নন-কোপ্লানার ভেক্টর: সংজ্ঞা, শর্ত, অনুশীলন - শারীরিক - 2025

অ - একতলীয় ভেক্টর ঐ যে একই সমতল ভাগ করি না হয়। দুটি বিনামূল্যে ভেক্টর এবং একটি বিন্দু একটি একক বিমানকে সংজ্ঞায়িত করে। তৃতীয় ভেক্টর সেই বিমানটি ভাগ করে নিতে বা ভাগ করতে পারে এবং যদি তা না হয় তবে তারা নন-কপ্লানার ভেক্টর।

নন-কোপ্লানার ভেক্টরগুলি একটি ব্ল্যাকবোর্ড বা কাগজের পত্রকের মতো দ্বিমাত্রিক জায়গাগুলিতে প্রতিনিধিত্ব করা যায় না, কারণ তাদের মধ্যে কিছু তৃতীয় মাত্রায় রয়েছে। তাদের যথাযথভাবে উপস্থাপন করতে আপনাকে দৃষ্টিভঙ্গি ব্যবহার করতে হবে।

চিত্র 1. কোপলনার এবং নন-কোপ্লানার ভেক্টর। (নিজস্ব বিবরণ)

যদি আমরা চিত্র 1 দেখুন, প্রদর্শিত সমস্ত বস্তুগুলি পর্দার প্লেনটিতে কঠোরভাবে রয়েছে, তবে দৃষ্টিভঙ্গির জন্য আমাদের মস্তিষ্ক কোনও প্লেন (পি) বেরিয়ে আসতে পারে যা কল্পনা করতে সক্ষম হয়।

সেই প্লেনে (পি) ভেক্টরগুলি r, s, u থাকে, তবে ভেক্টর v এবং w সেই বিমানে থাকে না।

অতএব ভেক্টর r, s এর, U একে অপরের সাথে একতলীয় বা একতলীয় যেহেতু তারা একই সমতল (P) টি শেয়ার করুন। ভেক্টর v এবং W দেখানো অন্যান্য ভেক্টর সাথে একটি প্লেনে ভাগ করি না, অতএব তারা অ একতলীয় হয়।

প্লেনের কোপ্লানার ভেক্টর এবং সমীকরণ

ত্রি-মাত্রিক স্থানে তিনটি পয়েন্ট থাকলে একটি বিমানকে অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

ধরা যাক এই তিনটি পয়েন্ট হ'ল পয়েন্ট এ, পয়েন্ট বি এবং পয়েন্ট সি যা সমতল (পি) সংজ্ঞায়িত করে। এই পয়েন্টগুলির সাহায্যে দুটি ভেক্টর AB = u এবং AC = v তৈরি করা সম্ভব যা বিমান (পি) দিয়ে নির্মাণ কোপলানারে রয়েছে।

এই দুটি ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্ট (বা ক্রস প্রোডাক্ট) ফলাফল তাদের তৃতীয় ভেক্টর লম্ব (বা সাধারণ) এবং ফলস্বরূপ সমতল (পি) এর জন্য লম্বায়:

n = u X v => n ⊥ u এবং n ⊥ v => n ⊥ (পি)

প্লেন (পি) এর সাথে সম্পর্কিত যে কোনও অন্য বিন্দুতে অবশ্যই সন্তুষ্ট হওয়া উচিত যে ভেক্টর এ কিউ ভেক্টর এন-এর জন্য লম্ব আছে; এটি এটির সমান যে AQ সহ n এর ডট পণ্য (বা ডট পণ্য) অবশ্যই শূন্য হতে হবে:

n • একিউ = 0 (*)

পূর্ববর্তী শর্তটি এটি বলার সমতুল্য:

একিউ • (ইউ এক্স ভি) = 0

এই সমীকরণটি নিশ্চিত করে যে বিন্দু Q বিমানের (পি) এর অন্তর্গত।

বিমানের কার্টেসিয়ান সমীকরণ

উপরের সমীকরণটি কার্তেসিয়ান আকারে লেখা যেতে পারে। এটি করার জন্য, আমরা বিন্দু A, Q এবং সাধারণ ভেক্টরের n এর উপাদানগুলির স্থানাঙ্ক লিখি:

সুতরাং একিউ এর উপাদানগুলি হ'ল:

ভেক্টর একিউর সমতলে বিমান (পি) থাকার শর্তটি শর্ত (*) যা এখন এভাবে লেখা হয়েছে:

বিন্দু পণ্য অবশিষ্ট গণনা:

যদি এটি বিকাশ ও পুনর্বিন্যাস করা হয় তবে তা থেকে যায়:

পূর্বের অভিব্যক্তিটি হ'ল একটি বিমান (পি) এর কার্টেসিয়ান সমীকরণ, যা সাধারণত কোনও ভেক্টরের উপাদানগুলির (পি) এবং (পি) এর অন্তর্গত A বিন্দুটির স্থানাঙ্ক হিসাবে কাজ করে।

তিনটি ভেক্টরের নন-কপ্লানার হওয়ার শর্ত

হিসাবে পূর্বের বিভাগে দেখা যায়, শর্ত কিউ • (U এক্স বনাম) = 0 গ্যারান্টী যে ভেক্টর কিউ করার একতলীয় হয় তোমার দর্শন লগ করা এবং V ।

আমরা যদি ভেক্টরকে একিউ ডব্লু বলে থাকি তবে আমরা এটি নিশ্চিত করতে পারি:

W, U এবং V একতলীয় হয়, যদি এবং কেবল যদি W • (U এক্স বনাম) = 0।

নন-কপলানারিটি শর্ত

যদি তিনটি ভেক্টরের ট্রিপল পণ্য (বা মিশ্র পণ্য) শূন্য থেকে পৃথক হয় তবে এই তিনটি ভেক্টর নন-কপ্লানার হয়।

যদি ডাব্লু • (ইউ এক্স ভি) ≠ 0 হয় তবে ভেক্টরগুলি ইউ, ভি এবং ডব্লিউ অ-কোপ্লানার হয়।

যদি ভেক্টরের ইউ, ভি এবং ডাব্লির কার্টেসিয়ান উপাদানগুলি চালু করা হয় তবে নন-কপ্লানারিটির শর্তটি এভাবে লেখা যেতে পারে:

ট্রিপল পণ্যটির একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা রয়েছে এবং তিনটি নন-কপ্লানার ভেক্টর দ্বারা উত্পাদিত সমান্তরাল পরিমাণের ভলিউম উপস্থাপন করে।

চিত্র 2. তিনটি নন-কপ্লানার ভেক্টর একটি সমান্তরালিত সংজ্ঞা দেয় যার ভলিউম ট্রিপল পণ্যটির মডিউল। (নিজস্ব বিবরণ)

নিম্নরূপ কারণ; নন-কপ্লানার ভেক্টরগুলির মধ্যে যখন দুটি ভেক্টোরিয়াল গুণিত হয়, তখন একটি ভেক্টর পাওয়া যায় যার দৈর্ঘ্য তারা উত্পন্ন সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রফল।

তারপরে যখন এই ভেক্টরটি তৃতীয় নন-কপ্লানার ভেক্টর দ্বারা মাপকাঠীভাবে গুন করা হবে, তখন আমাদের কাছে যা আছে তা বিমানের একটি লম্বালম্বি লম্বার প্রক্ষেপণ যা প্রথম দুটি তাদের নির্ধারিত ক্ষেত্রের দ্বারা বহুগুণ নির্ধারণ করে।

অন্য কথায়, আমাদের প্রথম দুটি দ্বারা উত্পন্ন সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রটি তৃতীয় ভেক্টরের উচ্চতা দ্বারা গুণিত হয়।

নন-ক্যাপানালারিটির বিকল্প শর্ত

আপনার যদি তিনটি ভেক্টর থাকে এবং সেগুলির মধ্যে অন্য কোনওটির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে রচনা করা যায় না, তবে তিনটি ভেক্টর নন-কপ্লানার। অর্থাৎ, তিনটি ভেক্টর ইউ, ভি এবং ডব্লিউ যদি নন-কপ্লানার হয় তবে:

α u + β v + γ w = 0

এটি কেবল তখনই সন্তুষ্ট যখন α = 0, β = 0 এবং γ = 0।

সমাধান ব্যায়াম

-অনুশীলনী 1

তিনটি ভেক্টর রয়েছে

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) এবং ডাব্লু = (-1, 2, z)

দ্রষ্টব্য যে ভেক্টর ডাব্লু এর z উপাদান অজানা।

তিনটি ভেক্টর একই প্লেন ভাগ না করার গ্যারান্টিযুক্ত এমন যে মানগুলির পরিসর নিতে পারে তার সীমাটি সন্ধান করুন।

সমাধান

ডাব্লু • (ইউ এক্স ভি) = -3 (জেড - 0) + 6 (4 জেড - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

আমরা এই এক্সপ্রেশনটি মান শূন্যের সমান করে দিয়েছি

21 জেড + 18 = 0

এবং আমরা z এর জন্য সমাধান করি

z = -18 / 21 = -6/7

যদি ভেরিয়েবল z মান -6/7 নেয় তবে তিনটি ভেক্টর কোপল্যানার হবে।

সুতরাং z এর মানগুলি যে গ্যারান্টিকে গ্যারান্টি দেয় যে ভেক্টরগুলি নন-কপ্লানার নীচের ব্যবধানে রয়েছে:

z ∈ (-∞, -6 / 7) ইউ (-6/7, ∞)

অনুশীলন 2

নিম্নলিখিত চিত্রটিতে প্রদর্শিত সমান্তরালিত খণ্ডের সন্ধান করুন:

সমাধান

চিত্রটিতে উল্লিখিত সমান্তরালীর ভলিউম সন্ধানের জন্য, স্থানাঙ্ক পদ্ধতির উত্সে তিনটি সমবর্তী নন-কপ্লানার ভেক্টরের কার্টেসিয়ান উপাদানগুলি নির্ধারণ করা হবে। প্রথমটি হ'ল 4 মিটার ভেক্টর ইউ এবং এক্স অক্ষের সমান্তরাল:

u = (4, 0, 0) মি

দ্বিতীয়টি হ'ল 3 মি আকারের এক্সওয়াই প্লেনে ভেক্টর ভি যা এক্স অক্ষের সাহায্যে 60º গঠন করে:

v = (3 * কোস 60º, 3 * পাপ 60º, 0) = (1.5, 2.6, 0.0) মি

তৃতীয়ত ভেক্টর হয় W 5m ও যার XY সমতল ফরম 60º X অক্ষ দিয়ে অভিক্ষেপ, উপরন্তু W Z অক্ষের ফর্ম 30º হবে।

ডাব্লু = (5 * পাপ 30º * কারণ 60º, 5 * পাপ 30º * পাপ 60º, 5 * পাপ 30º)

একবার গণনা শেষ হয়ে গেলে, আমাদের কাছে: ডাব্লু = (1.25, 2.17, 2.5) মি।

তথ্যসূত্র

1. ফিগুয়েরো, ডি সিরিজ: বিজ্ঞান ও প্রকৌশল জন্য পদার্থবিদ্যা। খণ্ড 1. গতিবিদ্যা। 31-68।
2. শারীর। মডিউল 8: ভেক্টর। থেকে উদ্ধার করা: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, আর। 2006. ইঞ্জিনিয়ার্স জন্য মেকানিক্স। স্থির 6th ষ্ঠ সংস্করণ। কন্টিনেন্টাল প্রকাশনা সংস্থা। ২৮--66।
4. ম্যাকলিন, ডব্লিউ শ্যাচাম সিরিজ। ইঞ্জিনিয়ারদের জন্য মেকানিক্স: স্ট্যাটিক্স এবং ডায়নামিক্স। তৃতীয় সংস্করণ। ম্যাকগ্রা হিল 1-15।
5. উইকিপিডিয়া। ভেক্টর উদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.org থেকে ipedia