ল্যাপ্লেস রূপান্তর: সংজ্ঞা, ইতিহাস এবং এটি এর জন্য - গণিতশাস্ত্র - 2025

Laplace রুপান্তর ইঞ্জিনিয়ারিং স্টাডিজ, গণিত, পদার্থবিদ্যা, অন্যান্য বৈজ্ঞানিক এলাকায় মধ্যে, সেইসাথে তত্ত্ব মহান সুদ হচ্ছে বড় গুরুত্ব সাম্প্রতিক বছরগুলোতে হয়েছে, সমস্যা থেকে আসা সমাধানের একটি সহজ উপায় প্রদান করে বিজ্ঞান এবং প্রকৌশল।

মূলত ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি সম্ভাব্যতা তত্ত্ব সম্পর্কিত তাঁর গবেষণায় পিয়ের-সিমেন ল্যাপ্লেস উপস্থাপন করেছিলেন এবং প্রাথমিকভাবে খাঁটি তাত্ত্বিক আগ্রহের গাণিতিক বিষয় হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন।

বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয় তত্ত্বের সমীকরণের অধ্যয়নের জন্য হেভিসিড দ্বারা ব্যবহৃত "অপারেশনাল বিধি "গুলিকে আনুষ্ঠানিক ন্যায়সঙ্গত করার চেষ্টা করার সময় বিভিন্ন গণিতবিদরা আনুষ্ঠানিক ন্যায়সঙ্গততা দেওয়ার চেষ্টা করলে বর্তমান প্রয়োগগুলি দেখা দেয়।

সংজ্ঞা

আসুন f টি t ≥ 0 এর জন্য সংজ্ঞায়িত একটি ফাংশন হতে দিন ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মটি নীচে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

পূর্ববর্তী অবিচ্ছেদ্য রূপান্তরিত হলে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মটির উপস্থিতি বলা হয়, অন্যথায় ল্যাপলেস রূপান্তরটির অস্তিত্ব নেই বলে বলা হয়।

সাধারণভাবে, ছোট হাতের অক্ষরগুলি রূপান্তরিত করতে ফাংশনটি বোঝাতে ব্যবহৃত হয় এবং মূল অক্ষরটি তার রূপান্তরটির সাথে মিলে যায়। এইভাবে আমাদের থাকবে:

উদাহরণ

ধ্রুবক ফাংশন f (টি) = 1 বিবেচনা করুন We আমাদের এর রূপান্তরটি হ'ল:

অবিচ্ছেদ্য যখনই রূপান্তরিত হয়, এটি যখনই এস> ০ হয় নাহলে, এস <0, অবিচ্ছেদ্য প্রসারিত হয়।

চলুন g (t) = t। এর ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মটি দেওয়া হয়েছে

অংশ দ্বারা একীকরণ করে এবং জেনে ^{রেখেছি} যে টি-ও-তে 0 টি থাকে যখন t অনন্ত এবং s> 0 তে ^{প্রবণ} হয়, তার সাথে আমাদের পূর্ববর্তী উদাহরণটি একসাথে:

রূপান্তরটি অস্তিত্ব থাকতে পারে বা নাও থাকতে পারে, উদাহরণস্বরূপ f (t) = 1 / t ফাংশনের জন্য ইন্টিগ্রাল যা তার ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মটিকে সংজ্ঞায়িত করে না এবং তাই রূপান্তরটির অস্তিত্ব নেই।

গ্যারান্টি হিসাবে পর্যাপ্ত শর্তাদি যে ফাংশন চ এর ল্যাপলেস রূপান্তর উপস্থিত রয়েছে তা হ'ল f piece 0 এর জন্য টুকরোচক ধারাবাহিক এবং ঘনিষ্ঠভাবে অর্ডারযুক্ত।

একটি ফাংশনটি t ≥ 0 এর জন্য টুকরোচক ধ্রুবক হিসাবে বলা হয়, যখন কোনও> 0 এর সাথে কোনও ব্যবধানের জন্য, সেখানে সীমাবদ্ধ পয়েন্ট টি _{কে থাকে,} যেখানে f বিযুক্তি থাকে এবং প্রতিটি উপকেন্দ্রগুলিতে অবিচ্ছিন্ন থাকে।

অন্যদিকে, কোনও ক্রিয়াকলাপটি ক্ষতিকারক অর্ডার হিসাবে বলা হয় সি যদি সেখানে প্রকৃত ধ্রুবক এম> 0, সি এবং টি> 0 থাকে তবে:

উদাহরণ হিসাবে আমাদের কাছে রয়েছে যে f (t) = t ² হ'ল घाষ্টীয় ক্রমের, যেহেতু সমস্ত t> 0 এর জন্য -t ² - <e ^3t ।

একটি আনুষ্ঠানিক উপায়ে আমাদের নিম্নলিখিত উপপাদ্য আছে

উপপাদ্য (অস্তিত্বের জন্য পর্যাপ্ত শর্তাদি)

যদি f> টি> 0 এবং তাত্পর্যপূর্ণ ক্রম সি এর জন্য অবিচ্ছিন্ন ক্রিয়া হয় তবে ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি এস> সি এর জন্য বিদ্যমান।

এটি জোর দিয়ে জোর দেওয়া গুরুত্বপূর্ণ যে এটি একটি পর্যাপ্ত শর্ত, এটি হ'ল এমন কোনও ফাংশন রয়েছে যা এই শর্তগুলি পূরণ করে না এবং তারপরেও তার ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি বিদ্যমান।

এর উদাহরণ হ'ল f (t) = t ^-1/2 ফাংশন যা t for 0 এর জন্য ^{টুকরোজ} ধারাবাহিক নয় তবে এর ল্যাপ্লেস রূপান্তর বিদ্যমান।

কিছু বেসিক ফাংশন ল্যাপ্লেস রূপান্তর

নিম্নলিখিত টেবিলটি সবচেয়ে সাধারণ ফাংশনগুলির ল্যাপ্লেস রূপান্তরগুলি দেখায়।

ইতিহাস

ফরাসি গণিতবিদ এবং তাত্ত্বিক জ্যোতির্বিদ পিয়ের-সাইমন ল্যাপ্লেসের কাছে এই লেপলেস রূপান্তরটির প্রাপ্য who

1744 সালে লিওনার্ড অয়লার ফর্মের সাথে একীভূত করার জন্য তাঁর অধ্যয়ন নিবেদিত করেছিলেন

সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান হিসাবে তবে তিনি দ্রুত এই তদন্ত ত্যাগ করেছিলেন। পরে, জোসেফ লুই ল্যাঞ্জ্রেঞ্জ, যিনি ইউলারের খুব প্রশংসা করেছিলেন, তিনি এই ধরণের ইন্টিগ্রালগুলি তদন্ত করেছিলেন এবং তাদের সম্ভাব্য তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত করেছিলেন।

1782, ল্যাপ্লেস

১82৮২ সালে ল্যাপ্লেস ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধানের মতো অবিচ্ছেদ্য অধ্যয়ন শুরু করেন এবং ইতিহাসবিদদের মতে, ১85৮৮ সালে তিনি সমস্যাটি সংশোধন করার সিদ্ধান্ত নিয়েছিলেন, যা পরবর্তীকালে ল্যাপলেস রূপান্তরকে উত্থিত করেছিল যেহেতু তারা আজ বোঝা যাচ্ছে।

সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ক্ষেত্রের সাথে পরিচয় হওয়ার পরে, এটি সে সময় বিজ্ঞানীদের কাছে খুব আগ্রহী ছিল না এবং কেবলমাত্র তাত্ত্বিক আগ্রহের গাণিতিক বিষয় হিসাবে দেখা হত।

অলিভার হেভিসাইড

এটি 19 শতকের মাঝামাঝি সময়ে ইংরেজ প্রকৌশলী অলিভার হেভিসাইড আবিষ্কার করেছিলেন যে ডিফারশানাল অপারেটরগণকে বীজগণিতীয় ভেরিয়েবল হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, ফলে ল্যাপ্লেস তাদের আধুনিক প্রয়োগকে রূপান্তরিত করে।

অলিভার হেভিসিড ছিলেন একজন ইংরেজ পদার্থবিজ্ঞানী, বৈদ্যুতিক প্রকৌশলী এবং গণিতবিদ যিনি 1850 সালে লন্ডনে জন্মগ্রহণ করেছিলেন এবং 1925 সালে মারা গিয়েছিলেন। কম্পনের তত্ত্বের সাথে প্রয়োগ করা এবং ল্যাপ্লেসের অধ্যয়নের ব্যবহারের ক্ষেত্রে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমস্যাগুলি সমাধান করার চেষ্টা করার সময় তিনি এই রূপটি তৈরি করতে শুরু করেছিলেন ল্যাপ্লেসের আধুনিক অ্যাপ্লিকেশনগুলি রূপান্তর করে।

হেভিসিডের উপস্থাপিত ফলাফলগুলি তৎকালীন বৈজ্ঞানিক সম্প্রদায়ের মধ্যে দ্রুত ছড়িয়ে পড়েছিল, তবে তাঁর কাজটি কঠোর না হওয়ায় আরও traditionalতিহ্যবাহী গণিতবিদরা তাকে দ্রুত সমালোচনা করেছিলেন।

তবে পদার্থবিজ্ঞানের সমীকরণ সমাধানে হেভিসাইডের কাজের উপযোগিতা তাঁর পদার্থগুলিকে পদার্থবিজ্ঞানী এবং প্রকৌশলীদের কাছে জনপ্রিয় করে তুলেছিল।

এই অচলাবস্থা থাকা সত্ত্বেও এবং কয়েক দশক ব্যর্থ প্রচেষ্টা সত্ত্বেও, বিংশ শতাব্দীর শুরুতে হেভিসাইড প্রদত্ত অপারেশনাল বিধিগুলির একটি কঠোর ন্যায্যতা দেওয়া যেতে পারে।

এই প্রয়াসগুলি ব্রোমউইচ, কারসন, ভ্যান ডার পোল, এবং অন্যান্যদের মধ্যে বিভিন্ন গণিতবিদদের প্রচেষ্টার ফলে ফল প্রকাশ করেছে ore

সম্পত্তি

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে নিম্নোক্ত স্ট্যান্ডগুলি রয়েছে:

লিনিয়ারিটি

সি 1 এবং সি 2 কে ধ্রুবক এবং চ (টি) এবং জি (টি) ফাংশন হতে হবে যার ল্যাপলেস রূপান্তর যথাক্রমে এফ (গুলি) এবং জি (গুলি) হয়, তারপরে আমাদের কাছে রয়েছে:

এই সম্পত্তির কারণে ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি লিনিয়ার অপারেটর হিসাবে বলা হয়।

উদাহরণ

প্রথম অনুবাদ উপপাদ্য

যদি এটি হয়:

এবং 'এ' হ'ল যে কোনও আসল সংখ্যা, তাই:

উদাহরণ

যেহেতু ল্যাপলেস ট্রান্সফর্মটি কোস (2 ট) = এস / (এস ^ 2 + 4) এর পরে:

দ্বিতীয় অনুবাদ উপপাদ্য

হ্যাঁ

তাই

উদাহরণ

যদি f (t) = t ^ 3 হয়, তবে F (গুলি) = 6 / s ^ 4। এবং তাই রূপান্তর

জি (গুলি) = 6 ই ^-2 এস / এস ^ 4

স্কেল পরিবর্তন

হ্যাঁ

এবং 'এ' একটি ননজারো রিয়েল, আমাদের করতে হবে

উদাহরণ

যেহেতু f (t) = sin (t) এর রূপান্তর F (গুলি) = 1 / (s ^ 2 + 1) হয় আমাদের

ল্যাপ্লেসের ডেরিভেটিভসের রূপান্তর

যদি f, f ', f' ',…, f ⁽ⁿ⁾ t ≥ 0 এর জন্য অবিচ্ছিন্ন থাকে এবং ঘনিষ্ঠভাবে হয় এবং f ⁽ⁿ⁾ (t) t ≥ 0 এর জন্য টুকরোচকভাবে অবিচ্ছিন্ন থাকে, তবে

ইন্টিগ্রালের ল্যাপ্লেস রূপান্তর

হ্যাঁ

তাই

টি দ্বারা গুণ

যদি আমাদের হয়

তাই

টি দ্বারা বিভাগ

যদি আমাদের হয়

তাই

পর্যায়ক্রমিক ফাংশন

চ এর টি = 0 পিরিয়ড সহ একটি পর্যায়ক্রমিক ফাংশন হোক, এটি f (t + T) = f (t), এর পরে

এফ (গুলি) এর আচরণ অসীমের দিকে ঝুঁকছে

যদি চ অংশগুলিতে এবং ঘনিষ্ঠভাবে ক্রম এবং ক্রমাগত হয়

তাই

বিপরীত রূপান্তর

যখন আমরা ফাংশন এফ (টি) এ ল্যাপ্লেস রূপান্তর প্রয়োগ করি তখন আমরা এফ (গুলি) পাই যা এই রূপান্তরটি উপস্থাপন করে। একইভাবে আমরা বলতে পারি যে চ (টি) হ'ল এফ (গুলি) এর বিপরীত ল্যাপ্লেস রূপান্তর এবং এটি হিসাবে লিখিত হয়

আমরা জানি যে এফ (টি) = 1 এবং জি (টি) = টি এর ল্যাপ্লেস রূপান্তরগুলি যথাক্রমে এফ (গুলি) = 1 / জি এবং জি (গুলি) = 1 / s ², তাই আমাদের কাছে

নিম্নরূপ কয়েকটি সাধারণ বিপরীত ল্যাপ্লেস রূপান্তর

তদুপরি, বিপরীতমুখী ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি লিনিয়ার, অর্থাত্ এটি সত্য

অনুশীলন

অনুসন্ধান

এই অনুশীলনটি সমাধান করার জন্য আমাদের অবশ্যই পূর্ববর্তী একটি সারণির সাথে ফ (ফ) ফাংশনটি মেলাতে হবে। এই ক্ষেত্রে যদি আমরা একটি + 1 = 5 নিই এবং বিপরীত রূপান্তরটির লিনিয়ারিটি সম্পত্তিটি ব্যবহার করি, আমরা 4 দিয়ে গুণ এবং ভাগ করব! পেয়ে

দ্বিতীয় বিপরীত রূপান্তরের জন্য আমরা ফাংশন F (গুলি) এবং তারপরে রৈখিকতার সম্পত্তি পুনর্লিখনের জন্য আংশিক ভগ্নাংশ প্রয়োগ করি

যেমন আমরা এই উদাহরণগুলি থেকে দেখতে পাচ্ছি, এটি সাধারণ যে ফাংশন F (গুলি) মূল্যায়ন করা হয় তা সারণিতে প্রদত্ত যে কোনও কার্যকারিতার সাথে সঠিকভাবে মেলে না। এই ক্ষেত্রেগুলির জন্য, যেমন দেখা যায়, উপযুক্ত ফর্ম না পৌঁছানো পর্যন্ত এটি ফাংশনটি পুনরায় লেখার জন্য যথেষ্ট।

ল্যাপ্লেস রূপান্তর অ্যাপ্লিকেশন

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

ল্যাপ্লেস রূপান্তরগুলির মূল প্রয়োগ হ'ল ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করা।

একটি ডেরিভেটিভের ট্রান্সফর্মের সম্পত্তি ব্যবহার করে এটি স্পষ্ট

টি -0 0 এ মূল্যায়ন করা N-1 ডেরিভেটিভগুলির Y।

এই বৈশিষ্ট্যটি প্রাথমিক মান সমস্যার সমাধানের জন্য রূপান্তরটিকে খুব দরকারী করে তোলে যেখানে ধ্রুবক সহগের সাথে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ জড়িত থাকে।

নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি দেখায় যে কীভাবে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মটি ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে ব্যবহার করতে হয়।

উদাহরণ 1

নিম্নলিখিত প্রাথমিক মান সমস্যাটি দেওয়া হয়েছে

সমাধানটি সন্ধান করতে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করুন।

আমরা ল্যাপ্লেসকে ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণের প্রতিটি সদস্যের ট্রান্সফর্ম প্রয়োগ করি

আমাদের রয়েছে একটি ডেরিভেটিভের রূপান্তর সম্পত্তি দ্বারা

সমস্ত অভিব্যক্তি বিকাশ করে এবং আমাদের কাছে ওয়াই (গুলি) সাফ করে

আমরা যে সমীকরণ পেয়েছি তার ডানদিকে আবার লিখতে আংশিক ভগ্নাংশ ব্যবহার করা

অবশেষে, আমাদের লক্ষ্য হ'ল একটি ফাংশন y (টি) পাওয়া যা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সন্তুষ্ট করে। বিপরীত ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করা আমাদের ফলাফল দেয়

উদাহরণ 2

সমাধান

পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে হিসাবে, আমরা সমীকরণের উভয় পক্ষের রূপান্তর প্রয়োগ করি এবং পৃথক শর্ত অনুসারে পৃথক শব্দ প্রয়োগ করি।

এইভাবে আমাদের ফলস্বরূপ রয়েছে

প্রদত্ত প্রাথমিক মানগুলির সাথে প্রতিস্থাপন এবং ওয়াই (গুলি) এর সমাধান করা

সাধারণ ভগ্নাংশ ব্যবহার করে আমরা নীচে সমীকরণটি আবার লিখতে পারি

এবং বিপরীত ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম প্রয়োগ করে ফলাফল দেয় the

এই উদাহরণগুলিতে, কেউ ভুলভাবে সিদ্ধান্ত নিতে পারে যে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধানের জন্য traditionalতিহ্যবাহী পদ্ধতির চেয়ে এই পদ্ধতিটি আরও ভাল নয়।

ল্যাপ্লেস রূপান্তরটির সুবিধা হ'ল আপনাকে প্যারামিটারের প্রকরণ ব্যবহার করতে হবে না বা অনির্দিষ্ট সহগ পদ্ধতির বিভিন্ন ক্ষেত্রে চিন্তা করতে হবে না।

তদ্ব্যতীত, এই পদ্ধতির মাধ্যমে প্রাথমিক মান সমস্যার সমাধান করার সময়, শুরু থেকে আমরা প্রাথমিক শর্তগুলি ব্যবহার করি, সুতরাং নির্দিষ্ট সমাধানটি অনুসন্ধানের জন্য অন্যান্য গণনা করা প্রয়োজন হয় না।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিস্টেম

নিম্নোক্ত উদাহরণটি দেখায়, একই সাথে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলির সমাধান খুঁজতে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মটিও ব্যবহার করা যেতে পারে।

উদাহরণ

সমাধান করুন

প্রাথমিক শর্তাবলী x (0) = 8 এবং y (0) = 3 দিয়ে।

যদি আমাদের হয়

তাই

সমাধান আমাদের ফলস্বরূপ দেয়

এবং আমাদের বিপরীত ল্যাপ্লেস রূপান্তর প্রয়োগ করে

মেকানিক্স এবং বৈদ্যুতিক সার্কিট

ফিজিক্সে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মটির খুব গুরুত্ব রয়েছে, এটিতে মূলত মেকানিক্স এবং বৈদ্যুতিক সার্কিটের জন্য অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে।

একটি সাধারণ বৈদ্যুতিক সার্কিট নিম্নলিখিত উপাদানগুলি নিয়ে গঠিত

একটি সুইচ, একটি ব্যাটারি বা উত্স, একটি সূচক, একটি প্রতিরোধক এবং একটি ক্যাপাসিটার। যখন স্যুইচটি বন্ধ থাকে, একটি বৈদ্যুতিক প্রবাহ উত্পন্ন হয় যা আই (টি) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ক্যাপাসিটরের উপর চার্জটি Q (টি) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

কির্ফোফের দ্বিতীয় আইন অনুসারে, ক্লোজ সার্কিটের উত্স ই দ্বারা উত্পাদিত ভোল্টেজ প্রতিটি ভোল্টেজের ড্রপের সমান হতে হবে।

বৈদ্যুতিন প্রবাহ i (টি) i = dq / dt দ্বারা ক্যাপাসিটরের চার্জ q (t) এর সাথে সম্পর্কিত। অন্যদিকে, প্রতিটি উপাদানের ভোল্টেজ ড্রপ নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

একটি রেজিস্টার জুড়ে ভোল্টেজ ড্রপ আইআর = আর (dq / dt)

একটি সূচক জুড়ে ভোল্টেজের ড্রপ হ'ল এল (ডি / ডিটি) = এল (ডি ² কিউ / ডিটি ²)

কোনও ক্যাপাসিটর জুড়ে ভোল্টেজের ড্রপ হয় কিউ / সে

এই ডেটাগুলি দিয়ে এবং সরল ক্লোজড সার্কিটটিতে কার্চফের দ্বিতীয় আইন প্রয়োগ করে, একটি দ্বিতীয়-আদেশের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ পাওয়া যায় যা সিস্টেমটি বর্ণনা করে এবং আমাদের কিউ (টি) এর মান নির্ধারণ করতে দেয়।

উদাহরণ

চিত্র হিসাবে দেখানো হয়েছে একজন ইন্ডাক্টর, একটি ক্যাপাসিটার এবং একটি রেজিস্টার একটি ব্যাটারি ই এর সাথে যুক্ত। সূচকটি 2 হেনরি, ক্যাপাসিটারটি 0.02 ফ্যারাড এবং প্রতিরোধ 16 ওহম। সময়ে t = 0 সার্কিট বন্ধ থাকে। ই = 300 ভোল্টের যেকোন সময় t> 0 চার্জ এবং সন্ধান করুন।

আমাদের কাছে রয়েছে যে এই সার্কিটটিকে বর্ণনা করে এমন ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি নিম্নলিখিত

প্রাথমিক শর্তগুলি যেখানে q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0)।

ল্যাপ্লেস রূপান্তর প্রয়োগ করে আমরা এটি পাই

এবং Q (টি) এর জন্য সমাধান

তারপরে, আমাদের কাছে থাকা বিপরীত ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি প্রয়োগ করা

তথ্যসূত্র

1. জি। হলব্রুক, জে। (1987) ইলেকট্রনিক্স ইঞ্জিনিয়ারদের জন্য ল্যাপ্লেস রূপান্তর। লিমুসা।
2. রুইজ, এলএম, এবং হার্নান্দেজ, এমপি (2006) ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ এবং ল্যাপ্লেস অ্যাপ্লিকেশনগুলির সাথে রূপান্তর করে। সম্পাদকীয় ইউপিভি।
3. সিমন্স, জিএফ (1993)। অ্যাপ্লিকেশন এবং historicalতিহাসিক নোটের সাথে পার্থক্যমূলক সমীকরণ। ম্যাকগ্রাও হিল।
4. স্পিগেল, এমআর (1991)। ল্যাপ্লেস রূপান্তর। ম্যাকগ্রাও হিল।
5. জিল, ডিজি, এবং কুলেন, এমআর (২০০৮)। সীমান্ত মান সমস্যার সাথে ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। কেনেজ লার্নিং এডিটোরস, এসএ