কাল্পনিক সংখ্যা: বৈশিষ্ট্য, অ্যাপ্লিকেশন, উদাহরণ - গণিত - 2025

কাল্পনিক সংখ্যার ঐ যে সমীকরণ যা অজানা, বর্গাকার উন্নীত একটি নেতিবাচক বাস্তব সংখ্যার সমান সমাধান হয়। কাল্পনিক ইউনিট i = √ (-1)।

সমীকরণে: z ² = - a, z হল একটি কাল্পনিক সংখ্যা যা নিম্নলিখিত হিসাবে প্রকাশ করা হয়েছে:

z = √ (-a) = i√ (a)

ইতিবাচক আসল সংখ্যা হওয়া। যদি a = 1 হয়, তবে z = i, যেখানে আমি কাল্পনিক ইউনিট।

চিত্র 1. জটিল প্লেনটিতে কিছু আসল সংখ্যা, কিছু কল্পিত সংখ্যা এবং কিছু জটিল সংখ্যা দেখাচ্ছে। সূত্র: এফ.জাপাটা।

সাধারণভাবে, একটি খাঁটি কাল্পনিক সংখ্যা z সর্বদা আকারে প্রকাশ করা হয়:

z = y⋅i

যেখানে y হ'ল একটি আসল সংখ্যা এবং আমি কল্পিত একক।

বাস্তব সংখ্যা যেমন একটি লাইনে উপস্থাপিত হয়, তাকে আসল রেখা বলা হয়, একইভাবে কাল্পনিক সংখ্যাগুলিকে কাল্পনিক লাইনে উপস্থাপন করা হয়।

কাল্পনিক রেখাটি সর্বদা আসল লাইনের দিকে অরথোগোনাল (90º আকৃতি) এবং দুটি রেখা একটি কার্তেসিয়ান বিমানকে জটিল বিমান বলে সংজ্ঞায়িত করে।

চিত্র 1-তে জটিল বিমানটি প্রদর্শিত হয়েছে এবং তার উপর কয়েকটি আসল সংখ্যা, কিছু কাল্পনিক সংখ্যা এবং কিছু জটিল সংখ্যাও প্রতিনিধিত্ব করা হয়েছে:

এক্স ₁, এক্স ₂, এক্স ₃ আসল সংখ্যা

Y ₁, Y ₂, Y ₃ কাল্পনিক সংখ্যা

জেড ₂ এবং জেড ₃ জটিল সংখ্যা

হে সংখ্যাটি হ'ল আসল শূন্য এবং এটি কাল্পনিক শূন্যও, সুতরাং উত্স হে জটিল শূন্যটি প্রকাশ করেছেন:

0 + 0 আই

সম্পত্তি

কাল্পনিক সংখ্যার সেটটি দ্বারা বোঝানো হয়েছে:

আমি = {……, -3 আই,…, -2 আই,…।, - আমি,…।, 0 আই,…।, আমি,…।, 2 আই,…।, 3 আই, ……

এবং আপনি এই সংখ্যার সেটটিতে কিছু ক্রিয়াকলাপ সংজ্ঞায়িত করতে পারেন। এই ক্রিয়াকলাপগুলি থেকে সবসময় একটি কাল্পনিক নম্বর পাওয়া যায় না, তাই আসুন আমরা তাদের আরও কিছুটা বিশদে দেখি:

কাল্পনিক যোগ করুন এবং বিয়োগ করুন

কাল্পনিক সংখ্যাগুলি একে অপরের থেকে যোগ এবং বিয়োগ করা যেতে পারে, যার ফলে একটি নতুন কল্পিত সংখ্যা হয়। উদাহরণ স্বরূপ:

3 আই + 2 আই = 5 আই

4 আই - 7 আই = -3 আই

কাল্পনিক পণ্য

অন্যটির সাথে একটি কাল্পনিক সংখ্যার পণ্য তৈরি করা হলে ফলাফলটি আসল সংখ্যা হয়। এটি পরীক্ষা করার জন্য নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপটি করা যাক:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6।

এবং আমরা দেখতে পাচ্ছি, -6 একটি আসল সংখ্যা, যদিও এটি দুটি খাঁটি কাল্পনিক সংখ্যাকে গুণ করে প্রাপ্ত করা হয়েছে।

অন্য একটি কাল্পনিক দ্বারা বাস্তব সংখ্যার পণ্য

যদি একটি আসল সংখ্যা i দিয়ে গুণিত হয় তবে ফলাফলটি একটি কাল্পনিক সংখ্যা হবে, যা 90-ডিগ্রি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘুরানোর সাথে মিলযুক্ত।

এবং এটি হ'ল i ² 90 ডিগ্রির পরপর দুটি ঘূর্ণনের সাথে সামঞ্জস্য করে, যা -1 দ্বারা গুণনের সমান, অর্থাৎ i ² = -1 হয়। এটি নিম্নলিখিত চিত্রটিতে দেখা যায়:

চিত্র 2. আমি কাল্পনিক ইউনিট দ্বারা গুণটি 90º ঘড়ির কাঁটার বিপরীত ঘূর্ণনের সাথে মিলে যায়। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স

উদাহরণ স্বরূপ:

-3 এক্স 5 আই = -15i

-3 xi = -3i।

একটি কাল্পনিক ক্ষমতায়ন

আপনি একটি পূর্ণসংখ্যার খাতায় একটি কাল্পনিক সংখ্যার ক্ষমতাকে সংজ্ঞায়িত করতে পারেন:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

সাধারণভাবে আমাদের কাছে রয়েছে যে i ⁿ = i ^ (n Mod 4), যেখানে মোড n এবং 4 এর মধ্যে বিভাজনের অবশিষ্টাংশ।

Gণাত্মক পূর্ণসংখ্যার ক্ষমতাও করা যায়:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹) = i / (i ²) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

সাধারণভাবে, পাওয়ার এন-তে উত্থাপিত কাল্পনিক সংখ্যাটি হ'ল:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n Mod 4)

কিছু উদাহরণ নিম্নলিখিত:

(5 আমি) ¹² = 5 ¹² আমি ¹² = 5 ¹² আমি ⁰ = 5 ¹² এক্স 1 = 244140625

(5 আমি) ¹¹ = 5 ¹¹ আমি ¹¹ = 5 ¹¹ আমি ³ = 5 ¹¹ এক্স (-i) = -48828125 আই

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

একটি আসল সংখ্যা এবং একটি কাল্পনিক সংখ্যার যোগফল

আপনি যখন কোনও কল্পিত সংখ্যার সাথে একটি আসল সংখ্যা যুক্ত করেন, ফলাফলটি বাস্তব বা কল্পিত হয় না, এটি একটি নতুন ধরণের সংখ্যা जिसे জটিল সংখ্যা বলে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি এক্স = 3.5 এবং ওয়াই = 3.75i ​​হয় তবে ফলাফলটি জটিল সংখ্যা:

জেড = এক্স + ওয়াই = 3.5 + 3.75 i

মনে রাখবেন যে যোগফলে আসল এবং কল্পিত অংশগুলি একসাথে গ্রুপ করা যায় না, সুতরাং একটি জটিল সংখ্যার সর্বদা একটি আসল অংশ এবং একটি কাল্পনিক অংশ থাকবে।

এই অপারেশনটি জটিল সংখ্যার বিস্তৃত পর্যন্ত প্রকৃত সংখ্যাগুলির সেটকে প্রসারিত করে।

অ্যাপ্লিকেশন

ফরাসি গণিতবিদ রেনা ডেসকার্টেস (1596-1650) কাল্পনিক সংখ্যার নামটি বিদ্রূপ বা শতাব্দীর ইতালিয়ান গণিতবিদ রাফায়েল বোম্বেলির প্রস্তাবের সাথে মতবিরোধ হিসাবে প্রস্তাব করেছিলেন।

অন্যান্য মহান গণিতবিদ, যেমন অয়লার এবং লাইবনিজ, এই মতবিরোধে ডেসকার্টেসকে সমর্থন করেছিলেন এবং কাল্পনিক সংখ্যাকে উভচর সংখ্যা বলে অভিহিত করেছিলেন, যা অস্তিত্বহীন কিছুই ছিল না।

কাল্পনিক সংখ্যার নামটি আজও রয়ে গেছে, তবে তাদের অস্তিত্ব এবং গুরুত্বটি অত্যন্ত বাস্তব এবং স্পষ্টরূপে, যেহেতু তারা পদার্থবিজ্ঞানের অনেক ক্ষেত্রে প্রাকৃতিকভাবে উপস্থিত হয় যেমন:

আপেক্ষিকতা তত্ত্ব।

- বৈদ্যুতিন চৌম্বকীয়তায়।

-কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান.

কল্পিত সংখ্যা নিয়ে অনুশীলন

- অনুশীলনী 1

নিম্নলিখিত সমীকরণের সমাধানগুলি সন্ধান করুন:

z ² + 16 = 0

সমাধান

z ² = -16

আমাদের উভয় সদস্যের স্কোয়ার রুট নেওয়া:

√ (জেড ²) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

অন্য কথায়, মূল সমীকরণের সমাধানগুলি হ'ল:

z = + 4i ওজ = -4i।

- অনুশীলন 2

পাওয়ারে কল্পিত ইউনিট বাড়ানোর ফলাফলটি আবিষ্কার করুন 5 পাওয়ার থেকে উত্থাপিত কাল্পনিক ইউনিটের বিয়োগফলকে বিয়োগ করে।

সমাধান

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- অনুশীলন 3

নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপের ফলাফলটি অনুসন্ধান করুন:

(3i) ³ + 9i

সমাধান

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- অনুশীলন 4

নিম্নলিখিত চতুষ্কোণ সমীকরণের সমাধানগুলি সন্ধান করুন:

(-2x) ² + 2 = 0

সমাধান

সমীকরণটি নীচে পুনরায় সাজানো হয়েছে:

(-2x) ² = -2

তারপরে উভয় সদস্যের বর্গমূল নেওয়া হয়

√ ((- 2x) ²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

তারপরে আমরা এক্স এর সমাধান করতে শেষ অবধি:

x = ± √2 / 2 i

তা হল, দুটি সম্ভাব্য সমাধান রয়েছে:

x = (√2 / 2) i

বা এটি অন্য:

x = - (√2 / 2) i

- অনুশীলন 5

দ্বারা নির্ধারিত Z এর মান সন্ধান করুন:

জেড = √ (-9) √ (-4) + 7

সমাধান

আমরা জানি যে নেতিবাচক বাস্তব সংখ্যাটির বর্গমূল একটি কাল্পনিক সংখ্যা, উদাহরণস্বরূপ √ (-9) √ (9) x √ (-1) = 3i এর সমান।

অন্যদিকে, √ (-4) = i (4) x √ (-1) = 2i এর সমান।

সুতরাং আসল সমীকরণ দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে:

3 আই এক্স 2 আই - 7 = 6 আমি ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- অনুশীলন 6

দুটি জটিল সংখ্যার নিম্নলিখিত বিভাগের ফলে Z এর মানটি সন্ধান করুন:

জেড = (9 - i ²) / (3 + i)

সমাধান

এক্সপ্রেশনটির অঙ্কটি নিম্নলিখিত সম্পত্তিটি ব্যবহার করে তৈরি করা যেতে পারে:

সুতরাং:

জেড = / (3 + আই)

ফলাফলটি প্রকাশের নীচে সরলীকৃত হয় leaving

জেড = (3 - i)

তথ্যসূত্র

1. আর্ল, আর কমপ্লেক্স নম্বর। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: maths.ox.ac.uk থেকে।
2. ফিগার, জে 2000. গণিত 1 ম। বিবিধ। সিও-বিও সংস্করণ।
3. হফম্যান, জে। 2005. গণিতের বিষয় নির্বাচন। মনফোর্ট পাবলিকেশনস।
4. জিমনেজ, আর। 2008. বীজগণিত। প্রেন্টিস হল.
5. উইকিপিডিয়া খালি নম্বর। পুনরুদ্ধার: en.wikedia.org থেকে