ট্রান্সসিডেন্ট ফাংশন: প্রকার, সংজ্ঞা, বৈশিষ্ট্য, উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

প্রাথমিক তুরীয় ফাংশন exponentials, লগারিদমিক, ত্রিকোণমিতিক, বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন, হাইপারবোলিক এবং ইনভারস হাইপারবোলিক ফাংশন আছে। এটি হ'ল তারা হ'ল বহুবর্ষের মাধ্যমে বহুপদী বা বহুবর্ষের শিকড়ের একটি অংশ দ্বারা প্রকাশ করা যায় না।

অ-প্রাথমিক প্রাথমিক ট্রান্সসেন্টেন্ট ফাংশনগুলি বিশেষ ফাংশন হিসাবেও পরিচিত এবং এর মধ্যে ত্রুটি ফাংশনটির নাম দেওয়া যেতে পারে। বীজগণিতীয় ফাংশন (বহুভুজ, বহুবচনগুলির মূল অংশ এবং বহুভুজের শিকড়) একসাথে প্রাথমিক ট্রান্সসেন্টেন্টাল ফাংশনগুলি গণিতের মধ্যে যা প্রাথমিক ফাংশন হিসাবে পরিচিত বলে চিহ্নিত করে।

ট্রান্সসিডেন্ট ফাংশনগুলিকেও বিবেচনা করা হয় যা ট্রান্সেন্ডেন্টেন্ট ফাংশনগুলির মধ্যে বা ট্রান্সসেন্টেন্ট এবং বীজগণিত ফাংশনগুলির মধ্যে ক্রিয়াকলাপগুলির ফলে ঘটে। এই ক্রিয়াকলাপগুলি হ'ল: ফাংশনের সমষ্টি এবং পার্থক্য, ফাংশনের পণ্য এবং ভাগফল, পাশাপাশি দুটি বা আরও বেশি ফাংশনের সংমিশ্রণ।

সংজ্ঞা এবং বৈশিষ্ট্য

ব্যাখ্যামূলক কাজ

এটি ফর্মের আসল স্বাধীন ভেরিয়েবলের আসল কাজ function

f (x) = a ^ x = a ^x

যেখানে a কে একটি নির্দিষ্ট ধনাত্মক আসল সংখ্যা (a> 0) বলা হয়। সারফ্লেক্স বা সুপারস্ক্রিপ্ট সম্ভাব্য অপারেশন বোঝাতে ব্যবহৃত হয়।

আসুন a = 2 বলুন তাহলে ফাংশনটি এরকম দেখাচ্ছে:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

যা স্বাধীন ভেরিয়েবল এক্স এর বেশ কয়েকটি মানের জন্য মূল্যায়ন করা হবে:

নীচে একটি গ্রাফ দেওয়া হয়েছে যেখানে বেজ ই (নেপার নম্বর ই ≃ 2.72) সহ বেসের বিভিন্ন মানের জন্য সূচকীয় ফাংশনটি উপস্থাপিত হয়। বেস ইটি এত গুরুত্বপূর্ণ যে আমরা সাধারণত কোনও এক্সফোনেনশিয়াল ফাংশনের কথা বলি যা আমরা e ^ x, যা এক্সপ (এক্স) হিসাবেও চিহ্নিত করা হয়।

চিত্র 1. বেসের বিভিন্ন মানগুলির জন্য এক্সফেনশনিয়াল ফাংশন a ^ x। (নিজস্ব বিবরণ)

সূচকীয় ফাংশনের বৈশিষ্ট্য

চিত্র 1 থেকে এটি লক্ষ্য করা যায় যে ঘাতক ক্রিয়াকলাপগুলির ডোমেনটি আসল সংখ্যা (ডোম এফ = আর) এবং পরিসীমা বা পথটি ইতিবাচক বাস্তব (রণ এফ = আর ⁺) হয়।

অন্যদিকে, বেস ক এর মান নির্বিশেষে, সমস্ত ঘনিষ্ঠ ফাংশনগুলি বিন্দু (0, 1) এবং বিন্দু (1, ক) এর মধ্য দিয়ে যায়।

যখন বেস a> 1, তখন ফাংশনটি বাড়ছে এবং যখন 0 <a <1 ফাংশনটি হ্রাস পাচ্ছে।

Y = a ^ x এবং y = (1 / a) ^ x এর বক্ররেখগুলি Y অক্ষের প্রতিসাম্য।

A = 1 কেস ব্যতীত, সূচকীয় ফাংশনটি ইনজেকশনযুক্ত, অর্থাত্ চিত্রের প্রতিটি মানের সাথে এক এবং শুধুমাত্র একটি সূচনা মানকে সামঞ্জস্য করে।

লোগারিদমিক ফাংশন

এটি সংখ্যার লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে বাস্তব স্বাধীন পরিবর্তনশীলের আসল কাজ। একটি সংখ্যা x এর উপর ভিত্তি করে লগারিদম হল y সংখ্যাটি যেখানে আর্গুমটি x পেতে বেসটি উত্থাপন করতে হবে:

লগ _এ (x) = y ⇔ a ^ y = এক্স

এটি হ'ল লগারিদম ফাংশন ভিত্তিক এক্সফোনেনশিয়াল ফাংশনের বিপরীত ফাংশন।

উদাহরণ স্বরূপ:

লগ ₂ 1 = 0, যেহেতু 2 ^ 0 = 1

অন্য কেস, লগ ₂ 4 = 2, কারণ 2 ^ 2 = 4

2 এর মূল লোগারিদম লগ ₂ √2 = ½, কারণ 2 because ½ = √2

লগ ₂ ¼ = -2, যেহেতু 2 ^ (- 2) = ¼

নীচে বিভিন্ন বেসগুলিতে লোগারিদম ফাংশনের একটি গ্রাফ দেওয়া আছে।

চিত্র 2. বেস বিভিন্ন মান জন্য তাত্পর্যপূর্ণ ফাংশন। (নিজস্ব বিবরণ)

লগারিদম ফাংশনের বৈশিষ্ট্য

লগারিদম ফাংশন ওয়াই (X) = ডোমেইনের লগ ইন করুন একটি (x) এর ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা আর + + । ভ্রমণের পরিসর বা আসল সংখ্যাগুলি আর ।

ভিত্তি নির্বিশেষে, লগারিদম ফাংশন সর্বদা বিন্দু (1,0) এর মধ্য দিয়ে যায় এবং বিন্দু (ক, 1) function ফাংশনের গ্রাফের অন্তর্গত।

ক্ষেত্রে বেসটি unityক্যের চেয়ে বৃহত্তর (এ> 1) লগারিদম ফাংশনটি বাড়ছে। তবে যদি (0 <a <1) তবে এটি হ্রাসযোগ্য ফাংশন।

সাইন, কোসিন এবং স্পর্শকাতর কার্যাদি

সাইন ফাংশনটি একটি আসল সংখ্যা এবং প্রতিটি এক্স মানকে নির্ধারণ করে, যেখানে এক্স রেডিয়েন্সে একটি কোণের পরিমাপকে উপস্থাপন করে। একটি কোণের সেনের (x) মান অর্জন করতে, কোণটি একক বৃত্তে উপস্থাপিত হয় এবং উল্লম্ব অক্ষের উপরের কোণটির প্রজেকশনটি সেই কোণটির সাথে সম্পর্কিত সাইন is

X1, X2, X3 এবং X4 বিভিন্ন কৌণিক মানগুলির জন্য ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত এবং সাইন নীচে প্রদর্শিত হয়েছে (চিত্র 3 এ)।

চিত্র 3. ট্রাইগনোমেট্রিক বৃত্ত এবং বিভিন্ন কোণের সাইন। (নিজস্ব বিবরণ)

এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, সেন (এক্স) ফাংশনটির সর্বাধিক মান 1 হতে পারে যা x = π / 2 + 2π n হয়, যেখানে n একটি পূর্ণসংখ্যা হয় (0, ± 1, ± 2,)। এক্স = 3π / 2 + 2π এন হলে ফাংশন সেন (এক্স) নিতে পারে এমন সর্বনিম্ন মানটি ঘটে।

কোসাইন ফাংশন y = Cos (x) একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে তবে কৌণিক অবস্থানগুলির P1, P2 ইত্যাদির প্রক্ষেপণ ত্রিকোণমিত্রিক বৃত্তের অনুভূমিক অক্ষের উপর সঞ্চালিত হয়।

অন্যদিকে, y = টান (এক্স) ফাংশনটি সাইন ফাংশন এবং কোসাইন ফাংশনের মধ্যে ভাগফল।

নীচে সেন (এক্স), কোস (এক্স) এবং টান (এক্স) অতিক্রমকারী ফাংশনগুলির একটি গ্রাফ রয়েছে

চিত্র 4. ট্রান্সসেন্টেন্ট ফাংশনগুলির গ্রাফ, সাইন, কোসিন এবং স্পর্শক। (নিজস্ব বিবরণ)

ডেরাইভেটিভস এবং সংহত

সূচকীয় ফাংশনের ডেরাইভেটিভ

এক্সফোনেনশিয়াল ফাংশনের y = a ^ x এর ডেরিভেটিভ y হ'ল ফাংশনটি a ^ x বেস a এর প্রাকৃতিক লোগারিদমের দ্বারা গুণিত হয়:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

বেস ই এর বিশেষ ক্ষেত্রে, এক্সফোনেনশিয়াল ফাংশনের ডেরাইভেটিভ হ'ল এক্সফেনশনাল ফাংশন।

সূচকীয় ফাংশনের ইন্টিগ্রাল

^ X এর অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য হ'ল ফাংশনটি নিজেই বেসের প্রাকৃতিক লোগারিদম দ্বারা বিভক্ত।

বেস ই এর বিশেষ ক্ষেত্রে, এক্সফোনেনশিয়াল ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য হ'ল এক্সফেনশনাল ফাংশন।

সঞ্চারিত ফাংশনগুলির ডেরাইভেটিভস এবং ইন্টিগ্রালগুলির সারণী

নীচে প্রধান ট্রান্সসিডেন্ট ফাংশনগুলির সংক্ষিপ্তসার সারণি, তাদের ডেরাইভেটিভস এবং অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালগুলি (অ্যান্টিডেরিভেটিভস) রয়েছে:

কিছু ট্রান্সসিডেন্ট ফাংশনের জন্য ডেরিভেটিভস এবং অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের সারণী। (নিজস্ব বিবরণ)

উদাহরণ

উদাহরণ 1

ফ (x) = x ^ 3 ফাংশনটি জি (এক্স) = কোস (এক্স) এর সাথে ফাংশনটির সংশ্লেষের ফলে ফাংশনটি সন্ধান করুন:

(কুয়াশা) (x) = f (g (x)) = কোস ³ (এক্স)

এটির ডেরাইভেটিভ এবং এর অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য হ'ল:

উদাহরণ 2

ফাংশন জি দিয়ে ফাংশন জি এর রচনাটি সন্ধান করুন, যেখানে জি এবং এফ পূর্ববর্তী উদাহরণে নির্ধারিত ফাংশন:

(gof) (x) = g (f (x)) = কোস (x ³)

এটি লক্ষ করা উচিত যে ফাংশনগুলির সংমিশ্রণ কোনও পরিবহণমূলক ক্রিয়াকলাপ নয়।

এই ফাংশনের জন্য ডেরাইভেটিভ এবং অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য যথাক্রমে:

অবিচ্ছেদ্যটি ইঙ্গিত করা হয়েছে কারণ প্রাথমিক ফাংশনগুলির সংমিশ্রণ হিসাবে ফলাফলটি লেখা সম্ভব নয়।

তথ্যসূত্র

1. একক চলকের ক্যালকুলাস। রন লারসন, ব্রুস এইচ। এডওয়ার্ডস। কেনেজ লার্নিং, 10 নভেম্বর 2008
2. অন্তর্নিহিত ফাংশন উপপাদ্য: ইতিহাস, তত্ত্ব এবং অ্যাপ্লিকেশন। স্টিভেন জি ক্রান্টজ, হ্যারল্ড আর পার্কস। স্প্রিঞ্জার সায়েন্স অ্যান্ড বিজনেস মিডিয়া, নভেম্বর। 2012
3. মাল্টিভেয়ারেবল বিশ্লেষণ। সতীশ শিরালি, হরকৃষ্ণ লাল বাসুদেব। স্প্রিংজার সায়েন্স অ্যান্ড বিজনেস মিডিয়া, ১৩ ডিসেম্বর। 2010
4. সিস্টেম ডায়নামিক্স: মডেলিং, সিমুলেশন এবং মেখ্যাট্রোনিক সিস্টেমগুলির নিয়ন্ত্রণ। ডিন সি কর্নোপ্প, ডোনাল্ড এল মার্গোলিস, রোনাল্ড সি রোজেনবার্গ। জন উইলি অ্যান্ড সন্স, Mar মার্চ 2012
5. ক্যালকুলাস: গণিত এবং মডেলিং। উইলিয়াম বাউলড্রি, জোসেফ আর ফিডলার, ফ্রাঙ্ক আর জিওর্ডানো, এড লোদি, রিক ভিট্রেয়। অ্যাডিসন ওয়েসলি লংম্যান, ২ জানুয়ারী 1999
6. উইকিপিডিয়া। অতুলনীয় ফাংশন। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.com.com থেকে