হোমোথেসি: বৈশিষ্ট্য, প্রকার এবং উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

প্রসারণ সমতল যা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু নামক সেন্টার (হে) থেকে, দূরত্বের একটি সাধারণ গুণক দ্বারা গুন করা হয় একটি জ্যামিতিক পরিবর্তন। এইভাবে, প্রতিটি পয়েন্ট পি রূপান্তরকরণের অন্য একটি বিন্দু পি 'পণ্যের সাথে মিলে যায় এবং এগুলি বিন্দু ও এর সাথে সারিবদ্ধ হয় are

সুতরাং, হোমোথ্যাসি দুটি জ্যামিতিক চিত্রের মধ্যে চিঠিপত্রের কথা, যেখানে রূপান্তরিত পয়েন্টগুলিকে হোমোমেটিক বলা হয় এবং এগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর সাথে এবং একে অপরের সাথে সমান্তরাল বিভাগগুলির সাথে একত্রিত হয়।

Homothecy

হোমোথেসি এমন একটি রূপান্তর যা একত্রিত ইমেজ ধারণ করে না, কারণ একটি চিত্র থেকে মূল চিত্রের চেয়ে এক বা একাধিক বা আরও বেশি আকারের চিত্র প্রাপ্ত হবে; এর অর্থ এই যে, সমকামিতা বহুভুজকে অন্য একটি অনুরূপ রূপান্তরিত করে।

হোমোথ্যাসিটি সম্পাদন করার জন্য, পয়েন্ট টু পয়েন্ট এবং লাইন টু লাইনের সাথে মিল থাকতে হবে, যাতে সমকামী পয়েন্টগুলির জোড়গুলি তৃতীয় নির্দিষ্ট পয়েন্টের সাথে একত্রিত হয় যা সমকামীতার কেন্দ্রস্থল।

তেমনি, তাদের সাথে যুক্ত হওয়া লাইনের জোড়গুলি সমান্তরাল হতে হবে। এই জাতীয় বিভাগগুলির মধ্যে সম্পর্ক একটি ধ্রুবককে বলা হয় হোমোথেসি রেশিও (কে); এমনভাবে যে সমকামিতাটিকে সংজ্ঞায়িত করা যায়:

এই ধরণের রূপান্তরটি সম্পাদন করার জন্য, আমরা একটি স্বেচ্ছাসেবী পয়েন্টটি বেছে নিয়ে শুরু করি, যা হবে হোমোথেসির কেন্দ্র।

এই বিন্দু থেকে, রূপটির পরিবর্তনের জন্য চিত্রটির প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর জন্য লাইন বিভাগগুলি অঙ্কিত। নতুন আকারের প্রজননটি যে স্কেলে তৈরি করা হয়েছে তা সমকামী (কে) এর অনুপাত দ্বারা দেওয়া হয়।

প্রোপার্টি

হোমোথ্যাসির প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি হ'মোমেটিক কারণ (কে) দ্বারা, সমস্ত হোমোথেটিক চিত্র একই হয়। অন্যান্য অসামান্য সম্পত্তিগুলির মধ্যে নিম্নরূপ:

- হোমোথেসিয়ার কেন্দ্র (ও) একমাত্র ডাবল পয়েন্ট এবং এটি নিজের মধ্যে রূপান্তরিত হয়েছে; যে, এটি পৃথক হয় না।

- কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যে রেখাগুলি প্রবেশ করে তারা নিজেরাই রূপান্তরিত হয় (সেগুলি দ্বিগুণ) তবে এটি রচনা করে এমন পয়েন্টগুলি দ্বিগুণ নয়।

- যে রেখাগুলি কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায় না তারা সমান্তরাল লাইনে রূপান্তরিত হয়; এইভাবে, সমকামী কোণগুলি একই থাকে।

- কেন্দ্র ও ও অনুপাতের কে এর সমকামী দ্বারা বিভাগের চিত্র এটির সমান্তরাল এবং এর দৈর্ঘ্যের কে এর চেয়ে বহুগুণ। উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত চিত্রটিতে যেমন দেখা যায়, সমকামিতার দ্বারা খণ্ডিত এবি'র ফলস্বরূপ অন্য একটি বিভাগ 'এ'বি'র ফলস্বরূপ হবে, যেমন এ বি''এ'ব'র সমান্তরাল হবে এবং কেটি হবে:

- মোটর কোণগুলি একত্রিত হয়; যে, তাদের একই পরিমাপ আছে। সুতরাং, একটি কোণের চিত্র একটি কোণ যা একই প্রশস্ততা রয়েছে amp

অন্যদিকে, আমাদের রয়েছে যে সমকামিতা তার অনুপাতের (কে) এর মান হিসাবে একটি ফাংশন হিসাবে পরিবর্তিত হয় এবং নিম্নলিখিত বিষয়গুলি ঘটতে পারে:

- যদি ধ্রুবক কে = 1, সমস্ত পয়েন্ট স্থির হয় কারণ তারা নিজেরাই রূপান্তর করে। সুতরাং, মোটরগঠিত চিত্রটি মূলটির সাথে মিলে যায় এবং রূপান্তরটিকে পরিচয় ফাংশন বলা হবে।

- কে ≠ 1 হলে, একমাত্র নির্দিষ্ট পয়েন্টটি হটোমেটিক (ও) এর কেন্দ্র হবে।

- যদি কে = -1, হোমোথেসি একটি কেন্দ্রীয় প্রতিসম (সি) হয়ে যায়; অর্থাত্ C কাছাকাছি একটি ঘূর্ণন ঘটে, 180 একটি কোণ সময়ে ^বা ।

- কে> 1, রূপান্তরিত চিত্রের আকারটি মূলের আকারের চেয়ে বড় হবে।

- যদি 0 <কে <1 হয় তবে রূপান্তরিত আকারের আকারটি আসলটির চেয়ে ছোট হবে।

- যদি -1 <কে <0 হয় তবে রুপান্তরিত চিত্রের আকার আরও কম হবে এবং এটি মূলটির সাথে সম্মান করে ঘোরানো হবে।

- যদি কে <-1, রুপান্তরিত চিত্রের আকার বড় হবে এবং এটি মূলটির সাথে সম্মান করে ঘোরানো হবে।

প্রকারভেদ

হোমোথেসিটি তার অনুপাতের (কে) এর মানের উপর নির্ভর করে দুটি প্রকারেও শ্রেণিবদ্ধ করা যেতে পারে:

প্রত্যক্ষ সমাগম

এটি ঘটে যদি ধ্রুবক কে> 0; অর্থাত্ হটোম্যাটিক পয়েন্টগুলি কেন্দ্রের প্রতি শ্রদ্ধার সাথে একই দিকে রয়েছে:

সরাসরি মোটরগাছের পরিসংখ্যানগুলির মধ্যে অনুপাতের গুণক বা মিলের অনুপাত সর্বদা ধনাত্মক হবে।

বিপরীত সমকামীতা

এটি ঘটে যদি ধ্রুবক কে <0; অর্থাৎ, প্রাথমিক পয়েন্টগুলি এবং তাদের মোটরগাটিক্সগুলি মোটরের কেন্দ্রটির প্রতি সম্মানের সাথে বিপরীত প্রান্তে অবস্থিত তবে এটির সাথে সংযুক্ত থাকে। কেন্দ্রটি দুটি ব্যক্তির মধ্যে থাকবে:

বিপরীত হোমোমেটিক পরিসংখ্যানগুলির মধ্যে অনুপাতের গুণক বা মিলের অনুপাত সর্বদা negativeণাত্মক থাকবে।

গঠন

মূলের সমান একটি চিত্র না পাওয়া পর্যন্ত যখন বেশ কয়েকটি আন্দোলন ধারাবাহিকভাবে পরিচালিত হয়, তখন আন্দোলনের একটি সংমিশ্রণ ঘটে। বেশ কয়েকটি আন্দোলনের রচনাও একটি আন্দোলন।

দুটি সমকেন্দ্রের মধ্যে রচনাটি একটি নতুন হোমোসেসির ফলাফল; এটি হ'ল সমকামীতার একটি পণ্য রয়েছে যেখানে কেন্দ্রটি দুটি মূল রূপান্তরগুলির কেন্দ্রের সাথে একত্রিত হবে এবং অনুপাত (কে) দুটি অনুপাতের পণ্য।

সুতরাং, এইচ ₁ (ও ₁, কে ₁) এবং এইচ ₂ (ও ₂, কে ₂) দুটি সমকেন্দ্রের সংমিশ্রণে, তাদের অনুপাতের গুণন: কে ₁ এক্স কে ₂ = 1 এর ফলে অনুপাত কে ₃ = এর সমকামী হয়ে উঠবে k ₁ xk ₂ । এই নতুন হোমোথেসির কেন্দ্র (ও ₃) ও ₁ ও ₂ লাইনে থাকবে ।

হোমোথেসিয়া একটি সমতল এবং অপরিবর্তনীয় পরিবর্তনের সাথে সম্পর্কিত; একই কেন্দ্র এবং অনুপাতযুক্ত তবে পৃথক চিহ্ন সহ দুটি স্বীকৃতি প্রয়োগ করা হলে আসল চিত্রটি প্রাপ্ত হবে।

উদাহরণ

প্রথম উদাহরণ

বিন্দু A থেকে 5 সেন্টিমিটার দূরে অবস্থিত কেন্দ্রের প্রদত্ত বহুভুজ (ও) তে একটি সমকামিতা প্রয়োগ করুন এবং যার অনুপাতটি = = 0.7।

সমাধান

যে কোনও বিন্দু হোমোথেসির কেন্দ্র হিসাবে নির্বাচিত হয় এবং এই বিন্দু থেকে রশ্মিগুলি চিত্রের শীর্ষে বিভক্ত হয়:

কেন্দ্র (O) থেকে বিন্দু A এর দূরত্ব হল OA = 5; এটির সাহায্যে, কে = 0.7 জেনেও যে কোনও একটি মোটোটিক পয়েন্টের (ওএ) দূরত্ব নির্ধারণ করা যেতে পারে:

ওএ '= কেএক্স ওএ।

ওএ '= 0.7 x 5 = 3.5।

প্রতিটি ভার্টেক্সের জন্য প্রক্রিয়াটি করা যেতে পারে, বা দুটি বহুভুজের সমান্তরাল দিক রয়েছে তা মনে করে হোমোমেটিক বহুভুজটিও আঁকতে পারে:

পরিশেষে, রূপান্তরটি এর মতো দেখাচ্ছে:

দ্বিতীয় উদাহরণ

বিন্দু সি থেকে 8.5 সেন্টিমিটার এবং এর y অনুপাত কে = -2 এর সাথে অবস্থিত কেন্দ্র (ও) দিয়ে প্রদত্ত বহুভুজকে একটি সমকামিতা প্রয়োগ করুন।

সমাধান

কেন্দ্র থেকে বিন্দু (O) থেকে দূরত্বটি ওসি = 8.5; এই ডেটার সাহায্যে হোমোমেটিক পয়েন্টগুলির একটি (ওসি ') এর দূরত্ব নির্ধারণ করা সম্ভব হবে, এবং কে = -2 জেনেও:

ওসি '= কেএক্স ওসি।

ওসি '= -2 x 8.5 = -17

রূপান্তরকৃত বহুভুজের শীর্ষাংশের অংশগুলি অঙ্কন করার পরে, আমাদের কাছে রয়েছে যে প্রাথমিক পয়েন্টগুলি এবং তাদের মোটরগোলগুলি কেন্দ্রের সাথে সম্মানের সাথে বিপরীত প্রান্তে অবস্থিত:

তথ্যসূত্র

1. আলভারো রেনডেন, এআর (2004) প্রযুক্তিগত অঙ্কন: ক্রিয়াকলাপ নোটবুক।
2. আন্তোনিও আলভারেজ দে লা রোজা, জেএল (2002)। আত্মিকতা, হোমোলজি এবং হোমোথেসি।
3. বায়ার, আর। (2012) লিনিয়ার বীজগণিত এবং প্রজেক্টিভ জ্যামিতি। কুরিয়ার কর্পোরেশন।
4. হেবার্ট, ওয়াই (1980)। সাধারণ গণিত, সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান।
5. মাইভারে, বিই (২০১৪)। জ্যামিতির মৌলিক ধারণা। কুরিয়ার কর্পোরেশন।
6. নাচবিন, এল। (1980) বীজগণিত পরিচয়। Reverte।