রৈখিক ক্ষেপক একটি পদ্ধতি যা সাধারণ নিউটন ক্ষেপক এবং একটি অজানা মান প্রদত্ত দুটি সংখ্যার মধ্যে যে জন্য নির্ধারণ পড়তা উত্পন্ন হয়; এটি হ'ল একটি মধ্যবর্তী মান পাওয়া যায়। এটি আনুমানিক ফাংশনগুলিতেও প্রয়োগ করা হয়, যেখানে f (a) এবং f (b) মানগুলি জানা যায় এবং আমরা f (x) এর মধ্যবর্তী জানতে চাই ।
বিভিন্ন ধরণের ইন্টারপোলেশন রয়েছে যেমন লিনিয়ার, চতুর্ভুজ, ঘনক এবং উচ্চতর ডিগ্রিগুলির মধ্যে, সর্বাধিক সরলতম রৈখিক সমীকরণ being লিনিয়ার ইন্টারপোলেশন সহ যে মূল্য দিতে হবে তা হ'ল ফল উচ্চতর ডিগ্রির ফাংশনগুলি ব্যবহার করে আনুমানিকতার সাথে যথাযথ হবে না।
সংজ্ঞা
লিনিয়ার ইন্টারপোলেশন এমন একটি প্রক্রিয়া যা আপনাকে দুটি সু-সংজ্ঞায়িত মানগুলির মধ্যে একটি মান কমাতে দেয়, যা কোনও টেবিলে বা লাইন গ্রাফে থাকতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি জানেন যে 3 লিটার দুধের মূল্য 4 ডলার এবং 5 লিটারের মূল্য $ 7 ডলার তবে আপনি জানতে চান যে 4 লিটার দুধের মূল্য কী, আপনি সেই মধ্যবর্তী মান নির্ধারণের জন্য বিভক্ত হন।
পদ্ধতি
কোনও ফাংশনের মধ্যবর্তী মানের অনুমান করতে, ফাংশন f (x) একটি লাইন r (x) এর মাধ্যমে অনুমান করা হয় যার অর্থ ফাংশনটি «x = a» এবং «x = বিভাগের জন্য« x with এর সাথে রৈখিকভাবে পরিবর্তিত হয় that খ "; যেটি, ব্যবধানে (x 0, x 1) এবং (y 0, y 1) "x" মানের জন্য, "y" এর মান পয়েন্টগুলির মধ্যে লাইন দ্বারা দেওয়া হয় এবং নিম্নলিখিত সম্পর্কের দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
কোনও দ্বিখণ্ডকে রৈখিক হওয়ার জন্য, অন্তরবিচ্ছিন্ন বহুপদী অবশ্যই ডিগ্রি ওয়ান (এন = 1) এর হতে হবে, যাতে এটি x 0 এবং x 1 এর মানগুলির সাথে খাপ খায় ।
লিনিয়ার বিভাজকটি ত্রিভুজগুলির মিলের উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়, যেমনটি পূর্বের এক্সপ্রেশন থেকে জ্যামিতিকভাবে প্রাপ্ত হয়ে "y" এর মান পাওয়া যায় যা "x" এর জন্য অজানা মানকে উপস্থাপন করে।
এইভাবে আপনাকে করতে হবে:
a = tan Ɵ = (বিপরীত লেগ 1 ÷ সংলগ্ন লেগ 1) = (বিপরীত লেগ 2 ace সংলগ্ন লেগ 2)
অন্যভাবে প্রকাশিত, এটি হল:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
এক্সপ্রেশন থেকে «এবং for জন্য সমাধান, আমাদের আছে:
(y - y 0) * (x 1 - x 0) = (x - x 0) * (y 1 - y 0)
(y - y 0) = (y 1 - y 0) *
সুতরাং, লিনিয়ার অন্তরঙ্গকরণের জন্য সাধারণ সমীকরণ পাওয়া যায়:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
সাধারণভাবে, লিনিয়ার ইন্টারপোলেশন সত্য ফাংশনের আসল মান সম্পর্কে একটি ছোট ত্রুটি দেয়, যদিও তাত্পর্যপূর্ণভাবে আপনি অনুসন্ধান করতে চান এমন একটি সংখ্যাকে বেছে নেওয়ার সাথে তুলনা করলে ত্রুটিটি ন্যূনতম।
এই ত্রুটিটি ঘটে যখন একটি সরলরেখার সাথে একটি বক্ররেখার মান আনুমানিক করার চেষ্টা করা হয়; এই ক্ষেত্রে, অনুমান আরও সুস্পষ্ট করতে ব্যবধানের আকার হ্রাস করতে হবে।
আনুমানিক সম্পর্কিত আরও ভাল ফলাফলের জন্য, ইন্টারপোলেশন সঞ্চালনের জন্য ডিগ্রি 2, 3 বা এমনকি উচ্চতর ডিগ্রির ফাংশনগুলি ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া হয়। এই ক্ষেত্রে টেলর উপপাদ্য একটি খুব দরকারী সরঞ্জাম।
সমাধান ব্যায়াম
অনুশীলনী 1
নিম্নোক্ত সারণীতে x ঘন্টা পরে ইনকিউবেশনটিতে উপস্থিত ইউনিট ভলিউম প্রতি ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা। আপনি 3.5 ঘন্টা সময় ব্যাকটেরিয়া ভলিউম কি জানতে চান।
সমাধান
রেফারেন্স টেবিলটি এমন কোনও মান স্থাপন করে না যা 3.5 ঘন্টা সময়ের জন্য ব্যাকটেরিয়ার পরিমাণ নির্দেশ করে, তবে যথাক্রমে 3 এবং 4 ঘন্টা সময় অনুসারে উপরের এবং নিম্ন মানের রয়েছে। ঐ দিকে:
x 0 = 3 এবং 0 = 91
x = 3.5 y =?
x 1 = 4 এবং 1 = 135
এখন গাণিতিক সমীকরণটি ইন্টারপোলেটেড মানটি অনুসন্ধানের জন্য প্রয়োগ করা হয়, যা নিম্নলিখিত:
y = y 0 + (y 1 - y 0) * ।
এর সাথে সম্পর্কিত মানগুলি প্রতিস্থাপন করা হবে:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0.5
y = 113।
সুতরাং, এটি পাওয়া যায় যে 3.5 ঘন্টা সময়ের জন্য, ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা 113, যা 3 থেকে 4 ঘন্টা সময়ে বিদ্যমান ব্যাকটেরিয়ার পরিমাণের মধ্যে একটি মধ্যবর্তী স্তর উপস্থাপন করে।
অনুশীলন 2
লুইসের একটি আইসক্রিম কারখানা রয়েছে এবং তিনি ব্যয়ের ভিত্তিতে আগস্টে যে আয় করেছিলেন তা নির্ধারণ করতে তিনি একটি গবেষণা করতে চান। সংস্থার প্রশাসক একটি গ্রাফ তৈরি করেন যা এই সম্পর্কটিকে প্রকাশ করে তবে লুইস জানতে চান:
আগস্টের জন্য আয় কী, যদি 55,000 ডলার ব্যয় করা হয়?
সমাধান
আয় এবং ব্যয়ের মান সহ একটি গ্রাফ দেওয়া হয়। লুইস ফ্যাক্টরিটির the 55,000 ব্যয় করে আগস্টের জন্য আয় কী তা জানতে চায়। এই মানটি গ্রাফটিতে সরাসরি প্রতিফলিত হয় না, তবে মানগুলি এর চেয়ে বেশি এবং কম হয়।
প্রথমে একটি টেবিল তৈরি করা হয় যেখানে মানগুলি সহজেই সম্পর্কিত করতে হয়:
এখন, ইন্টারপোলেশন সূত্রটি এভাবে y এর মান নির্ধারণের জন্য ব্যবহৃত হয়
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
এর সাথে সম্পর্কিত মানগুলি প্রতিস্থাপন করা হবে:
y = 56,000 + (78,000 - 56,000) *
y = 56,000 + (22,000) *
y = 56,000 + (22,000) * (0.588)
y = 56,000 + 12,936
y = $ 68,936।
আগস্ট মাসে $ 55,000 ব্যয় করা হয়, আয় ছিল $ 68,936।
তথ্যসূত্র
- আর্থার গুডম্যান, এলএইচ (1996)। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সাথে বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতি। পিয়ারসন শিক্ষা.
- হার্প, পি। ডি। (2000)। জ্যামিতিক গ্রুপ থিওরিতে বিষয়গুলি। শিকাগো প্রেস বিশ্ববিদ্যালয়।
- হাজেঙ্কেল, এম (2001)। লিনিয়ার ইন্টারপোলেশন ", গণিতের এনসাইক্লোপিডিয়া"।
- , জেএম (1998)। ইঞ্জিনিয়ারিংয়ের জন্য সংখ্যাগত পদ্ধতির উপাদানসমূহ। UASLP।
- , ই। (2002)। অন্তরঙ্গকরণের একটি কালক্রিয়া: প্রাচীন জ্যোতির্বিজ্ঞান থেকে আধুনিক সংকেত এবং চিত্র প্রক্রিয়াকরণ পর্যন্ত। আইইইই এর কার্যক্রম।
- সংখ্যাগত, আই। ক। (2006)। জাভিয়ের টমস, জর্ডি কুয়াদ্রস, লুসিনিও গঞ্জালেজ।