- বৈশিষ্ট্য
- ভেক্টর প্রকার
- ভেক্টর স্বরলিপি
- কার্তেসিয়ান
- পোলার
- বিশ্লেষণাত্মক
- গোলাকার
- একযোগে ভেক্টর অপারেশন
- যোগফল (এ + বি)
- পার্থক্য (এ - বি)
- স্কেলার পণ্য (এ বি)
- ক্রস পণ্য (একটি এক্স বি)
- উদাহরণ: সমাধান ব্যায়াম
- অনুশীলনী 1
- অনুশীলন 2
- প্রস্তাবিত অনুশীলন
- তথ্যসূত্র
সমবর্তী ভেক্টর ভেক্টর গ্রুপ যার অক্ষ এক পর্যায়ে কাকতালীয়ভাবে, অভ্যন্তরীণ ও বহিস্থিত অন্য কোণের প্রতিটি জোড়া মধ্যে বিরচন হয়। নীচের চিত্রটিতে একটি সুস্পষ্ট উদাহরণ দেখা যায়, যেখানে এ, বি এবং সি একে অপরের সাথে একই সাথে ভেক্টর রয়েছে।
D এবং E এর বিপরীতে বাকিগুলি নেই। সমবর্তী ভেক্টর এ বি, এসি এবং সিবি এর মধ্যে কোণ তৈরি হয়। এগুলিকে ভেক্টরগুলির মধ্যে সম্পর্কের কোণ বলে।
বৈশিষ্ট্য
- এগুলির একটি মিল রয়েছে যা তাদের উত্সের সাথে একত্রিত হয়: সমবর্তী ভেক্টরগুলির সমস্ত দৈর্ঘ্য একটি সাধারণ বিন্দু থেকে তাদের নিজ প্রান্তে শুরু হয়।
-সূত্রটিকে ভেক্টরের ক্রিয়া বিন্দু হিসাবে বিবেচনা করা হয়: একটি ক্রিয়াকলাপ স্থাপন করা আবশ্যক যা সরাসরি সমবর্তী ভেক্টরগুলির দ্বারা প্রত্যক্ষভাবে প্রভাবিত হবে।
প্লেন এবং স্পেসে এর ডোমেন যথাক্রমে আর 2 এবং আর 3 হয়: সমবর্তী ভেক্টরগুলি পুরো জ্যামিতিক স্থান আবরণে মুক্ত are
- একই গ্রুপের ভেক্টরগুলিতে বিভিন্ন স্বীকৃতি দেয়। অধ্যয়নের শাখাগুলি অনুসারে, ভেক্টরগুলির সাথে অপারেশনে বিভিন্ন স্বরলিপি উপস্থিত রয়েছে।
ভেক্টর প্রকার
ভেক্টরগুলির শাখায় একাধিক মহকুমা রয়েছে, কিছুগুলির মধ্যে তাদের নাম দেওয়া যেতে পারে: সমান্তরাল, লম্ব, লম্বা, কোপলার, একই, বিপরীত এবং একক। সমবর্তী ভেক্টরগুলি এখানে তালিকাবদ্ধ রয়েছে এবং উপরে উল্লিখিত সমস্তগুলির মতো তাদেরও বিভিন্ন বিজ্ঞানে অনেকগুলি প্রয়োগ রয়েছে।
তারা ভেক্টরদের গবেষণায় খুব সাধারণ, কারণ তারা তাদের সাথে ক্রিয়াকলাপগুলিতে একটি দরকারী সাধারণীকরণের প্রতিনিধিত্ব করে। সমতল এবং মহাকাশে উভয়ই সমবর্তী ভেক্টরগুলি সাধারণত বিভিন্ন উপাদানকে উপস্থাপন করতে এবং একটি নির্দিষ্ট সিস্টেমে তাদের প্রভাব অধ্যয়ন করতে ব্যবহৃত হয়।
ভেক্টর স্বরলিপি
ভেক্টর উপাদানকে উপস্থাপন করার বিভিন্ন উপায় রয়েছে। প্রধান এবং সুপরিচিত পরিচিতরা হলেন:
কার্তেসিয়ান
এই একই গাণিতিক পদ্ধতির দ্বারা প্রস্তাবিত, এটি প্রতিটি অক্ষের দৈর্ঘ্যের (x, y, z) এর সাথে মিলিত ট্রিপল সহ ভেক্টরকে বোঝায়
উত্তর: (1, 1, -1) স্পেস এ: (1, 1) বিমান
পোলার
তারা কেবল সমতলে ভেক্টর বোঝাতে পরিবেশন করে, যদিও অখণ্ড ক্যালকুলাসে এটি গভীরতা উপাদান নির্ধারিত হয়। এটি একটি লিনিয়ার প্রস্থের আর এবং পোলার অক্ষের সাথে সম্মতিযুক্ত একটি কোণ দিয়ে গঠিত Ɵ
উত্তর: (3, 45 0) বিমান A: (2, 45 0, 3) স্পেস
বিশ্লেষণাত্মক
তারা ভার্টোরগুলি ব্যবহার করে ভেক্টরের বিশালতা নির্ধারণ করে। ভার্সোয়ারগুলি (আই + জে + কে) এক্স, ওয়াই এবং এর অক্ষের সাথে ইউনিট ভেক্টরকে উপস্থাপন করে
এ: 3 আই + 2 জ - 3 কে
গোলাকার
এগুলি পোলার স্বরলিপির সাথে সমান, তবে y দ্বারা প্রতীকী xy বিমানের উপরে একটি দ্বিতীয় কোণ যুক্ত করে δ
উত্তর: (4, 60 বা, π / 4)
একযোগে ভেক্টর অপারেশন
সমবর্তী ভেক্টরগুলি বেশিরভাগ ভেক্টরগুলির মধ্যে ক্রিয়াকলাপ সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়, কারণ ভেক্টরগুলির উপাদানগুলি এক সাথে উপস্থাপিত হওয়ার সাথে তুলনা করা সহজ।
যোগফল (এ + বি)
একযোগে ভেক্টরগুলির যোগফল ফলাফল ভেক্টর ভি আর খুঁজে বের করা । যা, অধ্যয়নের শাখা অনুযায়ী, একটি চূড়ান্ত কর্মের সাথে মিলে যায়
উদাহরণস্বরূপ: 3 টি স্ট্রিং {এ, বি, সি a একটি বাক্সে আবদ্ধ, স্ট্রিংয়ের প্রতিটি প্রান্ত একটি বিষয় দ্বারা ধারণ করা হয়। 3 টি বিষয়ের প্রত্যেককে অবশ্যই অন্য 2 এর তুলনায় দড়িটি আলাদা দিকে টানতে হবে।
এ: (কুড়াল, আই, এজে) বি: (বিএক্স, বাই, বিজেড) সি: (সিক্স, সাই, সিজেড)
A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V r
বাক্সটি কেবলমাত্র এক দিকে যেতে সক্ষম হবে, সুতরাং ভি আর বাক্সের চলনের দিক এবং দিক নির্দেশ করবে।
পার্থক্য (এ - বি)
ভেক্টরগুলির মধ্যে পার্থক্য সম্পর্কে অনেক মাপদণ্ড রয়েছে, অনেক লেখক এটিকে বাদ দিয়ে বেছে নিয়েছেন যে কেবল ভেক্টরগুলির মধ্যে যোগফল নির্ধারিত রয়েছে, যেখানে পার্থক্যটি বিপরীত ভেক্টরের সমষ্টি সম্পর্কে। সত্যটি হ'ল ভেক্টরগুলিকে বীজগণিতভাবে বিয়োগ করা যেতে পারে।
এ: (কুড়াল, আই, এজে) বি: (বিএক্স, বাই, বিজেড)
এ - বি = এ + (-বি) = (অক্ষ-বিএক্স; আই-বাই; অ্যাজ-বিজে) =
স্কেলার পণ্য (এ বি)
ডট পণ্য হিসাবে পরিচিত, এটি একটি স্কেলারের মান উত্পন্ন করে যা অধ্যয়নের শাখার উপর নির্ভর করে বিভিন্ন আকারের সাথে সম্পর্কিত হতে পারে।
জ্যামিতির জন্য, সমান্তরাল ভেক্টরগুলির জোড় সমান্তরাল ভ্যাক্টরের জোড় দ্বারা গঠিত সমান্তরালগ্রামের ক্ষেত্রটি নির্দেশ করুন। যান্ত্রিক পদার্থবিজ্ঞানের জন্য এটি কোনও শরীরে একটি দূরত্ব movingr সরানোর সময় একটি শক্তি এফ দ্বারা করা কাজকে সংজ্ঞায়িত করে ।
ѡ = এফ । আর
এর নামটি ইঙ্গিত করে, এটি একটি স্কেলারের মান উত্পন্ন করে এবং নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:
ভেক্টরগুলি এ এবং বি হতে দিন
এ: (কুড়াল, আই, এজে) বি: (বিএক্স, বাই, বিজেড)
-আ্যানালিটিক্যাল ফর্ম:
(এ। বি) = -এ -.- বি-কোস θ
যেখানে both উভয় ভেক্টরের মধ্যে অভ্যন্তরীণ কোণ angle
-এলজেব্রিক ফর্ম:
(এ বি) = (ax.bx + ay.by + az.bz)
ক্রস পণ্য (একটি এক্স বি)
ভেক্টর পণ্য বা দুটি ভেক্টরের মধ্যে ডট পণ্য, একটি তৃতীয় ভেক্টর সি সংজ্ঞায়িত করে বি এবং সি এর লম্বিত হওয়ার গুণমান রাখে । পদার্থবিজ্ঞানে, টর্ক ভেক্টর rot হ'ল ঘূর্ণন গতিবিদ্যার মূল উপাদান।
-আ্যানালিটিক্যাল ফর্ম:
- একটি এক্স বি - = -এ -.- বি-.সেন θ
-এলজেব্রিক ফর্ম:
(A x B) = = (ax। বাই - ay। Bx) - (ax। Bz - az। Bx) j + (ax। বাই - ay। Bx) কে
রিলেটিভ আন্দোলন: আর এ / বি
আপেক্ষিকতার ভিত্তি আপেক্ষিক গতি এবং সমবর্তী ভেক্টরগুলি আপেক্ষিক গতির ভিত্তি। সম্পর্কিত অবস্থান, গতি এবং ত্বরণ নিম্নলিখিত ধারণাগুলির ক্রম প্রয়োগ করে নির্ধারণ করা যেতে পারে।
আর এ / বি = আর এ - আর বি; খ এর সাপেক্ষে ক এর আপেক্ষিক অবস্থান
v এ / বি = ভি এ - ভি বি; খ-এর প্রতি শ্রদ্ধার সাথে ক এর আপেক্ষিক বেগ
a A / B = a A - a B; খ এর সাথে সম্পর্কিত A এর আপেক্ষিক ত্বরণ
উদাহরণ: সমাধান ব্যায়াম
অনুশীলনী 1
এ, বি এবং সি সমবর্তী ভেক্টর হতে দিন।
এ = (-1, 3, 5) বি = (3, 5, -2) সি = (-4, -2, 1)
-ফলাফল ভেক্টর V r = 2A - 3B + C থেকে নির্ধারণ করুন
2 এ = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)
-3 বি = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)
ভি আর = 2 এ + (-3 বি) + সি = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)
ভি আর = (;; (10 + 6 + 1))
ভি r = (-15, -11, 17)
- বিন্দু পণ্যটি বর্ণনা করুন (এ। সি)
(এ। সি) = (-1, 3, 5) (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5
(এ। সি) = 3
- A এবং C এর মধ্যে কোণটি গণনা করুন
(এ। সি) = -এ -.- সি-। কোস θ যেখানে θ ভেক্টরগুলির মধ্যে সংক্ষিপ্ততম কোণ
θ = 88.63 0
- এ এবং বি তে একটি ভেক্টর লম্বণ আবিষ্কার করুন
এর জন্য (-1, 3, 5) এবং (3, 5, -2) এর মধ্যে ভেক্টর পণ্যটি সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজন। যেমন আগে ব্যাখ্যা করা হয়েছে, একটি 3 x 3 ম্যাট্রিক্স নির্মিত হয়েছে যেখানে প্রথম সারিটি ট্রিপল ইউনিট ভেক্টর (i, j, কে) দ্বারা গঠিত। তারপরে অপারেশনাল অর্ডারকে সম্মান করে অপারেটরটির জন্য দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সারিটি ভেক্টর দিয়ে তৈরি করা হয়।
(একটি এক্স বি) = = আমি - জে + কে
(একটি এক্স বি) = (-5 - 9) আই - (2 - 15) জ + (-5 - 9) কে
(একটি এক্স বি) = - 14 আই + 13 জে - 14 কে
অনুশীলন 2
ভী যাক একটি ও V খ হতে যথাক্রমে A এবং B বেগ ভেক্টর। এ থেকে দেখা বি এর বেগ গণনা করুন
ভি এ = (3, -1, 5) ভি বি = (2, 5, -3)
এক্ষেত্রে A V B / A এর সাথে B এর আপেক্ষিক বেগ অনুরোধ করা হয়
ভি বি / এ = ভি বি - ভি এ
ভি বি / এ = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)
এটি এ এর বি থেকে দেখা বেগের ভেক্টর যেখানে বি এর বেগের নতুন ভেক্টরটি এ এ অবস্থিত একটি পর্যবেক্ষকের কাছ থেকে রেফারেন্স গ্রহণ করে এবং এ এর গতিবেগের সাথে চলার বর্ণনা দেওয়া হয়েছে।
প্রস্তাবিত অনুশীলন
1-3 ভেক্টর এ, বি এবং সি নির্মাণ করুন যা যুগপত হয় এবং তাদের মধ্যে 3 টি অপারেশন ব্যবহারিক অনুশীলনের মাধ্যমে সম্পর্কিত।
2-ভেক্টরগুলি এ: (-2, 4, -11), বি: (1, -6, 9) এবং সি: (-2, -1, 10) লম্ব লম্বা ভেক্টরগুলি সন্ধান করুন: A এবং B, C এবং B, যোগফল A + B + C
4-স্থানাঙ্ক অক্ষগুলি বিবেচনায় না নিয়ে একে অপরের লম্বিত ve টি ভেক্টর নির্ধারণ করুন।
5-একটি শক্তির দ্বারা সম্পন্ন কাজটি সংজ্ঞায়িত করুন যা কুঁচু 20 মিটার গভীর থেকে 5 কেজি ভর বহন করে।
6-বীজগণিতভাবে দেখান যে ভেক্টরের বিয়োগটি বিপরীত ভেক্টরের যোগফলের সমান। আপনার পোস্টুলেটগুলি ন্যায়সঙ্গত করুন।
7-এই নিবন্ধে বিকাশযুক্ত সমস্ত স্বীকৃতিগুলিতে একটি ভেক্টরকে চিহ্নিত করুন। (কার্টেসিয়ান, মেরু, বিশ্লেষণী ও গোলাকার)।
8-চৌম্বকীয় বাহিনী একটি চৌম্বকের উপর প্রয়োগ করে যা একটি টেবিলের উপরে স্থির থাকে, নিম্নলিখিত ভেক্টরগুলি দিয়ে থাকে; ভি: (5, 3, -2), টি: (4, 7, 9), এইচ: (-3, 5, -4) যদি সমস্ত চৌম্বকীয় শক্তি একই সাথে কাজ করে তবে চৌম্বকটি কোন দিকে চলে যাবে তা নির্ধারণ করুন।
তথ্যসূত্র
- ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতি এবং রূপান্তরকরণ। ক্লেটন ডব্লিউ ডজ। কুরিয়ার কর্পোরেশন, ১ জানুয়ারি 2004
- ফলিত গণিতের সমস্যাগুলি কীভাবে সমাধান করবেন এল মোইসিউইচস্চ। কুরিয়ার কর্পোরেশন, ১০ এপ্রিল 2013
- জ্যামিতির প্রাথমিক ধারণা। ওয়াল্টার প্রেনোভিটস, মায়ার জর্ডান। রোম্যান ও লিটলফিল্ড, অক্টোবর 4 2012
- ভেক্টর। রোকো নাভারো লাকোবা, জুন 7। 2014
- রৈখিক বীজগণিত. বার্নার্ড কলম্যান, ডেভিড আর। হিল। পিয়ারসন এডুকেশন, 2006