পাইথাগোরীয় পরিচয়: বিক্ষোভ, উদাহরণ, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

পিথাগোরাস পরিচয় হয় সব ত্রিকোণমিতিক সমীকরণের সৃষ্টি কোণের কোনো মান জন্য ধরে রাখুন এবং পিথাগোরাসের উপপাদ্য উপর ভিত্তি করে। পাইথাগোরীয় পরিচয়গুলির মধ্যে সর্বাধিক বিখ্যাত হ'ল মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয়:

পাপ ² (α) + কর ² (α) = 1

চিত্র 1. পাইথাগোরিয়ান ত্রিকোণমিতিক পরিচয়।

এর পরে গুরুত্বপূর্ণ এবং আমি স্পর্শক এবং সেকেন্ডের পাইথাগোরিয়ান পরিচয় ব্যবহার করি:

ট্যান ² (α) + 1 = সেকেন্ড ² (α)

এবং পাইথাগোরীয় ত্রিকোণমিতিক পরিচয়টি কোট্যানজেন্ট এবং কোসেক্যান্টের সাথে জড়িত:

1 + Ctg ² (α) = সিসিএস ² (α)

প্রদর্শন

ট্রিগনোমেট্রিক অনুপাত সাইন এবং কোসাইন একটি ব্যাসার্ধের একটি (1) এর বৃত্তে উপস্থাপিত হয় যা ত্রিকোণমিত্রিক বৃত্ত হিসাবে পরিচিত। স্থানাঙ্ক O এর উত্সে সাইড সার্কেলের এর কেন্দ্র রয়েছে O

কোণগুলি এক্স এর ধনাত্মক আধা অক্ষ থেকে পরিমাপ করা হয়, উদাহরণস্বরূপ কোণ angle চিত্র 2 (নীচে দেখুন)। কোণটি ধনাত্মক হলে ঘড়ির কাঁটার দিকে এবং যদি এটি negativeণাত্মক কোণ it

উত্স O এবং কোণ with সহ রশ্মি টানা হয়, যা বিন্দু পিতে ইউনিট বৃত্তটিকে বাধা দেয় Point এস বিন্দু স্থান

আমাদের সি তে ডান ত্রিভুজ ওসিপি রয়েছে

সাইন এবং কোসাইন

এটি মনে রাখা উচিত যে ট্রাইগনোমেট্রিক অনুপাত সাইনটি নীচে একটি ডান ত্রিভুজটিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

ত্রিভুজের একটি কোণের সাইনটি কোণ এবং বিভক্তের ত্রিভুজটির বিপরীতে লেগের মধ্যে অনুপাত বা ভাগফল হয়।

চিত্র 2 এর ত্রিভুজ ওসিপি-তে প্রয়োগ করা হবে এটির মতো দেখতে:

সেন (α) = সিপি / ওপি

তবে সিপি = ওএস এবং ওপি = 1, যাতে:

সেন (α) = ওএস

যার অর্থ হ'ল Y অক্ষের প্রজেকশন ওএসের প্রদর্শিত কোণটির সাইন এর সমান একটি মান রয়েছে। এটি লক্ষ করা উচিত যে একটি কোণ (+1) এর সাইন এর সর্বাধিক মান যখন α = 90º এবং সর্বনিম্ন (-1) হয় যখন α = -90º বা α = 270º হয় occurs

চিত্র 2. পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য এবং মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয়ের মধ্যে সম্পর্ককে দেখায় ট্রাইগনোমেট্রিক বৃত্ত। (নিজস্ব বিবরণ)

একইভাবে, একটি কোণের কোসাইন হ'ল কোণ এবং ত্রিভুজের অনুভূমিকের সংলগ্ন লেগের মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল।

চিত্র 2 এর ত্রিভুজ ওসিপি-তে প্রয়োগ করা হবে এটির মতো দেখতে:

কস (α) = ওসি / ওপি

তবে ওপি = 1, যাতে:

Cos (α) = ওসি

এর অর্থ হল যে এক্স অক্ষের প্রজেকশন ওসির দেখানো কোণটির সাইন এর সমান একটি মান রয়েছে। এটি লক্ষ করা উচিত যে কোসিনের সর্বাধিক মান (+1) ঘটে যখন α = 0º বা α = 360º হয়, যখন কোসাইনের সর্বনিম্ন মান (-1) হয় যখন α = 180º হয় º

মৌলিক পরিচয়

সি-তে ডান ত্রিভুজ ওসিপি-র জন্য পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করা হয়েছে, যা বলে যে পাটির বর্গাকার যোগফলটি অনুভূতির বর্গক্ষেত্রের সমান:

সিপি ² + ওসি ² = অপি ²

তবে এটি ইতিমধ্যে বলা হয়েছে যে সিপি = ওএস = সেন (α), ওসি = কোস (α) এবং ওপি = 1, সুতরাং পূর্বের এক্সপ্রেশনটি কোণের সাইন এবং কোসাইন একটি ফাংশন হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

পাপ ² (α) + কর ² (α) = 1

স্পর্শক এর অক্ষ

ত্রিকোণমিত্রিক বৃত্তের এক্স অক্ষটি হ'ল কোসাইন অক্ষ এবং ওয়াই অক্ষটি সাইন অক্ষ, ঠিক একইভাবে স্পর্শক অক্ষ রয়েছে (চিত্র 3 দেখুন) যা স্পষ্টতই বিন্দুতে ইউনিট বৃত্তের স্পর্শক রেখা স্থানাঙ্কের বি (1, 0)।

যদি আপনি কোন কোণের স্পর্শকের মান জানতে চান তবে এক্সটিটিভের ধনাত্মক আধা-অক্ষ থেকে কোণটি আঁকা হয়, স্পর্শকের অক্ষের সাথে কোণটির ছেদটি একটি বিন্দু Q কে সংজ্ঞায়িত করে, বিভাগের OQ দৈর্ঘ্যটি স্পর্শকের স্পর্শক কোণ।

এটি কারণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়, কোণ tan এর স্পর্শকটি সংলগ্ন লেগ OB এর মধ্যে বিপরীত লেগ QB। অর্থাত, ট্যান (α) = কিউবি / ওবি = কিউবি / 1 = কিউবি।

চিত্র ৩. স্পর্শকটির অক্ষ এবং স্পর্শকটির পাইথাগোরিয়ান পরিচয় যুক্ত ত্রিকোণমিতিক বৃত্ত। (নিজস্ব বিবরণ)

স্পর্শকটির পাইথাগোরিয়ান পরিচয়

স্পর্শক এর পাইথাগোরিয়ান পরিচয় বি (চিত্র 3) এ ডান ত্রিভুজ ওবিকিউ বিবেচনা করে প্রমাণিত হতে পারে। পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি এই ত্রিভুজটিতে প্রয়োগ করা হচ্ছে আমাদের কাছে BQ ² + OB ² = OQ ^{2 রয়েছে} । তবে এটি ইতিমধ্যে বলা হয়েছে যে বিকিউ = টান (α), সেই ওবি = 1 এবং সেই ওকিউ = সেক (α), যাতে পাইথাগোরীয় সাম্যের পরিবর্তে আমাদের কাছে ডান ত্রিভুজ ওবিকিউ:

ট্যান ² (α) + 1 = সেক ² (α)।

উদাহরণ

পাইথাগোরিয়ান পরিচয় AB / 4 এবং BC = 3 পায়ে ডান ত্রিভুজটিতে পূর্ণ হয় কিনা তা পরীক্ষা করুন।

সমাধান: পায়ে পরিচিত, হাইপোথেনজ নির্ধারণ করা দরকার যা হ'ল:

এসি = √ (এবি ^ 2 + বিসি ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5।

কোণ ∡BAC কে বলা হবে α, αBAC = α α এখন ত্রিকোণমিতিক অনুপাত নির্ধারণ করা হয়েছে:

সেন α = বিসি / এসি = 3/5

Cos α = AB / AC = 4/5

সুতরাং BC = বিসি / এবি = 3/4

কোটান α = এবি / বিসি = 4/3

সেক α = এসি / এবি = 5/4

সিসিএস α = এসি / বিসি = 5/3

এটি মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় দিয়ে শুরু হয়:

পাপ ² (α) + কর ² (α) = 1

(3/5) + 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

এটি পরিপূর্ণ হয় যে সিদ্ধান্ত।

- পরবর্তী পাইথাগোরীয় পরিচয় হ'ল স্পর্শকাতর:

ট্যান ² (α) + 1 = সেকেন্ড ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

এবং এটিতে সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছে যে স্পর্শকটির পরিচয় যাচাই করা হয়েছে।

- একইভাবে কটেজেন্টের মতো:

1 + Ctg ² (α) = সিসিএস ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

এটিও শেষ হয়েছে যে এটিও পূরণ হয়েছে, যার সাহায্যে প্রদত্ত ত্রিভুজটির জন্য পাইথাগোরীয় পরিচয় যাচাই করার কাজটি সম্পন্ন হয়েছে।

সমাধান ব্যায়াম

ট্রিগনোমেট্রিক অনুপাত এবং পাইথাগোরীয় পরিচয়ের সংজ্ঞা অনুসারে নিম্নলিখিত পরিচয় প্রমাণ করুন।

অনুশীলনী 1

প্রমাণ করুন যে কোস ² x = (1 + সিন এক্স) (1 - সিন এক্স)

সমাধান: ডানদিকে আমরা দ্বিপদীকে এর সংযোগ দিয়ে গুণনের উল্লেখযোগ্য পণ্যটি স্বীকৃত করি যা আমরা জানি, বর্গের পার্থক্য:

কস ² x = 1 ² - পাপ ² এক্স

তারপরে ডান পাশের সাইন সহ শব্দটি চিহ্নটির পরিবর্তে বাম দিকে চলে যায়:

কস ² এক্স + সেন ² এক্স = 1

মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় পৌঁছেছে তা উল্লেখ করে, সুতরাং এটি সিদ্ধান্তে পৌঁছে যে প্রদত্ত প্রকাশটি একটি পরিচয়, অর্থাত্, x এর যে কোনও মানের ক্ষেত্রে এটি সত্য।

অনুশীলন 2

মৌলিক ত্রিকোণমিতিক পরিচয় থেকে শুরু করে এবং ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের সংজ্ঞা ব্যবহার করে কোসেক্যান্টের পাইথাগোরিয়ান পরিচয়টি প্রদর্শন করুন।

সমাধান: মৌলিক পরিচয় হ'ল:

পাপ ² (x) + কস ² (এক্স) = 1

উভয় সদস্য সেন ² (এক্স) দ্বারা বিভক্ত এবং ডিনোমিনেটর প্রথম সদস্যে বিতরণ করা হয়েছে:

পাপ ² (x) / পাপ ² (এক্স) + কর ² (এক্স) / পাপ ² (এক্স) = 1 / পাপ ² (এক্স)

এটি সরল করা হয়েছে:

1 + (কোস (এক্স) / সেন (এক্স)) ^ 2 = (1 / সেন (এক্স)) ^ 2

কোস (এক্স) / সেন (এক্স) = কোটান (এক্স) একটি (নন-পাইথাগোরিয়ান) পরিচয় যা ট্রাইগনোমেট্রিক অনুপাতের খুব সংজ্ঞা দ্বারা যাচাই করা হয়। নিম্নলিখিত পরিচয়ের সাথে একই ঘটনা ঘটে: 1 / সেন (এক্স) = সিসি (এক্স)।

অবশেষে আপনাকে:

1 + Ctg ² (x) = সিসি ² (এক্স)

তথ্যসূত্র

1. বালডোর জে (1973)। ত্রিকোণমিতির পরিচিতি সহ প্লেন এবং স্পেস জ্যামিতি। মধ্য আমেরিকান সাংস্কৃতিক। এসি
2. সিইএ (2003)। জ্যামিতি উপাদান: অনুশীলন এবং কম্পাস জ্যামিতির সাথে। মেডেলিন বিশ্ববিদ্যালয়।
3. ক্যাম্পোস, এফ।, সেরেসেডো, এফজে (2014)। গণিত ২. গ্রুপো সম্পাদকীয় পাত্রিয়া।
4. IGER। (SF)। গণিতের প্রথম সেমিস্টার টাকানা। IGER।
5. জুনিয়র জ্যামিতি। (2014)। বহুভুজ। লুলু প্রেস, ইনক।
6. মিলার, হেরেন, এবং হর্ন্সবি। (2006)। গণিত: যুক্তি ও প্রয়োগ (দশম সংস্করণ)। পিয়ারসন শিক্ষা.
7. প্যাটিও, এম (2006)। গণিত 5 সম্পাদকীয় প্রোগ্রাম।
8. উইকিপিডিয়া। ত্রিকোণমিতির পরিচয় এবং সূত্র। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.com.com থেকে