কনজিগেট দ্বিপদী: এটি কীভাবে সমাধান করা যায়, উদাহরণ, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

একজন অনুবন্ধী দ্বিপদ অন্য দ্বিপদ এক যা তারা শুধুমাত্র অপারেশন একটি চিহ্ন দ্বারা পৃথকীকৃত হয়। দ্বিপদী, যেমন এর নাম থেকে বোঝা যায়, একটি বীজগণিত কাঠামো যা দুটি পদ নিয়ে গঠিত।

দ্বিপদীগুলির কয়েকটি উদাহরণ হ'ল: (এ + বি), (3 মি - এন) এবং (5 এক্স - ওয়াই)। এবং তাদের নিজ নিজ সংযুক্ত দ্বিপদী হ'ল: (ক - বি), (-৩ মিটার - এন) এবং (৫ এক্স + ওয়াই)। তত্ক্ষণাত দেখা যায়, পার্থক্যটি সাইন ইন।

চিত্র 1. একটি দ্বিপদী এবং এর সংঘবদ্ধ দ্বিপদী। তাদের একই পদ রয়েছে, তবে স্বাক্ষরে পৃথক। সূত্র: এফ.জাপাটা।

একটি দ্বিপদী তার সংমিশ্রণ দ্বারা গুণিত একটি উল্লেখযোগ্য পণ্য যা বীজগণিত এবং বিজ্ঞানে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। গুণটির ফলাফলটি মূল দ্বিপদী শর্তগুলির বর্গাকার বিয়োগফল হয়।

উদাহরণস্বরূপ, (x - y) দ্বিপদী এবং এর সংঘটিত (x + y)। সুতরাং, দুটি দ্বিপদীের পণ্য হল পদগুলির বর্গের পার্থক্য:

(x - y)। (x + y) = x ² - y ²

আপনি কীভাবে একটি সংযুক্ত দ্বিপাক্ষকে সমাধান করবেন?

সংমিশ্রিত দ্বিপদী সম্পর্কে বর্ণিত নিয়মটি নিম্নলিখিত:

আবেদনের উদাহরণ হিসাবে, আমরা পূর্ববর্তী ফলাফলটি প্রদর্শন করে শুরু করব, যা বীজগণিতের যোগফলের সাথে পণ্যটির বিতরণ সম্পত্তি ব্যবহার করে করা যেতে পারে।

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

উপরের গুণটি এই পদক্ষেপগুলি অনুসরণ করে প্রাপ্ত হয়েছিল:

- প্রথম দ্বিপদীটির প্রথম পদটি দ্বিতীয়টির প্রথম মেয়াদে গুণিত হয়

- তারপরে প্রথমটি প্রথম, দ্বিতীয়টির দ্বিতীয়টির জন্য

- তারপরে দ্বিতীয়টি প্রথম দ্বিতীয় দ্বারা দ্বিতীয়টি

- অবশেষে দ্বিতীয়টির দ্বিতীয় দ্বারা দ্বিতীয়।

চলুন এখন যাতায়াত সম্পত্তি: yx = xy ব্যবহার করে একটি ছোট পরিবর্তন করা যাক। দেখে মনে হচ্ছে:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

যেহেতু দুটি সমান পদ রয়েছে তবে বিপরীত চিহ্নের (রঙে বর্ণিত এবং আন্ডারলাইন করা), সেগুলি বাতিল করা হয়েছে এবং এটি সরল করা হয়েছে:

(x - y) (x + y) = xx - yy

অবশেষে, এটি প্রয়োগ করা হয় যে কোনও সংখ্যাকে নিজেই গুণ করা এটি বর্গাকারে বাড়ানোর সমতুল্য, যাতে xx = x ² এবং এছাড়াও yy = y ^{2 হয়} ।

এইভাবে এটি পূর্ববর্তী বিভাগে যা ইঙ্গিত করা হয়েছিল তা প্রদর্শিত হয়, একটি অঙ্কের গুণফল এবং তার পার্থক্য হল স্কোয়ারের পার্থক্য:

(x - y)। (x + y) = x ² - y ²

চিত্র 2. একটি সমষ্টি এর পার্থক্য হল স্কোয়ারের পার্থক্য। সূত্র: এফ.জাপাটা।

উদাহরণ

- বিভিন্ন অভিব্যক্তির সংমিশ্রণ দ্বিপদী

উদাহরণ 1

(Y ² - 3y) এর সংযুক্তিটি সন্ধান করুন।

উত্তর: (y ² + 3y)

উদাহরণ 2

(Y ² - 3y) এর পণ্য এবং এর সংঘবদ্ধতা পান।

উত্তর: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ²) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

উদাহরণ 3

পণ্যটি বিকাশ করুন (1 + 2 ক) 2 (2 এ -1)।

উত্তর: পূর্বের প্রকাশটি (2a + 1) এর সমান। (2 ক -1), এটি দ্বিপদী এবং এর সংযোগের সাথে সম্পর্কিত correspond

এটি জানা যায় যে এর সংযোগ দ্বিপদী দ্বারা দ্বিপদী পণ্যটি দ্বিপদী শর্তাবলী এর স্কোয়ার পার্থক্য সমান:

(2 এ + 1) (2 এ -1) = (2 এ) ² - 1 ² = 4 এ ² - 1

উদাহরণ 4

বর্গের পার্থক্য হিসাবে পণ্যটি (x + y + z) (x - y - z) লিখুন।

উত্তর: আমরা প্রথম বন্ধনী এবং বর্গক্ষেত্র বন্ধনীর যত্ন সহকারে ব্যবহার করে সংক্ষিপ্ত দ্বিপদী ফর্মের সাথে উপরের ত্রিকোণগুলি একত্রিত করতে পারি:

(x + y + z) (x - y - z) =

এইভাবে স্কোয়ারের পার্থক্য প্রয়োগ করা যেতে পারে:

(x + y + z) (x - y - z) =। = x ² - (y + z) ²

উদাহরণ 5

স্কয়ারের পার্থক্য হিসাবে পণ্যটি (মি ² - মি -1) প্রকাশ করুন M (এম ² + মি -1)।

উত্তর: পূর্বের অভিব্যক্তিটি দুটি ত্রৈমাসিকের পণ্য। এটি প্রথমে দুটি সংমিশ্রিত দ্বিপদীগুলির পণ্য হিসাবে পুনরায় লিখতে হবে:

(মি ² - মি -1) (মি ² + মি -1) = (মি ² - 1 - মি) (মি ² -1 + মি) =।

আমরা এই সত্যটি প্রয়োগ করি যে এর সংঘবদ্ধ দ্বারা দ্বিপদী পণ্যটি তার শর্তগুলির চতুর্ভুজ পার্থক্য, যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে:

। = (মি ² -1) ² - মি ²

অনুশীলন

সর্বদা হিসাবে, আপনি সহজ ব্যায়াম দিয়ে শুরু করুন এবং তারপরে জটিলতার স্তরটি বাড়িয়ে দিন।

- অনুশীলনী 1

পণ্য হিসাবে (9 - ²) লিখুন ।

সমাধান

পূর্বে যা বর্ণিত হয়েছিল তা প্রয়োগ করার জন্য প্রথমে আমরা স্কোয়ারের পার্থক্য হিসাবে এক্সপ্রেশনটি আবার লিখি। এভাবে:

(9 - একটি ²) = (3 ² - একটি ²)

পরবর্তী আমরা ফ্যাক্টর, যা বিবৃতিতে অনুরোধ হিসাবে পণ্য হিসাবে স্কোয়ারের এই পার্থক্যটি লেখার সমতুল্য:

(9 - এ ²) = (3 ² - এ ²) = (3 + এ) (3 -এ)

- অনুশীলন 2

ফ্যাক্টর 16x ² - 9y ⁴ ।

সমাধান

একটি এক্সপ্রেশন ফ্যাক্টর মানে পণ্য হিসাবে এটি লিখুন। এই ক্ষেত্রে, স্কোয়ারের পার্থক্য অর্জনের জন্য ভাবটি অবশ্যই পূর্বে আবার লিখতে হবে।

এটি করা খুব কঠিন নয়, যেহেতু সাবধানতার সাথে তাকান, সমস্ত কারণগুলি নিখুঁত স্কোয়ার। উদাহরণস্বরূপ 16 হল 4 এর বর্গক্ষেত্র, 9 3 এবং ⁴ এর বর্গ এবং ² x ² x এর বর্গ:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ²) ²

তারপরে আমরা ইতিমধ্যে যা জানি তা প্রয়োগ করি: স্কোয়ারের একটি পার্থক্য হ'ল সংযুক্ত দ্বিপদীগুলির পণ্য:

(4x) ² - (3 এবং ²) ² = (4x - 3 এবং ²)। (4x + 3 এবং ²)

- অনুশীলন 3

দ্বি-দ্বিখণ্ডের পণ্য হিসাবে (ক - খ) লিখুন

সমাধান

উপরের পার্থক্যটি স্কোয়ারের পার্থক্য হিসাবে লেখা উচিত

(√a) ² - (√b) ²

তারপরে এটি প্রয়োগ করা হয় যে স্কোয়ারের পার্থক্য হ'ল সংযুক্ত দ্বিপদীগুলির পণ্য ials

(--A - √b) (+a + √b)

- অনুশীলন 4

কনজিগেট দ্বিপদী ব্যবহারের মধ্যে একটি হল বীজগণিতিক ভাবের যুক্তিযুক্তকরণ। এই পদ্ধতিতে একটি ভগ্নাংশের বর্ণের শিকড়কে মুছে ফেলাতে গঠিত যা অনেক ক্ষেত্রে অপারেশনকে সহজতর করে। নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি যৌক্তিক করতে কনজুগেট দ্বিপদী ব্যবহার করার জন্য অনুরোধ করা হয়েছে:

√ (২-এক্স) /

সমাধান

প্রথম জিনিসটি হ'ল ডিনোমিনেটরের সংক্ষিপ্ত দ্বিপদী চিহ্নিত করা।

এখন আমরা সংক্ষিপ্ত দ্বিপদী দ্বারা মূল অভিব্যক্তিটির অঙ্ক এবং ডিনোমিনেটরকে গুণ করি:

√ (2-x) / {।}

পূর্বের অভিব্যক্তির ডিনোমিনেটরে আমরা একটি পার্থক্যের গুণফলকে স্বীকৃতি দিয়ে থাকি, যা আমরা ইতিমধ্যে জানি দ্বিপদীগুলির স্কোয়ারের পার্থক্যের সাথে মিল রেখে:

√ (2-x) / {(√3) ² - ² }

ডিনোমিনেটর সরলকরণ হ'ল:

√ (2-x) / = √ (2-এক্স) / (1 - এক্স)

এখন আমরা সংখ্যকের সাথে ডিল করি, যার জন্য আমরা যোগফলের সাথে পণ্যটির বিতরণযোগ্য সম্পত্তি প্রয়োগ করব:

√ (2-x) / (1 - এক্স) = √ (6-3x) + √ / (1 - এক্স)

পূর্বের অভিব্যক্তিতে আমরা দ্বিপদী (2-x) এর সংযোগটি তার পণ্য দ্বারা স্বীকৃত করি যা বর্গের পার্থক্যের সমান উল্লেখযোগ্য পণ্য। এইভাবে, অবশেষে একটি যুক্তিযুক্ত এবং সরলিকৃত প্রকাশ পাওয়া যায়:

/ (1 - এক্স)

- অনুশীলন 5

কনজিগেট দ্বিপদী বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে নিম্নলিখিত পণ্য বিকাশ করুন:

।

সমাধান

4a ^{(2x + + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x).a ^(6y) - 9a ^(2x).a ^(-6y) =.a ^(2x)

মনোযোগী পাঠক রঙটি হাইলাইট করা হয়েছে যে সাধারণ ফ্যাক্টরটি লক্ষ্য করেছেন।

তথ্যসূত্র

1. বালডোর, এ। 1991. বীজগণিত। সম্পাদকীয় সংস্কৃতি ভেনিজোলনা এসএ
2. গনজালেজ জে। সংক্ষিপ্ত দ্বিপদী মহড়া। উদ্ধার করা হয়েছে: একাডেমিয়া.ইডু।
3. গণিত শিক্ষক অ্যালেক্স। উল্লেখযোগ্য পণ্য। ইউটিউব ডটকম থেকে উদ্ধার করা।
4. Math2me। সংযুক্ত দ্বিপদী / উল্লেখযোগ্য পণ্য। ইউটিউব ডটকম থেকে উদ্ধার করা।
5. সংযুক্ত দ্বিপদী পণ্য। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: lms.colbachenlinea.mx।
6. Vitual। সংযুক্ত দ্বিপদী। পুনরুদ্ধার: ইউটিউব ডটকম থেকে।