কোনও ক্রমের ডোমেন এবং বিপরীতে (উদাহরণ সহ) - গণিতশাস্ত্র - 2025

কোনও ফাংশনের ডোমেন এবং কাউন্টার-ডোমেনের ধারণাগুলি সাধারণত ক্যালকুলাস কোর্সে শেখানো হয় যা বিশ্ববিদ্যালয় ডিগ্রির শুরুতে শেখানো হয়।

ডোমেন এবং কনট্রডোমোইন সংজ্ঞায়নের আগে আপনাকে অবশ্যই একটি ফাংশনটি কী তা জানতে হবে। একটি ফাংশন এফ দুটি সেট এর উপাদানগুলির মধ্যে তৈরি চিঠিপত্রের একটি আইন (নিয়ম)।

যে সেট থেকে উপাদানগুলি নির্বাচন করা হয় তাকে ফাংশনের ডোমেন বলা হয় এবং এই উপাদানগুলিকে চ এর মাধ্যমে প্রেরণ করা হয় সেটটিকে কাউন্টার-ডোমেন বলে।

গণিতে A ডোমেইন এবং কাউন্টার ডোমেন বিযুক্ত একটি ক্রিয়াটি f: A → B দ্বারা প্রকাশিত হয় expression

পূর্বের অভিব্যক্তিটি বলে যে সেট এ এর ​​উপাদানগুলিকে চিঠিপত্র আইন অনুসরণ করে বি সেট বি পাঠানো হয়।

একটি ফাংশন সেট এ এর ​​প্রতিটি উপাদানকে সেট বি এর একক উপাদান নির্ধারণ করে

ডোমেন এবং বিপরীত

রিয়েল ভেরিয়েবল এফ (এক্স) এর একটি আসল ফাংশন দেওয়া, আমাদের কাছে আছে যে ফাংশনের ডোমেন সেই সমস্ত আসল সংখ্যা হবে যেমন, চ এর মূল্যায়ন করার পরে ফলাফলটি একটি আসল সংখ্যা।

সাধারণত কোনও ফাংশনের কাউন্টার-ডোমেন হ'ল আসল সংখ্যার সেট হয় counter

একটি ফাংশনের বিপরীতে কি সর্বদা আর থাকে?

না। যতক্ষণ না এই ফাংশনটি বিশদভাবে অধ্যয়ন করা হয় না ততক্ষণ রি-সংখ্যাগুলির সেটটি সাধারণত একটি পাল্টা ডোমেন হিসাবে নেওয়া হয় taken

তবে একবার ফাংশনটি অধ্যয়ন করা হলে, একটি আরও উপযুক্ত সেট কাউন্টার-ডোমেন হিসাবে নেওয়া যেতে পারে, এটি আর এর একটি উপসেট হবে which

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে উল্লিখিত সঠিক সেটটি ফাংশনের চিত্রের সাথে মেলে।

ফাংশন চ এর চিত্র বা ব্যাপ্তির সংজ্ঞা সমস্ত মানকে বোঝায় যা এফ মধ্যে ডোমেনের একটি উপাদান মূল্যায়ন থেকে আসে।

উদাহরণ

নিম্নলিখিত ফাংশন এবং এর চিত্রের ডোমেন কীভাবে গণনা করতে হবে তা নীচের উদাহরণগুলি ব্যাখ্যা করে।

উদাহরণ 1

F কে f (x) = 2 দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা একটি আসল ফাংশন হোক।

চ এর ডোমেন হ'ল সমস্ত আসল সংখ্যা যেমন, চ-এ মূল্যায়ন করা হলে ফলাফলটি একটি আসল সংখ্যা। মুহুর্তের জন্য বৈপরীত্য আর এর সমান is

প্রদত্ত ফাংশনটি ধ্রুবক হিসাবে (সর্বদা ২ এর সমান) তাই কোন আসল সংখ্যাটি বেছে নেওয়া উচিত তা বিবেচনাধীন নয়, যেহেতু চ এর মূল্যায়নের সময় ফলাফলটি সর্বদা 2 এর সমান হয়, যা একটি আসল সংখ্যা।

সুতরাং, প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেনটি সমস্ত আসল সংখ্যা; অর্থাৎ, এ = আর

এখন এটি জানা গেছে যে ফাংশনের ফলাফল সর্বদা 2 এর সমান হয়, আমাদের কাছে ফাংশনটির চিত্রটি কেবল 2 নম্বর, সুতরাং ফাংশনটির কাউন্টার-ডোমেনটিকে বি = ইমগ (চ) = হিসাবে পুনরায় সংজ্ঞায়িত করা যায় {দুই}।

সুতরাং, চ: আর R {2}।

উদাহরণ 2

G কে g (x) = byx দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা একটি আসল ফাংশন হতে দিন।

যতক্ষণ না g এর চিত্রটি জানা যায় না, ততক্ষণ g এর বিপরীতে B = R হয় R

এই ফাংশনটির সাথে এটি অবশ্যই বিবেচনায় নেওয়া উচিত যে বর্গাকার শিকড়গুলি কেবল অ-নেতিবাচক সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়; এটি শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান সংখ্যার জন্য। উদাহরণস্বরূপ, √-1 একটি আসল সংখ্যা নয়।

সুতরাং, ফাংশন জি এর ডোমেনটি শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান সকল সংখ্যা হতে হবে; অর্থাৎ x ≥ 0

অতএব, এ = [0, +।)।

ব্যাপ্তিটি গণনা করার জন্য, এটি লক্ষ্য করা উচিত যে g (x) এর যে কোনও ফলাফল, কারণ এটি একটি বর্গমূল, সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় বা সমান হবে। এটি, বি = [0, +।)।

উপসংহারে, g: [0, + ∞) → [0, +।)।

উদাহরণ 3

আমাদের যদি h (x) = 1 / (x-1) ফাংশনটি থাকে তবে আমাদের কাছে এই ফাংশনটি x = 1 এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়নি, কেননা ডিনোমিনেটরে আমরা শূন্য পাই এবং শূন্য দ্বারা বিভাগ সংজ্ঞায়িত হয় না।

অন্যদিকে, অন্য কোনও আসল মানের জন্য ফলাফলটি আসল সংখ্যা হবে। সুতরাং, ডোমেনটি এক ব্যতীত সমস্ত বাস্তব; যা, এ = আর {1}}

একইভাবে, এটি লক্ষ্য করা যায় যে ফলাফল হিসাবে প্রাপ্ত একমাত্র মান 0 হয় না, কারণ একটি ভগ্নাংশ শূন্যের সমান হওয়ার জন্য শূন্য হতে হবে।

সুতরাং, ফাংশনটির চিত্রটি শূন্য ব্যতীত সমস্ত বাস্তবের সেট, সুতরাং বি = আর {0 aকে বৈপরীত্য হিসাবে গ্রহণ করা হয়।

উপসংহারে, এইচ: আর {1} → আর {0}}

পর্যবেক্ষণ

উদাহরণ 1 এবং 3 তে প্রদর্শিত ডোমেন এবং চিত্রের একই সেট হতে হবে না।

কার্টেসিয়ান বিমানটিতে যখন কোনও ফাংশন গ্রাফ করা হয় তখন ডোমেনটি X অক্ষ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় এবং কাউন্টারডোমেন বা ব্যাপ্তিটি Y অক্ষ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়।

তথ্যসূত্র

1. ফ্লেমিং, ডব্লিউ।, এবং ভারবার্গ, ডিই (1989)। প্রিক্যালকুলাস গণিত। প্রেন্টাইস হল পিটিআর।
2. ফ্লেমিং, ডব্লিউ।, এবং ভারবার্গ, ডিই (1989)। প্রিক্যালকুলাস গণিত: সমস্যা সমাধানের পদ্ধতির (২, ইলাস্ট্রেটেড এডি।)। মিশিগান: প্রিন্টাইস হল।
3. ফ্লেমিং, ডাব্লু।, এবং ভারবার্গ, ডি। (1991)। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সাথে বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতি। পিয়ারসন শিক্ষা.
4. লারসন, আর। (2010) প্রিক্যালকুলাস (8 ইড।) কেনেজ লার্নিং।
5. লিয়াল, জেএম, এবং ভিলোরিয়া, এনজি (2005)। প্লেন অ্যানালিটিকাল জ্যামিতি। মেরিদা - ভেনিজুয়েলা: সম্পাদকীয় ভেনিজোলানা সিএ
6. পেরেজ, সিডি (2006)। Precalculation। পিয়ারসন শিক্ষা.
7. পুরসেল, ইজে, ভারবার্গ, ডি, এবং রিগডন, এসই (2007)। ক্যালকুলাস (নবম সংস্করণ)। প্রেন্টিস হল.
8. সায়েঞ্জ, জে। (2005) বিজ্ঞান এবং প্রকৌশল (দ্বিতীয় সংস্করণ সংস্করণ) এর প্রথম দিকের ট্রান্সেন্ডেন্ট ফাংশন সহ ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস। অতিভুজ।
9. স্কট, সিএ (২০০৯)। কার্টেসিয়ান প্লেন জ্যামিতি, পার্ট: অ্যানালিটিক্যাল কনিক্স (1907) (পুনর্মুদ্রণ সম্পাদনা)। বাজ উত্স।
10. সুলিভান, এম। (1997)। Precalculation। পিয়ারসন শিক্ষা.