বিবেচনা করে, এটি উপসংহারে পৌঁছে যেতে পারে যে:

F: [0, ∞) → R দ্বারা সংজ্ঞায়িত F (x) = Ln x এটি একটি surjective ফাংশন

অনুশীলন 5

• F (x) = - x - এর পরম মান ফাংশনটি অধ্যয়ন করুন এবং আগমন এবং প্রস্থান সেটগুলি নির্ধারণ করুন যা সার্জেসিভিটির মানদণ্ডের সাথে মিলিত হয়।

সূত্র: লেখক

ফাংশনের ডোমেনটি সমস্ত আসল সংখ্যার জন্য পূর্ণ হয় আর এই পদ্ধতিতে, একমাত্র কন্ডিশনটি কোডোমেইনে করা উচিত, এই বিষয়টি বিবেচনা করে যে পরম মান ফাংশনটি কেবল ইতিবাচক মান নেয়।

আমরা একই র‌্যাঙ্কের সমান ফাংশনের কোডোমেন প্রতিষ্ঠা করতে এগিয়ে যাই

[0, ∞)

এখন এটি উপসংহারে পৌঁছানো যায় যে:

এফ: [0, ∞) → আর দ্বারা সংজ্ঞায়িত f (x) = - এক্স - এটা একটা surjective ফাংশন

প্রস্তাবিত অনুশীলন

1. নিম্নলিখিত ফাংশনগুলি surjective কিনা তা পরীক্ষা করুন:

• এফ: (0, ∞) → আর দ্বারা সংজ্ঞায়িত f (x) = লগ (এক্স + 1 টি)
• এফ: আর → আর এফ (এক্স) = x ³ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে
• এফ: আর → [1, ∞) এফ (এক্স) = এক্স ² + 1 দ্বারা সংজ্ঞায়িত
• [0, ∞) → আর দ্বারা সংজ্ঞায়িত f (x) = লগ (2x + + 3)
• এফ: আর → আর এফ (এক্স) = সেক এক্স দ্বারা সংজ্ঞায়িত
• এফ: আর - {0} → আর এফ (এক্স) = 1 / এক্স দ্বারা সংজ্ঞায়িত

তথ্যসূত্র

1. যুক্তি এবং সমালোচনামূলক চিন্তাভাবনার পরিচিতি। মেরিলি এইচ। সালমন পিটসবার্গ বিশ্ববিদ্যালয়
2. গাণিতিক বিশ্লেষণে সমস্যা। পাইওটর বেলার, আলফ্রেড উইটকোস্কি। রোকলা বিশ্ববিদ্যালয়। পোল্যান্ড.
3. বিমূর্ত বিশ্লেষণের উপাদানসমূহ। মাচেল ও'সার্কয়েড পিএইচডি। গণিত বিভাগ। বিশ্ববিদ্যালয় কলেজ ডাবলিন, বেলফিল্ড, ডাবলিন্ড ৪
4. যুক্তি এবং অনুদান বিজ্ঞানের পদ্ধতি সম্পর্কে পরিচিতি। আলফ্রেড তারস্কি, নিউ ইয়র্ক অক্সফোর্ড। অক্সফোর্ড ইউনিভার্সিটি প্রেস.
5. গাণিতিক বিশ্লেষণের নীতিমালা। এনরিক লিন্স এসকার্ডে সম্পাদকীয় রিভার্টé এস এ 1991. বার্সেলোনা স্পেন।