অযৌক্তিক সংখ্যা: ইতিহাস, বৈশিষ্ট্য, শ্রেণিবিন্যাস, উদাহরণ - গণিত - 2025

যুক্তিহীন সংখ্যার যাদের অভিব্যক্তি একটি পুনরাবৃত্ত প্যাটার্ন ছাড়া অসীম দশমিক পরিসংখ্যান আছে, তাই না পারে করা প্রাপ্ত থেকে কোন দুটি পূর্ণসংখ্যার মধ্যে অনুপাত।

সর্বাধিক পরিচিত অযৌক্তিক সংখ্যাগুলির মধ্যে রয়েছে:

চিত্র 1. নীচের থেকে নীচের নীচের অযৌক্তিক সংখ্যা: পাই, ইউলারের সংখ্যা, সোনালি অনুপাত এবং দুটি বর্গমূল। সূত্র: পিক্সাবে।

তাদের মধ্যে, সন্দেহ ছাড়াই π (পাই) সর্বাধিক পরিচিত তবে আরও অনেক কিছু রয়েছে। এগুলি সমস্তই আসল সংখ্যার সেটের সাথে সম্পর্কিত, এটিই এমন সংখ্যাসূচক সেট যা যৌক্তিক এবং অযৌক্তিক সংখ্যাকে একসাথে ভাগ করে দেয়।

চিত্র ১-এর উপবৃত্তগুলি ইঙ্গিত দেয় যে দশমিকগুলি অনির্দিষ্টকালের জন্য অব্যাহত থাকে, যা ঘটে তা সাধারণ ক্যালকুলেটরগুলির স্থান কেবল কয়েকটিকে প্রদর্শিত হতে দেয়।

যদি আমরা সাবধানতার সাথে লক্ষ্য করি, যখনই আমরা দুটি সম্পূর্ণ সংখ্যার মধ্যে ভাগফল তৈরি করি, তখন আমরা সীমিত পরিসংখ্যান সহ একটি দশমিক পাই বা না হলে, অসীম পরিসংখ্যানগুলিতে যেখানে এক বা একাধিক পুনরাবৃত্তি হয়। ঠিক আছে, অযৌক্তিক সংখ্যার সাথে এটি ঘটে না।

অযৌক্তিক সংখ্যার ইতিহাস

মহান প্রাচীন গণিতবিদ পাইথাগোরাস, খ্রিস্টপূর্ব 582 সালে গ্রিসের সামোসে জন্মগ্রহণ করেছিলেন, তিনি পাইথাগ্রোরীয় চিন্তাবিদ্যালয় প্রতিষ্ঠা করেছিলেন এবং তাঁর নাম বহনকারী বিখ্যাত উপপাদ্যটি আবিষ্কার করেছিলেন। এটি আমাদের এখানে বাম দিকে রয়েছে (ব্যাবিলনীয়রা এটি হয়ত অনেক আগে জানত)।

চিত্র 2. পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি 1 টির সমান পক্ষের সাথে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রয়োগ হয়েছে Source উত্স: পিক্সাবে / উইকিমিডিয়া কমন্স।

ঠিক আছে, যখন পাইথাগোরাস (বা সম্ভবত তাঁর শিষ্য) 1 টির সমান দিকের সাথে একটি ডান ত্রিভুজটিতে উপপাদ্য প্রয়োগ করেছিলেন, তখন তিনি অযৌক্তিক সংখ্যা √2 খুঁজে পেয়েছিলেন।

তিনি এটি এইভাবে করেছেন:

সি = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

এবং সঙ্গে সঙ্গে তিনি বুঝতে পেরেছিলেন যে এই নতুন সংখ্যাটি দুটি অন্যান্য প্রাকৃতিক সংখ্যার মধ্যে ভাগফল থেকে আসে নি, যেগুলি সেই সময়ের মধ্যে পরিচিত ছিল।

তাই তিনি এটাকে অযৌক্তিক বলে অভিহিত করেছিলেন এবং আবিষ্কারটি পাইথাগোরীয়দের মধ্যে প্রচণ্ড উদ্বেগ ও উদ্বেগ সৃষ্টি করেছিল।

অযৌক্তিক সংখ্যার বৈশিষ্ট্য

- সমস্ত অযৌক্তিক সংখ্যার সেটটি I অক্ষর এবং কখনও কখনও Q * বা Q ^C হিসাবে চিহ্নিত হয় । অযৌক্তিক সংখ্যা I বা Q * এবং যুক্তিযুক্ত সংখ্যা Q এর মধ্যে ইউনিয়নটি আসল সংখ্যার আর্টের সেটকে জন্ম দেয়।

যুক্তিযুক্ত সংখ্যার সাথে, জ্ঞাত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করা যেতে পারে: সংযোজন, বিয়োগ, গুণ, বিভাগ, ক্ষমতায়ন এবং আরও অনেক কিছু।

0 দ্বারা বিভাজনটি অযৌক্তিক সংখ্যার মধ্যে সংজ্ঞায়িত করা হয় না।

অযৌক্তিক সংখ্যার মধ্যে যোগফল এবং যোগফল অযৌক্তিকভাবে অন্য অযৌক্তিক সংখ্যা নয়। উদাহরণ স্বরূপ:

X2 x √8 = √16 = 4

এবং 4 টি অযৌক্তিক সংখ্যা নয়।

যাইহোক, যুক্তিযুক্ত সংখ্যার যোগফল এবং অযৌক্তিক সংখ্যার যোগফল অযৌক্তিক ফলাফল দেয়। এভাবে:

1 + √2 = 2.41421356237…

অযৌক্তিক সংখ্যার দ্বারা 0 থেকে পৃথক যুক্তিযুক্ত সংখ্যার পণ্যটিও অযৌক্তিক। আসুন এই উদাহরণটি দেখুন:

2 এক্স √2 = 2.828427125…

-আপনি যুক্তিযুক্ত সংখ্যার মধ্যে অযৌক্তিক ফলাফলের বিপরীত। আসুন কিছু চেষ্টা করুন:

1 / √2 = 0.707106781…

1 / √3 = 0.577350269…

এই সংখ্যাগুলি আকর্ষণীয় কারণ এগুলি পরিচিত কোণগুলির কিছু ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের মান are ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের বেশিরভাগটি অযৌক্তিক সংখ্যা, তবে ব্যতিক্রম রয়েছে যেমন পাপ 30º = 0.5 = ½, যা যুক্তিযুক্ত।

- যোগফল এবং সংশ্লেষমূলক বৈশিষ্ট্যগুলি সমাপ্ত হয়। যদি ক এবং খ দুটি অযৌক্তিক সংখ্যা হয় তবে এর অর্থ এটি:

a + b = b + a।

এবং যদি সি অন্য যুক্তিযুক্ত সংখ্যা হয় তবে:

(a + b) + c = a + (b + c)।

সংযোজনের ক্ষেত্রে গুণনের বিতরণযোগ্য সম্পত্তি হ'ল আরেকটি সুপরিচিত সম্পত্তি যা অযৌক্তিক সংখ্যার জন্যও সত্য। এক্ষেত্রে:

a। (b + c) = ab + ac

-যুদ্ধ যুক্তিতে এর বিপরীত থাকে: -এ। যখন তারা একসাথে যুক্ত হয় ফলাফল 0:

a + (- a) = 0

-দুটি ভিন্ন যুক্তির মধ্যে কমপক্ষে একটি অযৌক্তিক সংখ্যা রয়েছে।

আসল লাইনে অযৌক্তিক সংখ্যার অবস্থান

আসল লাইনটি একটি অনুভূমিক রেখা যেখানে আসল সংখ্যাগুলি অবস্থিত, যার মধ্যে অযৌক্তিক সংখ্যাগুলি একটি গুরুত্বপূর্ণ অঙ্গ।

জ্যামিতিক আকারে আসল লাইনে একটি অযৌক্তিক সংখ্যা সন্ধান করতে আমরা পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য, একজন শাসক এবং একটি কম্পাস ব্যবহার করতে পারি।

উদাহরণ হিসাবে আমরা আসল লাইনে √5 সনাক্ত করতে যাচ্ছি, যার জন্য আমরা x = 2 এবং y = 1 পাশ দিয়ে ডান ত্রিভুজ আঁকছি, যা চিত্রটিতে দেখানো হয়েছে:

চিত্র 3. আসল লাইনে একটি অযৌক্তিক সংখ্যা সনাক্ত করার পদ্ধতি। সূত্র: এফ.জাপাটা।

পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য দ্বারা, এই জাতীয় ত্রিভুজের হাইপেনটিউজটি হ'ল:

সি = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

এখন কম্পাসটি 0 বিন্দুতে স্থাপন করা হয়েছে, যেখানে ডান ত্রিভুজের একটি শীর্ষেও রয়েছে। কম্পাস পেন্সিলের বিন্দুটি ভার্টেক্স এ এ হওয়া উচিত should

পরিধির একটি চাপ তৈরি করা হয় যা আসল লাইনে কেটে যায়। পরিধি কেন্দ্রের মধ্যবর্তী দূরত্ব এবং এর যে কোনও বিন্দুটি ব্যাসার্ধ, যা √5 এর সমান, তাই ছেদ বিন্দুটিও কেন্দ্র থেকে অনেক দূরে √5।

গ্রাফ থেকে দেখা যাবে যে √ 5 2 এবং 2.5 এর মধ্যে রয়েছে। একটি ক্যালকুলেটর আমাদের আনুমানিক মান দেয়:

√5 = 2.236068

এবং সুতরাং, উপযুক্ত পক্ষগুলির সাথে একটি ত্রিভুজ তৈরি করে, অন্যান্য অযৌক্তিক অবস্থানগুলি যেমন √7 এবং অন্যান্যগুলি অবস্থিত হতে পারে।

অযৌক্তিক সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস

অযৌক্তিক সংখ্যা দুটি গ্রুপে শ্রেণিবদ্ধ করা হয়:

-এলজেব্রেক

- ট্রান্সসেন্টালেন্টাল বা ট্রান্সসেন্টেন্টাল

বীজগণিত সংখ্যা

বীজগণিত সংখ্যাগুলি যা অযৌক্তিক হতে পারে বা নাও হতে পারে সেগুলি হ'ল বহুপদী সমীকরণগুলির সমাধান যাগুলির সাধারণ রূপ:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…। + এ ₁ এক্স + এ _ও = 0

বহুবর্ষ সমীকরণের উদাহরণ হ'ল চতুর্ভুজ সমীকরণ:

x ³ - 2x = 0

এটি দেখানো সহজ যে অযৌক্তিক সংখ্যা √2 এই সমীকরণের সমাধানগুলির মধ্যে একটি।

অতিক্রমকারী সংখ্যা

অন্যদিকে, ট্রান্সসেন্টেন্ট সংখ্যাগুলি যদিও তারা অযৌক্তিক, তবুও বহুবর্ষীয় সমীকরণের সমাধান হিসাবে উত্থিত হয় না।

পরিধির সাথে ই এবং সংখ্যার সাথে সম্পর্কযুক্ত ই বা ইউরারের সংখ্যার সাথে প্রাকৃতিক লোগারিদমের ভিত্তি হ'ল প্রয়োগিত গণিতে সর্বাধিক ঘন ঘন ট্রান্সসেন্টেন্ট সংখ্যাগুলি পাওয়া যায়।

ব্যায়াম

চিত্রের নির্দেশিত অবস্থানে একটি ধূসর বর্গক্ষেত্র একটি কালো স্কোয়ারে স্থাপন করা হয়। কালো বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল 64৪ সেন্টিমিটার ^২ । উভয় বর্গের দৈর্ঘ্য কত?

চিত্র 4. দুটি স্কোয়ার, যার মধ্যে আমরা পক্ষগুলির দৈর্ঘ্যটি খুঁজতে চাই। সূত্র: এফ.জাপাটা।

উত্তর

পাশের এল সহ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল:

এ = এল ²

যেহেতু কালো বর্গক্ষেত্রটি অঞ্চলটিতে 64৪ সেন্টিমিটার ^২, তার দিকটি অবশ্যই ৮ সেন্টিমিটার হতে হবে।

এই পরিমাপটি ধূসর বর্গক্ষেত্রের তির মতো as পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি এই তির্যকটিতে প্রয়োগ করা এবং স্মরণ করে যে একটি বর্গক্ষেত্রের দিকগুলি একই মাপে, আমাদের থাকবে:

8 ² = এল _জি ² + এল _জি ²

যেখানে এল _জি ধূসর বর্গক্ষেত্রের পাশ।

অতএব: ² এল _জি ² = 8 ²

সমতা উভয় পক্ষের স্কোয়ার রুট প্রয়োগ:

এল _জি = (8 / √2) সেমি

তথ্যসূত্র

1. কেরেনা, এম। 2019. প্রাক-বিশ্ববিদ্যালয় গণিতের ম্যানুয়াল। লিটোরাল জাতীয় বিশ্ববিদ্যালয়।
2. ফিগার, জে 2000. গণিত 9 তম। ডিগ্রি সিও-বিও সংস্করণ।
3. জিমনেজ, আর। 2008. বীজগণিত। প্রেন্টিস হল.
4. শিক্ষাগত পোর্টাল। অযৌক্তিক সংখ্যা এবং তাদের বৈশিষ্ট্য। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: পোর্টালেডুএকটিভ.নেট থেকে।
5. উইকিপিডিয়া। অমূলদ সংখ্যা. পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.org থেকে।