এলিউর নম্বর বা ই সংখ্যা: এর মূল্য কত, মূল্যবান, অ্যাপ্লিকেশন - গণিত - 2025

ইউলার সংখ্যা বা নম্বর ই একটি সুপরিচিত গাণিতিক ধ্রুবক অসংখ্য বৈজ্ঞানিক ও অর্থনৈতিক অ্যাপ্লিকেশন ঘন ঘন দেখা যাচ্ছে যে, সংখ্যা π এবং গণিত অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যার বরাবর হয়।

একটি বৈজ্ঞানিক ক্যালকুলেটর ই সংখ্যার জন্য নিম্নলিখিত মানটি প্রদান করে:

চিত্র 1. ইউলারের সংখ্যা বিজ্ঞানে প্রায়শই উপস্থিত হয়। সূত্র: এফ.জাপাটা।

e = 2.718281828…

তবে আরও অনেক দশমিক জানা যায় যেমন:

ই = 2.71828182845904523536…

এবং আধুনিক কম্পিউটারগুলি ই এর জন্য ট্রিলিয়ন মিলিয়ন দশমিক স্থান খুঁজে পেয়েছে।

এটি একটি অযৌক্তিক সংখ্যা, যার অর্থ এটির দশমিক স্থানগুলির অসীম সংখ্যা রয়েছে যার কোনও পুনরাবৃত্তি বিন্যাস নেই (1828 সিকোয়েন্সটি শুরুতে দু'বার প্রদর্শিত হয় এবং এর পুনরাবৃত্তি হয় না)।

এবং এর অর্থ এটিও হ'ল ই সংখ্যাটি পুরো দুটি সংখ্যার ভাগফল হিসাবে পাওয়া যায় না।

ইতিহাস

সংখ্যাটি ই বিজ্ঞানী জ্যাক বার্নৌল্লি 1683 সালে চিহ্নিত করেছিলেন যখন তিনি যৌগিক আগ্রহের সমস্যাটি অধ্যয়ন করছিলেন, তবে এর আগে এটি পরোক্ষভাবে স্কটিশ গণিতবিদ জন নেপিয়ারের কাজগুলিতে হাজির হয়েছিল, যিনি 1618 সালের দিকে লোগারিদম আবিষ্কার করেছিলেন।

তবে, এটি লিওনহার্ড অয়লার ছিলেন 1727 যিনি এটিকে নাম নম্বর দিয়েছিলেন এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলি নিবিড়ভাবে অধ্যয়ন করেছিলেন। এ কারণেই এটি বর্তমানে ইউরর সংখ্যা হিসাবে ব্যবহৃত হয় এবং বর্তমানে ব্যবহৃত প্রাকৃতিক লোগারিদমগুলির জন্য একটি প্রাকৃতিক বেস হিসাবেও ব্যবহৃত হয় (একটি উদ্দীপক)।

সংখ্যাটি কত?

ই সংখ্যাটি মূল্যবান:

ই = 2.71828182845904523536…

উপবৃত্তির অর্থ হ'ল এখানে অসীম দশমিক সংখ্যা রয়েছে এবং প্রকৃতপক্ষে, আজকের কম্পিউটারগুলির সাথে, তাদের কয়েক মিলিয়নই পরিচিত।

সংখ্যার উপস্থাপনা ই

ই সংজ্ঞা দেওয়ার বিভিন্ন উপায় রয়েছে যা আমরা নীচে বর্ণনা করি:

সীমা হিসাবে ই সংখ্যা

ই সংখ্যাটি যে বিভিন্ন উপায়ে প্রকাশ করা হয় তার মধ্যে একটি হ'ল বিজ্ঞানী বার্নোল্লি যৌগিক স্বার্থে তাঁর রচনাগুলিতে খুঁজে পেয়েছিলেন:

যার মধ্যে আপনাকে মানটি খুব বড় সংখ্যায় তৈরি করতে হবে।

ক্যালকুলেটরের সাহায্যে এটি পরীক্ষা করা সহজ, যখন এন খুব বড় হয়, পূর্বের এক্সপ্রেশনটি উপরে বর্ণিত ই এর মানকে বোঝায়।

অবশ্যই আমরা নিজের থেকে জিজ্ঞাসা করতে পারি যে কীভাবে বড় এন তৈরি করা যায়, তাই আসুন উদাহরণস্বরূপ এর মতো গোল সংখ্যাগুলি চেষ্টা করে দেখুন:

n = 1000; 10,000 বা 100,000

প্রথম ক্ষেত্রে আমরা ই = 2.7169239 পেয়েছি…। দ্বিতীয় ই = 2.7181459… এবং তৃতীয়তে এটি ই: 2.7182682 এর মানের খুব কাছাকাছি। আমরা ইতিমধ্যে কল্পনা করতে পারি যে এন = 1,000,000 বা এর চেয়ে বড় এর সাথে অনুমান করা আরও ভাল হবে।

গাণিতিক ভাষায়, এনকে খুব বড় মানের কাছে পাওয়ার প্রক্রিয়াটিকে অনন্তের সীমা বলা হয় এবং এটিকে এভাবে চিহ্নিত করা হয়:

অনন্তকে বোঝাতে প্রতীক "∞" ব্যবহৃত হয়।

যোগফল হিসাবে ই সংখ্যা

এই অপারেশনের মাধ্যমে নম্বরটি ই সংজ্ঞা দেওয়াও সম্ভব:

ডিনোমিনেটরে উপস্থিত পরিসংখ্যানগুলি: 1, 2, 6, 24, 120… অপারেশনের সাথে মিল! এন, যেখানে:

এবং সংজ্ঞায়িত 0! = 1।

এটি আরও সহজে যাচাই করা যায় যে আরও সংখ্যক সংযোজন যুক্ত হয়েছে, আরও স্পষ্টতই সংখ্যাটি ই পৌঁছেছে।

আসুন আরও বেশি সংখ্যক সংযোজন যুক্ত করে ক্যালকুলেটর দিয়ে কিছু পরীক্ষা করি:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2.71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2.75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2.76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/424) + (1/120) + (1/720) = 2.71806

যোগফলের সাথে আরও শর্তাদি যুক্ত হবে, ফলাফলটি ইয়ের সাথে সাদৃশ্যযুক্ত।

গণিতবিদরা সংক্ষেপ চিহ্নটি ব্যবহার করে এই শর্তগুলির জন্য একটি সংক্ষিপ্ত স্বরলিপি তৈরি করেছিলেন Σ:

এই অভিব্যক্তিটি এই "n = 0 থেকে এন ফ্যাকটিরিওলের মধ্যে 1 এর অনন্তের সমষ্টি" এর মতো পড়া হয়।

জ্যামিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে সংখ্যাটি ই

সংখ্যাটি ই এর বক্ররেখার নিচে অঞ্চল সম্পর্কিত একটি গ্রাফিকাল উপস্থাপনা রয়েছে:

y = 1 / x

যখন x এর মান 1 এবং e এর মধ্যে হয়, এই অঞ্চলটি 1 টির সমান, নিম্নলিখিত চিত্রটিতে বর্ণিত:

চিত্র 2. নম্বরের গ্রাফিক উপস্থাপনা e: x / 1 এবং x = e এর মধ্যে 1 / x বক্ররেখার অধীনের ক্ষেত্রফলের মূল্য 1. উত্স: এফ.জাপাটা।

সংখ্যার বৈশিষ্ট্য ই

ই সংখ্যাটির কয়েকটি বৈশিষ্ট্য হ'ল:

এটি অযৌক্তিক, অন্য কথায়, কেবল দুটি পুরো সংখ্যা ভাগ করে এটি প্রাপ্ত করা যায় না।

ই-সংখ্যাটি হ'ল একটি ট্রান্সসিডেন্ট সংখ্যাও, যার অর্থ হ'ল ই কোনও বহুপদী সমীকরণের সমাধান নয়।

এটি গণিতের ক্ষেত্রে আরও চারটি বিখ্যাত সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত, যথা: π, i, 1 এবং 0, ইউলারের পরিচয়ের মাধ্যমে:

- তথাকথিত জটিল সংখ্যাগুলি ই এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে।

এটি বর্তমান সময়ের প্রাকৃতিক বা প্রাকৃতিক লোগারিদমের ভিত্তি গঠন করে (জন নেপিয়ারের মূল সংজ্ঞাটি কিছুটা পৃথক হয়)।

- এটি এমন একমাত্র সংখ্যা যা এর প্রাকৃতিক লোগারিদম 1 এর সমান, যা:

অ্যাপ্লিকেশন

পরিসংখ্যান

সম্ভাব্যতা এবং পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রে ই সংখ্যাটি খুব ঘন ঘন প্রদর্শিত হয়, যেমন সাধারণ বা গাউসিয়ান, পোইসনস এবং অন্যান্য হিসাবে বিভিন্ন বিতরণে উপস্থিত হয়।

প্রকৌশল

ইঞ্জিনিয়ারিংয়ে এটি ঘন ঘন হয়, যেহেতু ক্ষতিকারক ক্রিয়াকলাপ y = e ^x যান্ত্রিক এবং তড়িৎচুম্বকত্বের মধ্যে উপস্থিত থাকে, উদাহরণস্বরূপ। অনেকগুলি প্রয়োগের মধ্যে আমরা উল্লেখ করতে পারি:

-এক কেবল বা চেইন যা প্রান্তগুলিতে ধরে থাকে, প্রদত্ত বক্ররেখার আকার গ্রহণ করে:

Y = (ঙ ^এক্স + E ^-x) / 2

- প্রথমে ডিসচার্জ ক্যাপাসিটর সি, যা রেজিস্টর আর এবং চার্জ করার জন্য একটি ভোল্টেজ উত্স ভি এর সাথে সিরিজের সাথে সংযুক্ত থাকে, প্রদত্ত টাইম টি হিসাবে একটি নির্দিষ্ট চার্জ কি অর্জন করে:

প্রশ্ন (টি) = সিভি (1-ই-টি ^{/ আরসি})

জীববিদ্যা

ঘনিষ্ঠ ক্রিয়াকলাপ y = Ae ^Bx, এ এবং বি ধ্রুবক সহ, কোষের বৃদ্ধি এবং ব্যাকটেরিয়ার বৃদ্ধির মডেল হিসাবে ব্যবহৃত হয়।

শারীরিক

পারমাণবিক পদার্থবিজ্ঞানে, তেজস্ক্রিয় ক্ষয় এবং বয়স নির্ধারণকে রেডিওকার্বন ডেটিংয়ের মাধ্যমে মডেল করা হয়।

অর্থনীতি

যৌগিক সুদের গণনায় ই সংখ্যাটি প্রাকৃতিকভাবে উত্থিত হয়।

মনে করুন যে প্রতি বছর আই% এর সুদের হারে আপনার বিনিয়োগের জন্য একটি নির্দিষ্ট পরিমাণে পি _{o রয়েছে} ।

আপনি যদি 1 বছরের জন্য এই টাকাটি রেখে দেন তবে সেই সময়ের পরে আপনার কাছে তা হবে:

এটিকে স্পর্শ না করেই আরও এক বছর পরে, আপনি পাবেন:

এবং এইভাবে n বছর ধরে চালিয়ে যাচ্ছি:

এবার আসুন ই এর সংজ্ঞাগুলির একটি:

এটি দেখতে পি এর মত প্রকাশের মতো কিছুটা লাগে তাই একটি সম্পর্ক থাকতে হবে।

আমরা নামমাত্র সুদের হার আমি n সময়ের মধ্যে বিতরণ করতে যাচ্ছি, এইভাবে যৌগিক সুদের হার i / n হবে:

এই অভিব্যক্তিটি আমাদের সীমাটির মতো দেখতে আরও কিছুটা দেখাচ্ছে তবে এটি এখনও ঠিক এক রকম নয়।

যাইহোক, কিছু বীজগণিত হেরফের পরে এটি পরিবর্তনশীল এই পরিবর্তন করে দেখানো যেতে পারে:

আমাদের টাকা পি হয়:

এবং ধনুর্বন্ধনীগুলির মধ্যে যা রয়েছে, তা h অক্ষর দিয়ে লেখা থাকলেও, সীমাটি ইয়ের সংখ্যার সংজ্ঞা দেয় এমন সীমা যুক্তিটির সমান, কেবল সীমাটি অনুপস্থিত।

আসুন h → ∞ করা যাক, এবং ধনুর্বন্ধকের মধ্যে যা হয় তা E হয়। এর অর্থ এই নয় যে আমাদের অর্থ প্রত্যাহার করতে আমাদের অসীম দীর্ঘ সময় অপেক্ষা করতে হবে।

যদি আমরা ঘনিষ্ঠভাবে দেখি, h = n / i তৈরি করে এবং ∞ তে ঝুঁকি নিয়ে, আমরা আসলে যা করেছি তা হ'ল সুদের হারকে খুব অল্প সময়ের মধ্যে ছড়িয়ে দেওয়া:

i = n / h

একে ক্রমাগত যৌগিক বলা হয়। এমন ক্ষেত্রে অর্থের পরিমাণ সহজেই এইভাবে গণনা করা হয়:

যেখানে আমি বার্ষিক সুদের হার। উদাহরণস্বরূপ, এক বছর পরে, অবিচ্ছিন্ন মূলধনের মাধ্যমে প্রতি বছর 9% এ 12 ডলার জমা করার সময়:

€ 1.13 এর লাভের সাথে।

তথ্যসূত্র

1. গণিত উপভোগ করুন। যৌগিক আগ্রহ: পর্যায়ক্রমিক রচনা। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: enjoylasmatmaticas.com।
2. ফিগার, জে 2000. গণিত 1 ম। বিবিধ। সিও-বিও সংস্করণ।
3. গার্সিয়া, এম। প্রাথমিক ক্যালকুলাসের ই সংখ্যা। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: matematica.ciens.ucv.ve।
4. জিমনেজ, আর। 2008. বীজগণিত। প্রেন্টিস হল.
5. লারসন, আর। 2010. একটি ভেরিয়েবলের গণনা। নবম সংস্করণ। ম্যাকগ্রা হিল