যৌগিক আনুপাতিকতা: ব্যাখ্যা, তিনটির যৌগিক নিয়ম, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

যৌগিক বা একাধিক আনুপাতিকতা দুই মাত্রার অনুপাত, যা সরাসরি পর্যবেক্ষণ করা যায় এবং ডেটা এবং অজানা মধ্যে বিপরীত আনুপাতিকতা হয়। এটি সাধারণ অনুপাতের আরও উন্নত সংস্করণ, যদিও উভয় পদ্ধতিতে ব্যবহৃত কৌশলগুলি একই রকম।

উদাহরণস্বরূপ, যদি 7 জন লোককে 3 ঘন্টার মধ্যে 10 টন পণ্যদ্রব্য আনলোড করার প্রয়োজন হয়, 4 ঘন্টা মধ্যে 15 টন আনলোড করতে কত লোক লাগবে তা গণনা করতে যৌগিক অনুপাত ব্যবহার করা যেতে পারে।

সূত্র: pixabay.com

এই প্রশ্নের উত্তরের জন্য, অদ্বিতীয়তা এবং অজানা অধ্যয়ন এবং সম্পর্কিত করার জন্য মানগুলির একটি সারণী তৈরি করা সুবিধাজনক।

আমরা প্রতিটি প্রস্থ এবং বর্তমান অজানা মধ্যে সম্পর্কের ধরণের বিশ্লেষণ করতে এগিয়ে চলেছি, যা এই ক্ষেত্রে কাজ করবে এমন লোকের সংখ্যার সাথে মিলে যায়।

পণ্যদ্রব্যগুলির ওজন বাড়ার সাথে সাথে এটিকে লোড করার জন্য প্রয়োজনীয় লোকের সংখ্যাও বাড়ায়। এ কারণে ওজন এবং কর্মীদের মধ্যে সম্পর্ক সরাসরি।

অন্যদিকে, শ্রমিকের সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে কাজের সময় হ্রাস পায়। এই কারণে, লোকজনের এবং কাজের সময়গুলির মধ্যে সম্পর্কটি বিপরীত প্রকারের।

যৌগিক আনুপাতিকতা গণনা কিভাবে

উপরের মতো উদাহরণগুলির সমাধান করতে, তিনটি পদ্ধতির যৌগিক নিয়ম বেশিরভাগই ব্যবহৃত হয়। এটি পরিমাণ এবং অজানা মধ্যে সম্পর্কের প্রকার স্থাপন করে এবং তারপরে ভগ্নাংশের মধ্যে একটি পণ্য প্রতিনিধিত্ব করে।

প্রাথমিক উদাহরণের প্রতি শ্রদ্ধা রেখে, মানগুলির সারণির সাথে সম্পর্কিত ভগ্নাংশগুলি নিম্নরূপে সংগঠিত হয়:

তবে অজানা সমাধান এবং সমাধানের আগে, বিপরীত সম্পর্কের সাথে সম্পর্কিত ভগ্নাংশগুলি অবশ্যই উল্টানো উচিত। যা এই ক্ষেত্রে চলক সময়ের সাথে সামঞ্জস্য করে। এইভাবে সমাধানের কাজটি হ'ল:

যার একমাত্র পার্থক্য হ'ল সময় ভেরিয়েবল 4/3 এর সাথে সম্পর্কিত ভগ্নাংশের বিবর্তন। আমরা এক্স এর মানটি পরিচালনা এবং সাফ করতে এগিয়ে চলেছি।

সুতরাং, এগারো জনেরও বেশি লোককে 4 ঘন্টা বা তারও কম সময়ে 15 টন পণ্যদ্রব্য আনলোড করতে সক্ষম হতে হবে।

ব্যাখ্যা

আনুপাতিকতা হ'ল পরিবর্তনের বিষয়যুক্ত পরিমাণের মধ্যে ধ্রুবক সম্পর্ক, যা জড়িত প্রতিটি পরিমাণের জন্য প্রতিসম হবে m এখানে সরাসরি এবং বিপরীতমুখী আনুপাতিক সম্পর্ক রয়েছে, এভাবে সহজ বা যৌগিক আনুপাতিকতার পরামিতিগুলি সংজ্ঞায়িত করা হয়।

তিনজনের সরাসরি নিয়ম

এটি ভেরিয়েবলের মধ্যে একটি আনুপাতিক সম্পর্ক নিয়ে গঠিত যা সংশোধন করার সময় একই আচরণ দেখায়। শতভাগ গণনার ক্ষেত্রে এটি প্রায় একশত ছাড়াও আরও বহুগুণকে বোঝায়, যেখানে এর মৌলিক কাঠামোর প্রশংসা করা হয়।

উদাহরণস্বরূপ, 63 এর 15% গণনা করা যায়। প্রথম নজরে, এই শতাংশটি সহজেই প্রশংসা করা যায় না। তবে তিনটির নিয়ম বাস্তবায়ন করে, নিম্নলিখিত সম্পর্ক তৈরি করা যেতে পারে: যদি 100% 63 হয়, তবে 15%, কত হবে?

100% ---- 63

15% ---– এক্স

এবং সংশ্লিষ্ট অপারেশনটি হ'ল:

(15%। 63) / 100% = 9.45

যেখানে শতাংশ চিহ্নগুলি সরল করা হয়েছে এবং চিত্র 9.45 প্রাপ্ত হয়েছে, যা 63 এর 15% প্রতিনিধিত্ব করে।

তিনটির বিপরীত নিয়ম

যেমন এর নামটি ইঙ্গিত করে, এক্ষেত্রে ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্ক বিপরীত। গণনা এগিয়ে যাওয়ার আগে অবশ্যই বিপরীতমুখী সম্পর্ক স্থাপন করা উচিত। ভগ্নাংশ গণনা করা ব্যতীত এর পদ্ধতিটি তিনটির সরাসরি নিয়মের সাথে সমকামী।

উদাহরণস্বরূপ, 3 টি চিত্রশিল্পীর একটি প্রাচীর শেষ করতে 5 ঘন্টা প্রয়োজন। 4 চিত্রকর কত ঘন্টা এটি শেষ করবে?

এক্ষেত্রে সম্পর্কটি বিপরীত, যেহেতু চিত্রশিল্পীর সংখ্যা বৃদ্ধি পাওয়ায় কাজের সময় হ্রাস করা উচিত। সম্পর্ক প্রতিষ্ঠিত হয়;

3 চিত্রশিল্পী - 5 ঘন্টা

4 চিত্রশিল্পী - এক্স ঘন্টা

সম্পর্কটি বিপরীত হওয়ার সাথে সাথে ক্রমের ক্রমটি বিপরীত হয়। এটি সঠিক উপায় হচ্ছে;

(3 জন চিত্রশিল্পী) (5 ঘন্টা) / 4 চিত্রশিল্পী = 3.75 ঘন্টা

চিত্রশিল্পীদের শব্দটি সরল করা হয়েছে, এবং ফলাফলটি 3.75 ঘন্টা।

শর্ত

যৌগিক বা একাধিক আনুপাতিকতার উপস্থিতিতে, চৌম্বক এবং ভেরিয়েবলের মধ্যে উভয় প্রকারের সম্পর্ক খুঁজে পাওয়া দরকার।

- প্রত্যক্ষ: ভেরিয়েবলের অজানা মতো একই আচরণ রয়েছে। অর্থাৎ, যখন একটি বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়, অন্যটি সমানভাবে পরিবর্তিত হয়।

- বিপরীতমুখী: ভেরিয়েবলের অজানা এর সাথে একটি প্রতিশব্দ আচরণ রয়েছে। ভেরিয়েবল এবং অজানা মধ্যে বিপরীতমুখী আনুপাতিক সম্পর্কের প্রতিনিধিত্ব করতে ভ্যালুটি মানগুলির সারণিতে ভেরিয়েবলকে অবশ্যই উল্টানো উচিত def

ফলাফল যাচাইকরণ

যৌগিক আনুপাতিকতার সাথে কাজ করার সময় পরিমাণের ক্রমটি বিভ্রান্ত করা খুব সাধারণ বিষয়, সাধারণ অনুপাত গণনার ক্ষেত্রে যা ঘটে তার থেকে ভিন্ন, যার প্রকৃতি বেশিরভাগই তিনটি সরল নিয়মের মাধ্যমে প্রত্যক্ষ এবং সমাধানযোগ্য।

এই কারণে, তিনটির যৌগিক বিধি দ্বারা উত্পাদিত পরিসংখ্যানের সংগতি যাচাই করে ফলাফলগুলির যৌক্তিক ক্রমটি পরীক্ষা করা গুরুত্বপূর্ণ important

প্রাথমিক উদাহরণে, এই জাতীয় ভুল করার ফলে 20 টি ফলাফল হতে পারে। অর্থাত্, 20 জন লোক 4 ঘন্টার মধ্যে 15 টন পণ্যদ্রব্য আনলোড করতে পারে।

প্রথম নজরে এটি কোনও পাগল ফলাফলের মতো বলে মনে হয় না, তবে পণ্যদ্রব্য বৃদ্ধি যখন ৫০% হয় এবং এমনকি বহন করতে আরও বেশি সময়ের ব্যবধান থাকলেও এটি প্রায়%% (staff থেকে ২০ জন) কর্মীদের মধ্যে বৃদ্ধি কৌতূহলজনক is কাজ.

সুতরাং, ফলাফলগুলির যৌক্তিক যাচাইকরণ তিনটির যৌগিক বিধি বাস্তবায়নের জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপের প্রতিনিধিত্ব করে।

ছাড়পত্র

গাণিতিক প্রশিক্ষণের ক্ষেত্রে প্রকৃতির আরও বেসিক হলেও ছাড়পত্র আনুপাতিকতার ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ পদক্ষেপের প্রতিনিধিত্ব করে। তিনটি সরল বা যৌগিক নিয়মে প্রাপ্ত যে কোনও ফলাফলকে বাতিল করতে একটি ভুল ছাড়পত্র যথেষ্ট।

ইতিহাস

তিনটির বিধিটি বিভিন্ন লেখকের প্রকাশনা দ্বারা আরবদের মাধ্যমে পশ্চিমে পরিচিতি লাভ করে। এর মধ্যে আল-জাওয়ারিজমি এবং আল-বিরুনি।

আল-বিরুনি, তাঁর বহুসংস্কৃতিক জ্ঞানের জন্য ধন্যবাদ, তিনি তাঁর ভারত ভ্রমণে এই অনুশীলন সম্পর্কিত বিস্তৃত তথ্যের অ্যাক্সেস পেয়েছিলেন, তিনটির বিধি সম্পর্কে সর্বাধিক বিস্তৃত নথিপত্রের জন্য দায়ী ছিলেন।

তিনি তার গবেষণায় বলেছেন যে ভারতই প্রথম স্থান যেখানে তিনজনের শাসনের ব্যবহার প্রচলিত হয়েছিল। লেখক আশ্বাস দেন যে এটির প্রত্যক্ষ, বিপরীত এবং এমনকি রচিত সংস্করণগুলিতে এটি একটি তরল উপায়ে পরিচালিত হয়েছিল।

তিনটির বিধি যখন ভারতের গাণিতিক জ্ঞানের অংশ হয়ে উঠল তার সঠিক তারিখ এখনও অজানা। যাইহোক, এই অনুশীলনটিকে সম্বোধনকারী প্রাচীনতম দলিল, বখশালি পান্ডুলিপি, 1881 সালে আবিষ্কার হয়েছিল It এটি বর্তমানে অক্সফোর্ডে রয়েছে।

গণিতের অনেক iansতিহাসিক দাবি করেন যে এই পান্ডুলিপিটি বর্তমান যুগের সূচনালগ্ন থেকেই রয়েছে dates

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

একটি এয়ারলাইন্সে অবশ্যই 1,535 জন লোক বহন করবে। জানা গেছে যে 3 টি প্লেন সহ শেষ যাত্রীটিকে গন্তব্যে পৌঁছাতে 12 দিন সময় লাগবে। আরও ৪৫০ জন এয়ারলাইন্সে পৌঁছেছে এবং এই কাজের সাথে সহায়তার জন্য ২ টি প্লেন মেরামত করার নির্দেশ দেওয়া হয়েছে। প্রতিটি শেষ যাত্রীকে তাদের গন্তব্যে স্থানান্তর করতে বিমান সংস্থাটিকে কত দিন লাগবে?

মানুষের সংখ্যা এবং কাজের দিনগুলির মধ্যে সম্পর্ক সরাসরি, কারণ যত লোকের সংখ্যা বেশি, এই কাজটি চালাতে আরও বেশি দিন লাগবে।

অন্যদিকে, বিমান এবং দিনের মধ্যে সম্পর্ক বিপরীতে আনুপাতিক। বিমানের সংখ্যা বাড়ার সাথে সাথে সমস্ত যাত্রী পরিবহনের জন্য প্রয়োজনীয় দিনগুলি হ্রাস পেয়েছে।

এই ক্ষেত্রে উল্লেখ করা মানগুলির সারণী তৈরি করা হয়েছে।

প্রাথমিক উদাহরণে বিশদ হিসাবে, অজানা সম্পর্কিত সম্মতভাবে বিপরীতমুখী ভেরিয়েবলের সাথে ভগ্নাংশের মধ্যে অঙ্ক এবং ডিনোমাইটারটি অবশ্যই উল্টানো উচিত। অপারেশনটি নিম্নরূপ:

এক্স = 71460/7675 = 9.31 দিন

1985 জনকে 5 টি প্লেন ব্যবহার করে স্থানান্তর করতে, এটি 9 দিনেরও বেশি সময় নেয়।

অনুশীলন 2

একটি 25 টন ভুট্টা ফসল কার্গো ট্রাকগুলিতে নেওয়া হয়। জানা যায় যে পূর্ববর্তী বছর দেড়শ শ্রমিকের বেতনের সাথে তাদের 8 ঘন্টা লেগেছিল। যদি এই বছরের জন্য বেতনের পরিমাণ 35% বৃদ্ধি পেয়েছে, তবে 40-টন ফসলের সাথে পণ্যবাহী ট্রাকগুলি পূরণ করতে তাদের কতক্ষণ সময় লাগবে?

মানগুলির সারণীর প্রতিনিধিত্ব করার আগে, এই বছরের জন্য শ্রমিকের সংখ্যা অবশ্যই সংজ্ঞায়িত করা উচিত। এটি 150 শ্রমিকের প্রাথমিক পরিসংখ্যান থেকে 35% বৃদ্ধি পেয়েছে। এর জন্য সরাসরি তিনটি বিধি ব্যবহৃত হয়।

100% ---- 150

35% ---– এক্স

এক্স = (35,100) / 100 = 52.5। এটি আগের বছরের সাথে শ্রদ্ধার সাথে অতিরিক্ত শ্রমিকের সংখ্যা, প্রাপ্ত পরিমাণের চারপাশে মোট 203 জন শ্রমিক প্রাপ্ত।

আমরা সম্পর্কিত ডেটা টেবিল সংজ্ঞায়িত করতে এগিয়ে যান

এই ক্ষেত্রে, ওজন অজানা সময়ের সাথে সরাসরি সম্পর্কিত একটি পরিবর্তনশীল প্রতিনিধিত্ব করে। অন্যদিকে, শ্রমিকের চলক সময়ের সাথে একটি বিপরীত সম্পর্ক রয়েছে। শ্রমিকের সংখ্যা যত বেশি, দিনটি তত কম।

এই বিবেচনাগুলি বিবেচনায় নেওয়া এবং শ্রমিক ভেরিয়েবলের সাথে সম্পর্কিত ভগ্নাংশটি উল্টিয়ে দেওয়া, আমরা গণনা করতে এগিয়ে চলেছি।

এক্স = 40600/6000 = 6.76 ঘন্টা

যাত্রাটি মাত্র 7 ঘন্টার কম সময় নেবে।

প্রস্তাবিত অনুশীলন

- 2875 এর 73% সংজ্ঞা দিন।

- টেরেসা কত ঘন্টা ঘুমায় তা গণনা করুন, যদি জানা যায় যে তিনি দিনের জন্য মোট of% মাত্র ঘুমাচ্ছেন। আপনি সপ্তাহে কত ঘন্টা ঘুমান তা নির্ধারণ করুন।

- একটি সংবাদপত্র প্রতি 2 ঘন্টা 2000 কপি প্রকাশ করে, মাত্র 2 টি মুদ্রণযন্ত্র ব্যবহার করে। যদি তিনি 7 টি মেশিন ব্যবহার করেন তবে তিনি 1 ঘন্টার মধ্যে কতগুলি অনুলিপি তৈরি করবেন? 4 টি মেশিন ব্যবহার করে 10,000 কপি তৈরি করতে কত সময় লাগবে?

তথ্যসূত্র

1. এনসাইক্লোপিডিয়া আলভারেজ-দীক্ষা। উঃ আলভারেজ, আন্তোনিও আলভারেজ পেরেজ। ইডিএএফ, 2001
2. প্রাথমিক এবং উচ্চ প্রাথমিক নির্দেশের সম্পূর্ণ ম্যানুয়াল: উচ্চাভিলাষী শিক্ষক এবং প্রদেশের সাধারণ বিদ্যালয়ের বিশেষত শিক্ষার্থীদের ব্যবহারের জন্য, খণ্ড ১। ডি। ডায়নিসিয়ো হিডালগো, 1844 এর মুদ্রণ।
3. বাস্তব কার্যাদি যুক্তিযুক্ত আনুষঙ্গিকতা। পিপি পেট্রুশেভ, ভাসিল আতানাসোভ পপভ। কেমব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, ৩ মার্চ। ২০১১।
4. মধ্য আমেরিকার স্কুল এবং কলেজগুলিতে শিক্ষার জন্য প্রাথমিক গাণিতিক। দারো গঞ্জালেজ টিপ অ্যারেনলেস, 1926।
5. গণিতের অধ্যয়ন: অধ্যয়ন এবং গণিতের অসুবিধা সম্পর্কে। অগাস্টাস দে মরগান। বাল্ডউইন এবং ক্র্যাডক, 1830।