সাধারণ বণ্টনের বা গসিয়ান বন্টন একটি ক্রমাগত পরিবর্তনশীল, যা সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশন দ্বিঘাত ও নেতিবাচক যুক্তি একজন সূচকীয় ফাংশন, যা একটি ঘণ্টা আকৃতি বৃদ্ধি দেয় দ্বারা বর্ণিত হয় সম্ভাব্যতা বিতরণের হয়।
সাধারণ বিতরণের নামটি এই সত্য থেকেই আসে যে এই বিতরণটি এমন এক পরিস্থিতিতে সর্বাধিক সংখ্যক পরিস্থিতিতে প্রযোজ্য যেখানে কিছু ধারাবাহিক এলোমেলো পরিবর্তনশীল কোনও নির্দিষ্ট গ্রুপ বা জনসংখ্যার সাথে জড়িত।
চিত্র 1. সাধারণ বিতরণ এন (x; μ, σ) এবং এর সম্ভাব্যতা ঘনত্ব এফ (গুলি; μ, σ)। (নিজস্ব বিবরণ)
সাধারণ বিতরণ যেখানে প্রয়োগ করা হয় তার উদাহরণগুলি: পুরুষ বা স্ত্রীলোকের উচ্চতা, কিছু শারীরিক পরিমাপের পরিমাপে বা পরিমাপযোগ্য মানসিক বা সমাজতাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্যে যেমন বৌদ্ধিক অংশ বা নির্দিষ্ট পণ্যের ব্যবহার অভ্যাস।
অন্যদিকে, এটিকে গাউসীয় বিতরণ বা গাউসিয়ান বেল বলা হয়, কারণ এই জার্মান গাণিতিক প্রতিভা যাকে তিনি আবিষ্কারের জন্য আবিষ্কার করেছিলেন যার ব্যবহার তিনি জ্যোতির্বিদ্যা সংক্রান্ত পরিমাপের পরিসংখ্যানগত ত্রুটি 1800 সালে বর্ণনা করার জন্য দিয়েছিলেন।
তবে এটি বর্ণিত হয়েছে যে এই পরিসংখ্যান বিতরণটি এর আগে ফরাসী বংশোদ্ভূত আরেকজন মহান গণিতবিদ যেমন আব্রাহাম ডি মাইভ্রে দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল 1733 সালে।
সূত্র
Continuous এবং para পরামিতি সহ অবিচ্ছিন্ন ভেরিয়েবল এক্সের সাধারণ বিতরণ ফাংশনটি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:
এন (x; μ, σ)
এবং এটি স্পষ্টভাবে এইভাবে লেখা হয়:
N (x; μ, σ) = ∫ -∞ x f (s; μ, σ) ds
যেখানে f (u; μ, σ) হ'ল সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন:
f (s; μ, σ) = (1 / (σ√ (2π)) এক্সপ্রেস (- এস 2 / (2σ 2))
সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনে তাত্পর্যপূর্ণ ক্রিয়াকে ধ্রুবককে সাধারণকরণের ধ্রুবক বলা হয় এবং এটি এমনভাবে বেছে নেওয়া হয়েছে যে:
এন (+ ∞, μ, σ) = 1
পূর্বের এক্সপ্রেশনটি নিশ্চিত করে যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স -∞ এবং + between এর মধ্যে থাকা সম্ভাবনাটি 1, অর্থাৎ, 100% সম্ভাবনা।
প্যারামিটার হল অবিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্স এবং σ একই ভেরিয়েবলের প্রকরণের মান বিচ্যুতি বা বর্গমূলের গণিত গড়। সেই ক্ষেত্রে যে μ = 0 এবং σ = 1 তারপরে আমাদের মানক সাধারণ বিতরণ বা সাধারণ সাধারণ বিতরণ থাকে:
এন (x; 0 = 0, σ = 1)
সাধারণ বিতরণের বৈশিষ্ট্য
1- যদি কোনও এলোমেলো পরিসংখ্যানগত পরিবর্তনশীল সম্ভাবনার ঘনত্ব f (গুলি; μ, σ) এর সাধারণ বিতরণ অনুসরণ করে তবে বেশিরভাগ ডেটা গড় মানের around এর চারপাশে বিভক্ত হয় এবং এর চারপাশে এমনভাবে ছড়িয়ে ছিটিয়ে থাকে যে এর চেয়ে সামান্য বেশি তথ্যগুলির ⅔ μ - σ এবং μ + σ এর মধ্যে থাকে σ
2- স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি always সর্বদা ইতিবাচক।
3- ঘনত্ব ফাংশনটির আকারটি একটি বেলের মতো হয়, এই কারণেই এই ফাংশনটি প্রায়শই গাওসিয়ান বেল বা গাউসিয়ান ফাংশন বলা হয়।
4- গাউসীয় বিতরণে গড়, মধ্যমা এবং মোড এক হয়ে যায়।
5- সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের প্রতিফলন পয়েন্টগুলি অবিকল μ - σ এবং μ + σ এ σ
The- ফাংশন এফ একটি অক্ষের প্রতিসাম্য যা তার গড় মান through এর মধ্য দিয়ে যায় এবং x ⟶ + ∞ এবং x ⟶ -∞ এর জন্য asyptotically শূন্য হয় ∞
7- σ এর মান যত বেশি হবে, গড় মানের কাছাকাছি ডেটার বিস্তার, গোলমাল বা দূরত্ব তত বেশি। অন্য কথায়, উচ্চতর σ বেলের আকৃতিটি আরও বেশি খোলা থাকে। অন্যদিকে, σ ছোট ইঙ্গিত দেয় যে পাশা গড়ের কাছাকাছি এবং বেলের আকার আরও বন্ধ বা নির্দেশিত pointed
8- ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন N (x; μ, σ) সম্ভাবনাটি নির্দেশ করে যে এলোমেলো পরিবর্তনশীল x এর চেয়ে কম বা সমান। উদাহরণস্বরূপ, চিত্র 1 (উপরে) এর সম্ভাব্যতা পিতে যে ভেরিয়েবল এক্স 1.5 এর চেয়ে কম বা তার সমান হয় 84% এবং সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের অধীনে ক্ষেত্রের সাথে মিলিত হয় (x; μ, σ) -∞ থেকে এক্স
আস্থা অন্তর
9- যদি ডেটাগুলি একটি সাধারণ বিতরণ অনুসরণ করে তবে এর মধ্যে 68.26% μ - σ এবং μ + σ এর মধ্যে σ
10- 95.44% যে কোনও সাধারণ বিতরণ অনুসরণ করে এমন ডেটা μ - 2σ এবং μ + 2σ এর মধ্যে σ
11- 99.74% তথ্য যা একটি সাধারণ বিতরণ অনুসরণ করে data - 3σ এবং μ + 3σ এর মধ্যে σ
12- যদি একটি এলোমেলো ভেরিয়েবল এক্স কোনও বিতরণ N (x; μ, σ) অনুসরণ করে তবে চলক
z = (x - μ) / মানক সাধারণ বিতরণ N (z; 0.1) অনুসরণ করে।
ভেরিয়েবল x থেকে z এ পরিবর্তনকে স্ট্যান্ডার্ডাইজেশন বা টাইপিং বলা হয় এবং স্ট্যান্ডার্ড বিতরণের টেবিলগুলি যখন কোনও অ-মানক স্বাভাবিক বিতরণ অনুসরণ করে এমন ডেটাগুলিতে প্রয়োগ করে তখন খুব কার্যকর।
সাধারণ বিতরণের আবেদন
সাধারণ বিতরণ প্রয়োগের জন্য সম্ভাব্যতা ঘনত্বের অবিচ্ছেদ্য গণনার মধ্য দিয়ে যাওয়া প্রয়োজন, যা বিশ্লেষণাত্মক দৃষ্টিকোণ থেকে সহজ নয় এবং সর্বদা কোনও কম্পিউটার প্রোগ্রাম থাকে না যা এর সংখ্যার গণনা করতে দেয়। এই উদ্দেশ্যে, সাধারণ বা মানক মানগুলির টেবিলগুলি ব্যবহৃত হয়, যা ক্ষেত্রে μ = 0 এবং σ = 1 ক্ষেত্রে সাধারণ বিতরণ ছাড়া আর কিছুই নয়।
মানকযুক্ত সাধারণ বিতরণ সারণী (অংশ 1/2)
মানকযুক্ত সাধারণ বিতরণ সারণী (অংশ 2/2)
এটি লক্ষ করা উচিত যে এই টেবিলগুলিতে নেতিবাচক মান অন্তর্ভুক্ত নয়। যাইহোক, গাউসীয় সম্ভাব্যতা ঘনত্ব ফাংশনের প্রতিসম বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে সংশ্লিষ্ট মানগুলি পাওয়া যায়। নীচের দেখানো সমাধান অনুশীলন এই ক্ষেত্রে সারণীর ব্যবহার নির্দেশ করে।
উদাহরণ
ধরুন আপনার কাছে এলোমেলো ডেটা এক্সের সেট রয়েছে যা 10 এর গড় বিতরণ এবং স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি 2 অনুসরণ করে You
ক) এলোমেলো পরিবর্তনশীল x 8 এর চেয়ে কম বা সমান।
খ) 10 এর চেয়ে কম বা সমান।
গ) যে ভেরিয়েবল এক্স 12 এর নীচে।
d) একটি এক্স-মান 8 এবং 12 এর মধ্যে হওয়ার সম্ভাবনা।
সমাধান:
ক) প্রথম প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আপনাকে কেবল গণনা করতে হবে:
এন (x; μ, σ)
X = 8, μ = 10 এবং σ = 2 দিয়ে। আমরা বুঝতে পারি যে এটি একটি অবিচ্ছেদ্য যা প্রাথমিক কার্যাদিতে বিশ্লেষণাত্মক সমাধান নেই, তবে সমাধানটি ত্রুটি ফাংশন ইরফ (এক্স) এর ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করা হয়েছে।
অন্যদিকে, সংখ্যাসূচক আকারে অবিচ্ছেদ্য সমাধানের সম্ভাবনা রয়েছে, যা অনেকগুলি ক্যালকুলেটর, স্প্রেডশিট এবং জিওজেব্রা যেমন কম্পিউটার প্রোগ্রামগুলি করে। নিম্নলিখিত চিত্রটি প্রথম মামলার সাথে সম্পর্কিত সংখ্যাসূচক সমাধানটি দেখায়:
চিত্র 2. সম্ভাবনার ঘনত্ব এফ (এক্স; μ, σ)। ছায়াযুক্ত অঞ্চলটি পি (x ≤ 8) উপস্থাপন করে। (নিজস্ব বিবরণ)
এবং উত্তরটি হ'ল এক্স 8 এর নীচে থাকা সম্ভাবনাটি হ'ল:
পি (x ≤ 8) = এন (x = 8; μ = 10, σ = 2) = 0.1587
খ) এই ক্ষেত্রে, আমরা সম্ভাবনাটি খুঁজে বের করার চেষ্টা করি যে এলোমেলো পরিবর্তনশীল এক্সটি গড়ের নীচে, যা এই ক্ষেত্রে 10 এর জন্য মূল্যবান The গড় এবং অন্যান্য অর্ধেক গড়ের উপরে। সুতরাং, উত্তরটি হ'ল:
পি (x ≤ 10) = এন (x = 10; μ = 10, σ = 2) = 0.5
গ) এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য আমাদের অবশ্যই এন (x = 12; μ = 10, σ = 2) গণনা করতে হবে, যা এমন একটি ক্যালকুলেটরের সাথে সম্পন্ন করা যেতে পারে যার পরিসংখ্যানগত ফাংশন রয়েছে বা জিওজেব্রা যেমন সফ্টওয়্যারের মাধ্যমে:
চিত্র 3. সম্ভাবনার ঘনত্ব এফ (এক্স; μ, σ)। ছায়াযুক্ত অঞ্চলটি পি (x ≤ 12) উপস্থাপন করে। (নিজস্ব বিবরণ)
অংশ গ এর উত্তর 3 চিত্রে দেখা যাবে এবং হ'ল:
পি (x ≤ 12) = এন (x = 12; μ = 10, σ = 2) = 0.8413।
d) র্যান্ডম ভেরিয়েবল এক্সটি 8 থেকে 12 এর মধ্যে হওয়ার সম্ভাবনাটি খুঁজে পেতে আমরা অংশ a এবং c এর ফলাফলগুলি নীচে ব্যবহার করতে পারি:
পি (8 ≤ x ≤ 12) = পি (x ≤ 12) - পি (x ≤ 8) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826 = 68.26%।
অনুশীলনের সমাধান হয়েছে
কোনও কোম্পানির শেয়ারের গড় মূল্য $ 25 এর মান বিচ্যুতি সহ 25 ডলার। সম্ভাবনাটি নির্ধারণ করুন যে:
ক) একটি ক্রিয়াকলাপের জন্য $ 20 এরও কম খরচ হয়।
খ) এর ব্যয় $ 30 ডলারের বেশি।
গ) দাম $ 20 এবং 30 between এর মধ্যে।
উত্তরগুলি খুঁজে পেতে সাধারণ বন্টন সারণী ব্যবহার করুন।
সমাধান:
টেবিলগুলির ব্যবহার করার জন্য, স্বাভাবিক বা টাইপযুক্ত z ভেরিয়েবলটি পাস করা প্রয়োজন:
Ized 20 সাধারণ ভেরিয়েবলের সমান z = ($ 20 - $ 25) / $ 4 = -5/4 = -1.25 এবং
Ized 30 সাধারণ ভেরিয়েবলের সমান z = ($ 30 - $ 25) / $ 4 = +5/4 = +1.25।
ক) ized 20 সাধারণ ভেরিয়েবলের সমান -1.25 এর সমান, তবে টেবিলটির নেতিবাচক মান নেই, সুতরাং আমরা +1.25 মানটি খুঁজে পাই যা 0.8944 এর মান দেয়।
যদি এই মান থেকে ০.০ বিয়োগ করা হয়, তবে ফলাফলটি 0 এবং 1.25 এর মধ্যবর্তী অঞ্চলটি হবে, যাইহোক, -1.25 এবং 0 এর মধ্যবর্তী অঞ্চলে অভিন্ন (প্রতিসাম্য দ্বারা) হয় বিয়োগের ফলাফলটি 0.8944 - 0.5 = 0.3944 যা -1.25 এবং 0 এর মধ্যে অঞ্চল।
তবে -∞ থেকে -1.25 পর্যন্ত অঞ্চলটি আগ্রহের বিষয়, যা 0.5 - 0.3944 = 0.1056 হবে। সুতরাং এটিতে সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়েছে যে স্টক stock 20 এর নীচে থাকার সম্ভাবনা 10.56%।
খ) টাইপড ভেরিয়েবল z এ $ 30 হ'ল 1.25। এই মানটির জন্য, সারণীটি 0.8944 নম্বরটি দেখায়, যা -∞ থেকে +1.25 এর সাথে সম্পর্কিত। +1.25 এবং + ∞ এর মধ্যবর্তী অঞ্চলটি (1 - 0.8944) = 0.1056। অন্য কথায়, একটি শেয়ারের দাম $ 30 এর বেশি হওয়ার সম্ভাবনা 10.56%।
গ) কোনও ক্রিয়াকলাপের জন্য $ 20 এবং 30 $ 30 এর মধ্যে ব্যয় হওয়ার সম্ভাবনা নিম্নলিখিত হিসাবে গণনা করা হবে:
100% -10.56% - 10.56% = 78.88%
তথ্যসূত্র
- পরিসংখ্যান এবং সম্ভাবনা। স্বাভাবিক বন্টন. উদ্ধার করা হয়েছে: প্রকল্পডেসকার্টস.অর্গ
- জীয়োজেব্রা। ক্লাসিকাল জিওজেব্রা, সম্ভাব্যতা ক্যালকুলাস। জিওজেব্রা.অর্গ.ও.
- MathWorks। গাউসির বিতরণ। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.mathworks.com থেকে
- মেনডেনহল, ডাব্লু। 1981. পরিচালনা ও অর্থনীতি সম্পর্কিত পরিসংখ্যান। 3 য়। সংস্করণ। গ্রুপো সম্পাদকীয় Iberoamérica।
- স্ট্যাট ট্রেক নিজেকে পরিসংখ্যান শেখান ch পয়সন বিতরণ। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: স্ট্যাট্রিক ডটকম,
- ট্রিওলা, এম। 2012. প্রাথমিক পরিসংখ্যান। 11 তম। এড। পিয়ারসন এডুকেশন
- ভিগো বিশ্ববিদ্যালয়। প্রধান ক্রমাগত বিতরণ। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: anapg.webs.uvigo.es
- উইকিপিডিয়া। স্বাভাবিক বন্টন. উদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.org থেকে ipedia