ধারাবাহিক ডেরাইভেটিভস (অনুশীলনের সমাধান সহ) - গণিতশাস্ত্র - 2025

ধারাবাহিক ডেরাইভেটিভস দ্বিতীয় ব্যুৎপন্ন পর এক ফাংশন থেকে প্রাপ্ত যারা। ধারাবাহিক ডেরিভেটিভস গণনা করার প্রক্রিয়াটি নিম্নলিখিত: আমাদের একটি ফাংশন রয়েছে যা আমরা ডাইরিভেটিভ ফাংশন এফ অর্জন করতে পারি এবং এটি পেতে পারি। আমরা চ এর আবার এই বংশগতি অর্জন করতে পারি, (চ ')' অর্জন করতে পারি।

এই নতুন ফাংশনটিকে দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভ বলা হয়; দ্বিতীয় থেকে গণনা করা সমস্ত ডেরাইভেটিভ ক্রমাগত; এগুলিকে উচ্চতর অর্ডারও বলা হয়, দুর্দান্ত অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে যেমন কোনও ফাংশনের গ্রাফের চক্রান্ত সম্পর্কে তথ্য প্রদান, আপেক্ষিক চূড়ান্ততার জন্য দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভের পরীক্ষা এবং অসীম সিরিজের নির্ধারণের জন্য।

সংজ্ঞা

লাইবনিজের স্বরলিপি ব্যবহার করে, আমাদের কাছে "x" এর সাথে সম্পর্কিত "y" ফাংশনের ডাইরভেটিভটি ডাই / ডিএক্স। লাইবনিজের স্বরলিপি ব্যবহার করে "y" এর দ্বিতীয় উত্সটি প্রকাশ করার জন্য, আমরা নীচে লিখি:

সাধারণভাবে, আমরা লেবনিজের স্বীকৃতি অনুসারে ধারাবাহিক ডেরাইভেটিভগুলি প্রকাশ করতে পারি, যেখানে এন ডেরাইভেটিভের ক্রমকে প্রতিনিধিত্ব করে।

ব্যবহৃত অন্যান্য স্বরলিপিগুলি নিম্নলিখিত:

কিছু উদাহরণ যেখানে আমরা বিভিন্ন স্বরলিপি দেখতে পারি তা হ'ল:

উদাহরণ 1

দ্বারা নির্ধারিত ফাংশনের সমস্ত ডেরাইভেটিভস পান:

সাধারণ ডেরাইভেশন কৌশলগুলি ব্যবহার করে আমাদের কাছে চ এর ডেরাইভেটিভটি রয়েছে:

প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করে আমরা দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভ, তৃতীয় ডেরাইভেটিভ এবং আরও কিছু পেতে পারি।

নোট করুন যে চতুর্থ ডেরাইভেটিভ শূন্য এবং শূন্যের ডেরিভেটিভ শূন্য, সুতরাং আমাদের কাছে রয়েছে:

উদাহরণ 2

নিম্নলিখিত ফাংশনের চতুর্থ ডেরাইভেটিভ গণনা করুন:

ফলস্বরূপ আমাদের প্রদত্ত ক্রিয়াকলাপটি আবিষ্কার করা:

গতি এবং ত্বরণ

ডেরিভেটিভ আবিষ্কারের দিকে পরিচালিত করার অন্যতম অনুপ্রেরণা ছিল তাত্ক্ষণিক গতির সংজ্ঞা অনুসন্ধান করা। আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞাটি নিম্নরূপ:

যাক y = f (t) এমন একটি ফাংশন হোক যার গ্রাফটি সময় কণার কণার ট্রাজেক্টোরি বর্ণনা করে, তার সময়ে t এর গতিবেগ দেওয়া হয়:

একবার একটি কণার বেগ প্রাপ্ত হয়ে গেলে, আমরা তাত্ক্ষণিক ত্বরণ গণনা করতে পারি, যা নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

এমন একটি কণার তাত্ক্ষণিক ত্বরণ যা এর পাথ y = f (t) দিয়ে দেয়:

উদাহরণ 1

একটি কণা অবস্থান ফাংশন অনুযায়ী একটি রেখা বরাবর সরানো হয়:

যেখানে "y" টি মিটারে এবং "স" সেকেন্ডে পরিমাপ করা হয়।

- এর গতি 0 তাত্ক্ষণিকভাবে হয়?

- এর ত্বরণ 0 তাত্ক্ষণিকভাবে হয়?

অবস্থান ফাংশনটি প্রাপ্ত করার সময় «এবং» আমাদের কাছে আছে যে এর গতি এবং ত্বরণ যথাক্রমে প্রদান করেছেন:

প্রথম প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, ফাংশন v কখন শূন্য হবে তা নির্ধারণ করা যথেষ্ট; এই:

আমরা নিম্নলিখিত প্রশ্নটি সাদৃশ্যপূর্ণভাবে এগিয়ে চলেছি:

উদাহরণ 2

একটি কণা গতির নিম্নোক্ত সমীকরণ অনুসারে একটি রেখা বরাবর চলে:

"T, y" এবং "v" নির্ধারণ করুন যখন a = 0 হয়।

জেনেছি যে গতি এবং ত্বরণ দ্বারা দেওয়া হয়

আমরা প্রাপ্ত এবং প্রাপ্ত এগিয়ে যান:

একটি = 0 তৈরি করা, আমাদের রয়েছে:

যেখান থেকে আমরা অনুমান করতে পারি যে শূন্যের সমান হতে টির মান টি = 1।

তারপরে, অবস্থান ফাংশন এবং t = 1 তে গতিবেগ ফাংশনটি মূল্যায়ন করে আমাদের কাছে আছে:

অ্যাপ্লিকেশন

সুস্পষ্ট ডেরাইভেশন

ক্রমাগত ডেরিভেটিভসও অন্তর্নিহিত ডেরাইভেশন দ্বারা প্রাপ্ত করা যেতে পারে।

উদাহরণ

নিম্নলিখিত উপবৃত্তটি দেওয়া, "y" সন্ধান করুন:

এক্স এর প্রতি স্পষ্টভাবে ডাইরিং করা, আমাদের রয়েছে:

তারপরে এক্সকে সম্মানের সাথে সুস্পষ্টভাবে পুনরায় প্রাপ্তি আমাদের দেয়:

অবশেষে, আমাদের আছে:

আপেক্ষিক চরম

আরেকটি ব্যবহার যা আমরা দ্বিতীয়-আদেশের ডেরিভেটিভগুলিকে দিতে পারি তা কোনও ফাংশনের আপেক্ষিক চূড়ান্ত গণনার মধ্যে।

স্থানীয় চূড়ান্ততার জন্য প্রথম ডেরাইভেটিভের মানদণ্ডটি আমাদের বলে যে, যদি আমাদের একটি বিরতিতে (অ, খ) একটি ক্রমাগত ফাংশন থাকে এবং সেখানে একটি সি থাকে যা বলে থাকে অন্তর অন্তর যেমন এফ 'সি'তে অদৃশ্য হয়ে যায় (যা, সেই সি একটি সমালোচনামূলক বিষয়), তিনটি ক্ষেত্রে একটি হতে পারে:

- f ((x)> 0 এর সাথে x (c, b) এবং f´ (x) <0 এর সাথে সম্পর্কিত কোনও x এর জন্য, তবে f (c) স্থানীয় সর্বাধিক।

- (সি, বি) এর সাথে সম্পর্কিত কোনও এক্সের জন্য যদি (ক, সি) এবং f´ (x)> 0 এর সাথে f´ (x) <0 হয় তবে f (c) স্থানীয় ন্যূনতম।

- যদি f ((x) এর সাইন ইন (ক, সি) এবং ইন (সি, বি) থাকে তবে এটি বোঝাচ্ছে যে চ (সি) স্থানীয় চরম নয়।

দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভের মানদণ্ড ব্যবহার করে আমরা জানতে পারি যে ফাংশনটির সমালোচনামূলক সংখ্যা স্থানীয় সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন কিনা, উল্লিখিত বিরতিগুলিতে ফাংশনের চিহ্নটি কী তা না দেখে to

দ্বিতীয় প্রবাহের মানদণ্ডটি আমাদের জানায় যে f´ (c) = 0 এবং সেই f´´ (x) যদি (a, b) এ অবিচ্ছিন্ন থাকে তবে এমনটি ঘটে যে f´´ (c)> 0 হলে f (c) একটি স্থানীয় সর্বনিম্ন এবং যদি f´´ (c) <0 হয় তবে f (c) স্থানীয় সর্বাধিক।

যদি f´´ (c) = 0 হয় তবে আমরা কোনও সিদ্ধান্তে আসতে পারি না।

উদাহরণ

F (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² ফাংশনটি দেওয়া, দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভের মানদণ্ড ব্যবহার করে চ এর আপেক্ষিক ম্যাক্সিমা এবং মিনিমা সন্ধান করুন।

প্রথমে আমরা f´ (x) এবং f´´ (x) গণনা করি এবং আমাদের আছে:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

এখন, f´ (x) = 0 যদি হয়, এবং কেবল যদি 4x (x + 2) (x - 1) = 0 হয় এবং x = 0, x = 1 বা x = - 2 হলে এটি ঘটে।

প্রাপ্ত সমালোচনামূলক সংখ্যাগুলি আপেক্ষিক চূড়ান্ত কিনা তা নির্ধারণ করতে, f´´ এ মূল্যায়ন করা এবং সুতরাং এর চিহ্নটি পর্যবেক্ষণ করা যথেষ্ট।

f´´ (0) = - 8, সুতরাং চ (0) স্থানীয় সর্বাধিক।

f´´ (1) = 12, সুতরাং f (1) স্থানীয় নূন্যতম।

f´´ (- 2) = 24, তাই চ (- 2) স্থানীয় নূন্যতম।

টেলর সিরিজ

চ হিসাবে নীচে একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করা যাক:

এই ফাংশনটির রূপান্তর আর> 0 এর ব্যাসার্ধ রয়েছে এবং (-আর, আর) এর সমস্ত আদেশের ডেরিভেটিভ রয়েছে। চ এর ধারাবাহিক ডেরাইভেটিভস আমাদের দেয়:

X = 0 গ্রহণ করে আমরা সি _n এর মানগুলি তাদের ডেরাইভেটিভগুলির একটি ক্রিয়াকলাপ হিসাবে নিম্নলিখিত হিসাবে পেতে পারি:

যদি আমরা একটি = 0 ক্রিয়াটি f (অর্থাৎ f that 0 = f) হিসাবে গ্রহণ করি, তবে আমরা নিম্নরূপভাবে ফাংশনটি আবার লিখতে পারি:

এখন x = a তে একশ্রেণীর ক্ষমতার হিসাবে ফাংশনটি বিবেচনা করুন:

যদি আমরা পূর্বেরটির সাথে সাদৃশ্য বিশ্লেষণ করে থাকি তবে আমাদের কাছে এই ফাংশনটি লিখতে হবে:

এই সিরিজগুলি চ থেকে এ পর্যন্ত টেলর সিরিজ হিসাবে পরিচিত। যখন একটি = 0 আমাদের কাছে ম্যাক্লাউরিন সিরিজ নামে একটি বিশেষ কেস থাকে। এই ধরণের সিরিজটি গাণিতিক গুরুত্বের সাথে বিশেষত সংখ্যা বিশ্লেষণে গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এগুলির জন্য আমরা কম্পিউটারে যেমন ^এক্স, সিন (এক্স) এবং কোস (এক্স) হিসাবে ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করতে পারি ।

উদাহরণ

^{এক্স এক্স এর} জন্য ম্যাক্লাউরিন সিরিজ পান ।

নোট করুন যে যদি f (x) = e ^x, তবে f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x এবং f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, তাই এর ম্যাকালিউরিন সিরিজটি হ'ল:

তথ্যসূত্র

1. ফ্র্যাঙ্ক আইরেস, জে।, এবং মেন্ডেলসন, ই। (এনডি)। গণনা 5ed। ম্যাক গ্রু হিল
2. লেথোল্ড, এল। (1992)। বিশ্লেষণী জ্যামিতির সাথে গণনা। হারলা, এসএ
3. পুরসেল, ইজে, ভারবার্গ, ডি, এবং রিগডন, এসই (2007)। ক্যালকুলেশন। মেক্সিকো: পিয়ারসন এডুকেশন।
4. সায়েঞ্জ, জে। (2005) ডিফেরেনটিয়াল ক্যালকুলাস। অতিভুজ।
5. সায়েঞ্জ, জে (এনডি) ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস। অতিভুজ।