ফলাফল ভেক্টর: গণনা, উদাহরণ, অনুশীলন - শারীরিক - 2025

ফলে ভেক্টর ভেক্টর যার ফলাফলের একটি ভেক্টর দিয়ে একটি অপারেশন দ্বারা প্রাপ্ত হয়। সাধারণত এই অপারেশনটি দুই বা ততোধিক ভেক্টরের সমষ্টি, যার মাধ্যমে কোনও ভেক্টর প্রাপ্ত হয় যার প্রভাব সমান।

এইভাবে, ফলস্বরূপ বেগ, ত্বরণ বা বলের মতো ভেক্টরগুলি প্রাপ্ত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যখন বেশ কয়েকটি বাহিনী এফ ₁, এফ ₂, এফ ₃,… কোনও শরীরে কাজ করে । এই সমস্ত বাহিনীর ভেক্টর যোগফল নেট ফোর্সের সমতুল্য (ফলাফল), যা গাণিতিকভাবে নিম্নলিখিত হিসাবে প্রকাশিত হয়:

এফ ₁ + এফ ₂ + এফ ₃ +… = এফ _আর বা এফ _এন

চিত্র 1. তুষারের ওজন ছাদে বিতরণ করা হয়েছে এবং এর ক্রিয়াটি যথাযথ স্থানে প্রয়োগ করা একক ফলাফল শক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে। সূত্র: পিক্সাবে।

ফলস্বরূপ ভেক্টর, এটি বাহিনী বা অন্য কোনও ভেক্টরের বিশালতা, ভেক্টর সংযোজনের নিয়ম প্রয়োগ করে পাওয়া যায়। যেহেতু ভেক্টরগুলির দিকনির্দেশ এবং সংজ্ঞা পাশাপাশি একটি সংখ্যাগত মান রয়েছে, ফলস্বরূপ ভেক্টর রাখার জন্য মডিউলগুলি যুক্ত করা যথেষ্ট নয়।

এটি কেবলমাত্র সেই ক্ষেত্রে সত্য যেখানে জড়িত ভেক্টররা একই দিকে থাকে (উদাহরণ দেখুন)। অন্যথায়, ভেক্টর যোগ পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করা প্রয়োজন, যা কেসের উপর নির্ভর করে জ্যামিতিক বা বিশ্লেষণাত্মক হতে পারে।

উদাহরণ

ফলস্বরূপ ভেক্টর সন্ধানের জ্যামিতিক পদ্ধতি হ'ল ট্র্যাভার্স পদ্ধতি এবং সমান্তরাল পদ্ধতি method

বিশ্লেষণী পদ্ধতি হিসাবে, উপাদান উপাদান আছে, যার সাহায্যে ভেক্টরগুলির যে কোনও সিস্টেমের ফলে প্রাপ্ত ভেক্টরটি পাওয়া যায়, তবে শর্ত থাকে যে আমাদের কার্টেসিয়ান উপাদান রয়েছে।

দুটি ভেক্টর যুক্ত করার জন্য জ্যামিতিক পদ্ধতি

মনে করুন ভেক্টরগুলি ইউ এবং ভি (আমরা তাদেরকে স্কেলার থেকে আলাদা করতে সাহসের সাথে বোঝাচ্ছি)। চিত্র 2 এ) আমরা তাদের বিমানে অবস্থিত। ইন চিত্রে 2 খ) এটা এমনভাবে ভেক্টর বনাম এ অনুবাদ করা হয়েছে যে শেষে সঙ্গে এর উৎপত্তি সমানুপাতিক তোমার দর্শন লগ করা । ফলস্বরূপ ভেক্টরটি প্রথম (ইউ) এর উত্স থেকে শেষের দিকে (v) যায়:

চিত্র 2. ভেক্টরের গ্রাফিকাল যোগফলের ফলে ভেক্টর। সূত্র: স্বনির্মিত।

এই ক্ষেত্রে ফলস্বরূপ চিত্রটি একটি ত্রিভুজ (ত্রিভুজ একটি 3-পক্ষযুক্ত বহুভুজ)। যদি আমাদের একই দিকের দুটি ভেক্টর থাকে তবে পদ্ধতিটি একই রকম: ভেক্টরগুলির একটির পরে একটি রাখুন এবং প্রথমটির উত্স বা লেজ থেকে শেষের ডগা বা শেষের দিকে যেতে একটি আঁকুন।

উল্লেখ্য যে পদ্ধতিতে এই পদ্ধতিটি করা হয় তা বিবেচনাধীন নয়, কারণ ভেক্টরগুলির যোগফল ক্রমবর্ধমান।

আরও মনে রাখবেন যে এক্ষেত্রে ফলাফল প্রাপ্ত ভেক্টরের মডিউল (দৈর্ঘ্য বা আকার) পূর্ববর্তী ক্ষেত্রেের বিপরীতে যুক্ত ভেক্টরগুলির মডিউলগুলির যোগফল, যার ফলে প্রাপ্ত ভেক্টরের মডিউলটি যোগফলের যোগফলের চেয়ে কম হয় অংশগ্রহণকারী মডিউল।

সমান্তরাল পদ্ধতি

এই পদ্ধতিটি খুব উপযুক্ত যখন আপনার দুটি ভেক্টর যুক্ত করতে হবে যার উত্স বিন্দু মিলে যায়, বলুন, এক্স এক্স সমন্বিত সিস্টেমের উত্সের সাথে। ধরুন এটি আমাদের ভেক্টর ইউ এবং ভি (চিত্র 3 এ) এর ক্ষেত্রে:

চিত্র 3. ফিরোজা নীল মধ্যে ফলাফল ভেক্টর সঙ্গে সমান্তরাল পদ্ধতি ব্যবহার করে দুটি ভেক্টরের সমষ্টি। সূত্র: স্বনির্মিত।

চিত্র 3 বিতে) ইউ এবং ভি এর সমান্তরাল বিন্দুযুক্ত রেখার সাহায্যে একটি সমান্তরাল নির্মাণ করা হয়েছে । ফলস্বরূপ ভেক্টরটির উৎপত্তিস্থল O এবং এর প্রান্তটি বিন্দুযুক্ত রেখাগুলি ছেদ করে at এই পদ্ধতিটি পূর্ববর্তী বিভাগে বর্ণিত সম্পূর্ণরূপে সমান।

অনুশীলন

-অনুশীলনী 1

নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলি দেওয়া, ট্র্যাভার্স পদ্ধতি ব্যবহার করে ফলাফল ভেক্টরটি সন্ধান করুন।

চিত্র 4. বহুভুজ পদ্ধতি ব্যবহার করে ভ্যাক্টরগুলি তাদের ফলাফলগুলি সন্ধান করুন। অনুশীলন ১. উত্স: নিজস্ব বিস্তৃতি।

সমাধান

ট্র্যাভার্স পদ্ধতিটি দেখা পদ্ধতিগুলির মধ্যে প্রথম। মনে রাখবেন যে ভেক্টরগুলির যোগফল পরিবর্তনীয় (সংযোজনগুলির ক্রম যোগফলকে পরিবর্তন করে না), সুতরাং আপনি কোনও ভেক্টর দিয়ে শুরু করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ u (চিত্র 5 এ) বা আর (চিত্র 5 বি):

চিত্র 5. বহুভুজ পদ্ধতি ব্যবহার করে ভেক্টরের সমষ্টি। সূত্র: স্বনির্মিত।

প্রাপ্ত চিত্র একটি বহুভুজ এবং তার ফলে ভেক্টর (নীল) এর বলা হয় আর । আপনি যদি অন্য ভেক্টর দিয়ে শুরু করেন, যা আকৃতিটি গঠন করা যায় এটি উদাহরণে প্রদর্শিত হিসাবে ভিন্ন হতে পারে, তবে ফলস্বরূপ ভেক্টরটি একই।

অনুশীলন 2

নিম্নলিখিত চিত্রটিতে আমরা জানি যে ভেক্টর u এবং v এর মডিউলগুলি যথাক্রমে u = 3 স্বেচ্ছাসেবী ইউনিট এবং v = 1.8 সালিসী ইউনিট। ধনাত্মক এক্স-অক্ষের সাহায্যে আপনি যে কোণটি তৈরি করেন তা 45º এবং ভায়ার অক্ষের সাহায্যে 60 v তৈরি করে, চিত্রটিতে দেখা যায়। ফলস ভেক্টর, প্রস্থ এবং দিকনির্দেশ সন্ধান করুন।

সমাধান

পূর্ববর্তী বিভাগে ফলক ভেক্টর সমান্তরাল পদ্ধতি প্রয়োগ করে (চিত্রের ফিরোজাতে) পাওয়া গিয়েছিল was

বিশ্লেষণাত্মকভাবে ফলাফল প্রাপ্ত ভেক্টর সন্ধানের একটি সহজ উপায় হ'ল সংযোজিত ভেক্টরগুলিকে তাদের কার্টেসিয়ান উপাদানগুলির দিক থেকে প্রকাশ করা, যা মডিউলাস এবং কোণ জানা থাকলে একটি সহজ কাজ, যেমন এই ভেক্টর যেমন:

ইউ _এক্স = ইউ। কোস 45º = 3 এক্স কোস 45º = 2.12; u _y = ইউ। sin 45º = 3x sin 45º = 2.12

v _x = v। পাপ 60º = 1.8 x পাপ 60º = 1.56; v _y = -v। কোস 60º = -1.8 এক্স কোস 60º = - 0.9

ভেক্টরগুলি ইউ এবং ভি প্লেনের অন্তর্ভুক্ত ভেক্টর, অতএব প্রতিটি দুটি উপাদান রয়েছে। ভেক্টর ইউ প্রথম চতুষ্কোণে রয়েছে এবং এর উপাদানগুলি ইতিবাচক, অন্যদিকে ভেক্টর ভি চতুর্থ কোয়াড্রেন্টে রয়েছে; এর এক্স উপাদানটি ইতিবাচক, তবে উল্লম্ব অক্ষের উপর এটির প্রক্ষেপণ নেতিবাচক y অক্ষের উপর পড়ে।

ফলাফল ভেক্টরের কার্টেসিয়ান উপাদানগুলির গণনা

ফলাফলযুক্ত ভেক্টরটি তাদের কার্টেসিয়ান উপাদানগুলি পেতে বীজগণিতভাবে সম্পর্কিত x এবং y উপাদান যুক্ত করে খুঁজে পাওয়া যায়:

আর _এক্স = 2.12 + 1.56 = 3.68

আর _y = 2.12 + (-0.9) = 1.22

কার্টেসিয়ান উপাদানগুলি নির্দিষ্ট করা হয়ে গেলে, ভেক্টরটি সম্পূর্ণরূপে পরিচিত। ফলাফলযুক্ত ভেক্টর বন্ধনীগুলিতে স্বরলিপি সহ প্রকাশ করা যেতে পারে:

আর = <3.68; 1.22> স্বেচ্ছাসেবী ইউনিট

বিমানের একটি বিন্দু (বা স্থান) থেকে কোনও ভেক্টরকে আলাদা করতে ব্র্যাকেট স্বরলিপি ব্যবহার করা হয়। বিশ্লেষণাত্মকভাবে ভেক্টরকে প্রকাশ করার আরেকটি উপায় হ'ল বিমানের i এবং j ইউনিট ভেক্টর (i, j এবং k স্পেসে) ব্যবহার করে:

আর = 3.68 আই + 1.22 জে স্বেচ্ছাসেবী ইউনিট

যেহেতু ফলাফল প্রাপ্ত ভেক্টরের উভয় উপাদানই ইতিবাচক, ভেক্টর আর প্রথম চতুর্ভুজযুক্ত, যা ইতিমধ্যে গ্রাফিকভাবে আগে দেখা গেছে has

ফলাফল ভেক্টরের বিশালতা এবং দিকনির্দেশ

কার্টিজিয়ান উপাদান জানা, আর মাত্রার, পিথাগোরাসের উপপাদ্য মাধ্যমে গণনা করা হয় যেহেতু ফলে ভেক্টর আর তার উপাদান একসাথে R _এক্স এবং R _এবং একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠন:

প্রসার বা মডিউল: আর = (3.68 ² + 1.22 ²) ^½ = 3.88

দিকনির্দেশনা কুই ইতিবাচক এক্স গ্রহণ একটি রেফারেন্স হিসাবে অক্ষ: কুই = arctan (আর _Y / r _এক্স) = arctg (1,22 /3.68) = 18,3 º

তথ্যসূত্র

1. ভেক্টর এবং বিধি যুক্ত করা হচ্ছে। থেকে নেওয়া: newt.phys.unsw.edu.au
2. ফিগুয়েরো, ডি সিরিজ: বিজ্ঞান ও প্রকৌশল জন্য পদার্থবিদ্যা। খণ্ড 1. গতিবিদ্যা। 31-68।
3. শারীর। মডিউল 8: ভেক্টর। থেকে উদ্ধার করা: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, আর। 2006. ইঞ্জিনিয়ার্স জন্য মেকানিক্স। স্থির 6th ষ্ঠ সংস্করণ। কন্টিনেন্টাল প্রকাশনা সংস্থা। 15-53।
5. ভেক্টর সংযোজন ক্যালকুলেটর। থেকে প্রাপ্ত: www.1728.org