ত্রিভুজ বৈষম্য: প্রমাণ, উদাহরণ, সমাধান ব্যায়াম - গণিতশাস্ত্র - 2025

একে অসম ত্রিভুজ সম্পত্তি বলা হয় যা তাদের যোগফলের পরম মানের সমন্বয়ে দুটি প্রকৃত সংখ্যার সাথে মিলিত হয় সর্বদা তাদের পরম মানগুলির যোগফলের চেয়ে কম বা সমান। এই সম্পত্তিটি মিনকোভস্কির অসমতা বা ত্রিভুজুল্য বৈষম্য হিসাবেও পরিচিত।

সংখ্যার এই সম্পত্তিটিকে ত্রিভুজাকার বৈষম্য বলা হয় কারণ ত্রিভুজগুলিতে এটি ঘটে থাকে যে এক দিকের দৈর্ঘ্য সর্বদা অপর দুটিের যোগফলের চেয়ে কম বা সমান হয়, যদিও এই অসমতাটি ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রে সর্বদা প্রযোজ্য না।

চিত্র 1. দুটি সংখ্যার যোগফলের পরম মান সর্বদা তাদের নিখুঁত মানগুলির যোগফলের চেয়ে কম বা সমান। (আর। পেরেজ প্রস্তুত)

আসল সংখ্যায় ত্রিভুজাকার বৈষম্যের বেশ কয়েকটি প্রমাণ রয়েছে, তবে এই ক্ষেত্রে আমরা পরম মান এবং দ্বি-দ্বি স্কোয়ারের বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে একটি বেছে নেব।

উপপাদ্য: আমাদের এবং আসল সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত প্রতিটি সংখ্যার a এবং b এর জন্য:

- এ + বি - ≤ - এ - + - বি -

প্রদর্শন

আমরা অসমতার প্রথম সদস্যকে বিবেচনা করে শুরু করব, যা স্কোয়ার করা হবে:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 আব + বি ^ 2 (এক। 1)

পূর্ববর্তী পদক্ষেপে আমরা সম্পত্তিটি ব্যবহার করেছি যে কোনও সংখ্যা বর্গক্ষেত্র উল্লিখিত বর্গাকার সংখ্যার পরম মানের সমান, যা: -x- ^ 2 = x ^ 2। বর্গক্ষেত্র দ্বিপদী সম্প্রসারণও ব্যবহৃত হয়েছে।

প্রতিটি সংখ্যা x এর সম্পূর্ণ মানের থেকে কম বা সমান। সংখ্যাটি যদি ইতিবাচক হয় তবে এটি সমান, তবে সংখ্যাটি negativeণাত্মক হলে এটি সর্বদা ধনাত্মক সংখ্যার চেয়ে কম হবে। এক্ষেত্রে এর নিজস্ব পরম মান, অর্থাৎ এটি x ≤ - x - বলা যেতে পারে।

পণ্য (আব) একটি সংখ্যা, অতএব এটি প্রয়োগ করে (আব) ab - আব -। যখন এই সম্পত্তিটি প্রয়োগ করা হয় (একাদ। 1) আমাদের রয়েছে:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (আব) + বি ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - আব - + বি ^ 2 (একা। 2)

আমলে নিলে - আব - = - ক - বি - লা (একা। ২) নীচে লেখা যেতে পারে:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (E1। 3)

তবে যেহেতু আমরা আগেই বলেছিলাম যে একটি সংখ্যার বর্গক্ষেত্রটি বর্গাকার সংখ্যার পরম মানের সমান, তারপরে সমীকরণ 3 নিম্নরূপে আবারও লেখা যায়:

- এ + বি - ^ 2 ≤ -এ- ^ 2 + 2 -এ- -বি- + -বি- ^ 2 (একক 4)

অসমতার দ্বিতীয় সদস্যের ক্ষেত্রে, একটি উল্লেখযোগ্য পণ্য স্বীকৃত হয়, যা প্রয়োগ করা হলে:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (একক। 5)

পূর্ববর্তী অভিব্যক্তিতে এটি লক্ষ করা উচিত যে অসমতার উভয় সদস্যের মধ্যে স্কোয়ার করা মানগুলি ইতিবাচক, সুতরাং এটিও সন্তুষ্ট থাকতে হবে যে:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (একক। 6)

আগের প্রকাশটি হ'ল আপনি যা প্রদর্শন করতে চেয়েছিলেন।

উদাহরণ

এরপরে আমরা কয়েকটি উদাহরণ সহ ত্রিভুজাকার বৈষম্য পরীক্ষা করব।

উদাহরণ 1

আমরা মান a = 2 এবং মান বি = 5 গ্রহণ করি, এটি উভয় ধনাত্মক সংখ্যা এবং আমরা পরীক্ষা করে নিই যে অসমতা সন্তুষ্ট কিনা।

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - 2 -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

সাম্যতা যাচাই করা হয়েছে, সুতরাং ত্রিভুজ অসমতার উপপাদ্যটি সম্পন্ন হয়েছে।

উদাহরণ 2

নিম্নলিখিত মানগুলি a = 2 এবং b = -5 বেছে নেওয়া হয়েছে, এটি একটি ধনাত্মক সংখ্যা এবং অন্যান্য negativeণাত্মক, আমরা অসমতাকে সন্তুষ্ট কিনা তা পরীক্ষা করে দেখি।

- 2 - 5 - 2 -2- + - 5-

- -3 - ≤ -2- + - 5-

3 ≤ 2 + 5

বৈষম্য সন্তুষ্ট, অতএব ত্রিভুজাকার বৈষম্য তত্ত্বটি যাচাই করা হয়েছে।

উদাহরণ 3

আমরা মান a = -2 এবং মান বি = 5, যেটি একটি নেতিবাচক সংখ্যা এবং অন্যান্য ধনাত্মক, আমরা অসমতাকে সন্তুষ্ট কিনা তা পরীক্ষা করে দেখি।

- -2 + 5 - ≤ - 2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

বৈষম্য যাচাই করা হয়েছে, সুতরাং উপপাদ্যটি সম্পন্ন হয়েছে।

উদাহরণ 4

নিম্নোক্ত মানগুলি a = -2 এবং b = -5 বেছে নেওয়া হয়েছে, এটি উভয়ই নেতিবাচক সংখ্যা এবং আমরা পরীক্ষা করে নিই যে অসমতা সন্তুষ্ট কিনা।

- -2 - 5 - 2 --2- + --5-

- -7 - 2 --2- + - 5-

7 ≤ 2+ 5

সাম্যতা যাচাই করা হয়েছে, সুতরাং মিনকভস্কির অসমতার উপপাদ্যটি পূরণ হয়েছে।

উদাহরণ 5

আমরা মান a = 0 এবং মান বি = 5, যেটি একটি সংখ্যা শূন্য এবং অন্যান্য ধনাত্মক গ্রহণ করি, তারপরে আমরা পরীক্ষা করে নিই যে অসমতা সন্তুষ্ট কিনা।

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - 0 -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

সমতা পরিপূর্ণ, সুতরাং ত্রিভুজ অসমতার উপপাদ্যটি যাচাই করা হয়েছে।

উদাহরণ 6

আমরা মান a = 0 এবং মান বি = -7- গ্রহণ করি, এটি একটি সংখ্যা শূন্য এবং অন্যটি ধনাত্মক বলতে হয়, তারপরে আমরা পরীক্ষা করে নিই যে অসমতা সন্তুষ্ট কিনা।

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

সাম্যতা যাচাই করা হয়েছে, সুতরাং ত্রিভুজাকার অসমতার উপপাদ্যটি পূরণ করা হয়েছে।

সমাধান ব্যায়াম

নিম্নলিখিত অনুশীলনগুলিতে, a এবং b সংখ্যার জন্য জ্যামিতিকভাবে ত্রিভুজ বৈষম্য বা মিনকভস্কি অসমতার প্রতিনিধিত্ব করুন।

সংখ্যাটি এক্স অক্ষের অংশ হিসাবে উপস্থাপিত হবে, এর উত্স হে এক্স অক্ষের শূন্যের সাথে মিলিত হবে এবং বিভাগের অপর প্রান্তে (বিন্দু পিতে) এক্স অক্ষের ধনাত্মক দিক (ডানদিকে) হবে যদি একটি > 0, তবে যদি একটি <0 এটি এক্স অক্ষের নেতিবাচক দিকের দিকে হবে, যতগুলি ইউনিট এর নিখুঁত মান নির্দেশ করে।

একইভাবে, বি নম্বরটি এমন একটি বিভাগ হিসাবে উপস্থাপিত হবে যার উত্স পয়েন্ট পি তে রয়েছে extreme - পি এর বামে ইউনিট যদি বি <0 হয়।

অনুশীলনী 1

A = 5 এবং b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, যেখানে c = a + b এর জন্য ত্রিভুজটির অসমতার গ্রাফ।

অনুশীলন 2

A = 5 এবং b = -3 এর জন্য ত্রিভুজাকার বৈষম্য গ্রাফ করুন।

- a + b - ≤ - a - + - b -, যেখানে c = a + b।

অনুশীলন 3

গ্রাফিকভাবে a = -5 এবং b = 3 এর জন্য ত্রিভুজের অসমতা দেখান।

- a + b - ≤ - a - + - b -, যেখানে c = a + b।

অনুশীলন 4

A = -5 এবং b = -3 এর জন্য ত্রিভুজাকার বৈষম্যকে গ্রাফিকালি তৈরি করুন।

- a + b - ≤ - a - + - b -, যেখানে c = a + b।

তথ্যসূত্র

1. E. হোয়াইটসিট (1980)। বুলিয়ান বীজগণিত এবং এর অ্যাপ্লিকেশন। সম্পাদকীয় সংস্থা কন্টিনেন্টাল সিএ
2. মাচেল ও 'সিয়ারকয়েড। (2003) অ্যাবস্ট্রাক্ট এনালাইসিসের উপাদানসমূহ। । গণিত বিভাগ। বিশ্ববিদ্যালয় কলেজ ডাবলিন, বেলফিল্ড, ডাবলিন্ড।
3. জে ভ্যান উইক (2006) কম্পিউটার বিজ্ঞানে গণিত এবং প্রকৌশল। ইনস্টিটিউট ফর কম্পিউটার সায়েন্সেস অ্যান্ড টেকনোলজি। জাতীয় মান ব্যুরো। ওয়াশিংটন, ডিসি 20234
4. এরিক লেহম্যান। কম্পিউটার বিজ্ঞানের জন্য গণিত। গুগল ইনক।
5. এফ থমসন লেইটন (1980)। ক্যালকুলাস। গণিত বিভাগ এবং কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং এআই পরীক্ষাগার, ম্যাসাচুসেটস ইনস্টিটিউট অফ টেকনোলজি।
6. খান একাডেমি. ত্রিভুজ বৈষম্য উপপাদ্য। উদ্ধার করেছেন: খানচাদেমি.অর্গ.ও.
7. উইকিপিডিয়া। ত্রিভুজাকার বৈষম্য। থেকে উদ্ধার: এস। wikipedia.com