হাইপারজমেট্রিক বিতরণ: সূত্র, সমীকরণ, মডেল - দুদাস - 2025

অধিজ্যামিতিক বন্টন একটি বিযুক্ত পরিসংখ্যানগত ফাংশন, দুটি সম্ভাব্য ফলাফলের সঙ্গে এলোমেলোভাবে পরীক্ষায় সম্ভাব্যতা গণক জন্য উপযুক্ত। এটি প্রয়োগ করার জন্য যে শর্তটি প্রয়োজন তা হ'ল তারা হ'ল ছোট জনগোষ্ঠী, যেখানে প্রত্যাহারগুলি প্রতিস্থাপন করা হয় না এবং সম্ভাবনাগুলি ধ্রুবক হয় না।

সুতরাং, যখন জনসংখ্যার একটি উপাদান নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের ফলাফল (সত্য বা মিথ্যা) জানতে বেছে নেওয়া হয়, তখন সেই একই উপাদানটি আবার নির্বাচন করা যায় না।

চিত্র 1. এই জাতীয় বল্টু জনগোষ্ঠীতে অবশ্যই ত্রুটিযুক্ত নমুনাগুলি রয়েছে। সূত্র: পিক্সাবে।

অবশ্যই পূর্ববর্তী উপাদানটির নেতিবাচক ফলাফল থাকলে অবশ্যই পরবর্তী পরবর্তী উপাদানটির সত্যিকারের ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা বেশি। এর অর্থ হ'ল নমুনা থেকে উপাদানগুলি নিষ্কাশিত হওয়ায় সম্ভাবনা পৃথক হয়।

হাইপারজমেট্রিক বিতরণের প্রধান অ্যাপ্লিকেশনগুলি হ'ল: অল্প জনসংখ্যার প্রক্রিয়াগুলিতে মান নিয়ন্ত্রণ এবং সুযোগের গেমগুলির সম্ভাবনার গণনা।

গাণিতিক ক্রিয়া যা হাইপারজমেট্রিক বিতরণকে সংজ্ঞায়িত করে, এটিতে তিনটি পরামিতি রয়েছে, যা হ'ল:

- জনসংখ্যার উপাদানগুলির সংখ্যা (এন)

- নমুনার আকার (মি)

- অধ্যয়নকারী বৈশিষ্ট্যযুক্ত (এন) এর অনুকূল (বা প্রতিকূল) ফলাফল সহ সমগ্র জনসংখ্যার ইভেন্টের সংখ্যা।

সূত্র এবং সমীকরণ

হাইপারজমেট্রিক বিতরণের সূত্রটি সম্ভাব্যতা দেয় যে কোনও নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যের জন্য x অনুকূল ক্ষেত্রে ঘটে। সংযুক্ত সংখ্যার উপর ভিত্তি করে গাণিতিকভাবে এটি লেখার উপায় হ'ল:

পূর্বের এক্সপ্রেশনটিতে N, n এবং m প্যারামিটার এবং এক্স নিজেই ভেরিয়েবল।

- মোট জনসংখ্যা এন।

মোট জনসংখ্যার ক্ষেত্রে নির্দিষ্ট বাইনারি বৈশিষ্ট্যের ইতিবাচক ফলাফলের সংখ্যা এন।

নমুনায় উপাদানগুলির পরিমাণ মি।

এই ক্ষেত্রে, এক্স হল একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা মান x এবং পি (এক্স) গ্রহণ করে এবং অধ্যয়নকৃত বৈশিষ্ট্যযুক্ত x অনুকূল ক্ষেত্রে উপস্থিত হওয়ার সম্ভাবনা নির্দেশ করে।

গুরুত্বপূর্ণ পরিসংখ্যান পরিবর্তনশীল

হাইপারজেমেট্রিক বিতরণের জন্য অন্যান্য পরিসংখ্যানগত ভেরিয়েবলগুলি হ'ল:

- গড় μ = মি * এন / এন

- বৈকল্পিক σ ^ 2 = মি * (এন / এন) * (1-এন / এন) * (এনএম) / (এন -1)

- স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি σ যা বৈকল্পিকের বর্গমূল।

মডেল এবং বৈশিষ্ট্য

হাইপারজোমেট্রিক বিতরণের মডেলটিতে পৌঁছানোর জন্য, আমরা আকারের মিটার নমুনায় এক্স অনুকূল কেস পাওয়ার সম্ভাবনা থেকে শুরু করি। এই নমুনায় এমন উপাদান রয়েছে যা অধ্যয়নের অধীনে সম্পত্তি মেনে চলে এবং যে উপাদানগুলিতে না হয়।

মনে রাখবেন যে এন উপাদানগুলির মোট জনসংখ্যার অনুকূল কেসের সংখ্যা প্রতিনিধিত্ব করে। তারপরে সম্ভাবনাটি এইভাবে গণনা করা হবে:

সংযুক্তি আকারে উপরোক্ত প্রকাশ করে, নিম্নলিখিত সম্ভাব্যতা বিতরণ মডেল পৌঁছেছে:

হাইপারজমেট্রিক বিতরণের প্রধান বৈশিষ্ট্য

অনুসরণ হিসাবে তারা:

- জনসংখ্যা বড় হলেও, নমুনাটি সর্বদা ছোট হতে হবে।

- নমুনার উপাদানগুলি জনসংখ্যার মধ্যে পুনরায় অন্তর্ভুক্ত না করে একে একে বের করা হয়।

- অধ্যয়নের জন্য যে সম্পত্তিটি বাইনারি তা হল, এটি কেবলমাত্র দুটি মান নিতে পারে: 1 বা 0, বা সত্য বা মিথ্যা।

প্রতিটি উপাদান নিষ্কাশন পদক্ষেপে, পূর্ববর্তী ফলাফলের উপর নির্ভর করে সম্ভাবনা পরিবর্তন হয়।

দ্বিপদী বিতরণ ব্যবহার করে প্রায় অনুমান

হাইপারজোমেট্রিক বিতরণের আরেকটি সম্পত্তি হ'ল এটি দ্বিপদী বিতরণ দ্বারা প্রায় অনুমান করা যায়, দ্বি দ্বি দ্বারা চিহ্নিত করা যায়, যতক্ষণ না জনসংখ্যা N বড় হয় এবং নমুনা মি এর চেয়ে কমপক্ষে 10 গুণ বড় হয়। এক্ষেত্রে এটি দেখতে এরকম হবে:

নমুনায় x = 3 স্ক্রুগুলি সম্ভাব্য হওয়ার সম্ভাবনাটি হ'ল: পি (500, 5, 60, 3) = 0.0129।

এর অংশ হিসাবে, নমুনার ষাটের মধ্যে x = 4 স্ক্রুগুলি ত্রুটিযুক্ত হওয়ার সম্ভাবনাটি হ'ল: পি (500, 5, 60; 4) = 0.0008।

অবশেষে, সেই নমুনায় x = 5 স্ক্রুগুলি ত্রুটিযুক্ত হওয়ার সম্ভাবনাটি হ'ল: পি (500, 5, 60; 5) = 0।

তবে আপনি যদি সেই নমুনায় 3 টিরও বেশি ত্রুটিযুক্ত স্ক্রু রয়েছে এমন সম্ভাবনাটি জানতে চান তবে আপনাকে সংযোজনীয় সম্ভাবনাটি যোগ করতে হবে:

স্কুল, ইনস্টিটিউট এবং বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে বহুল ব্যবহৃত একটি বিনামূল্যে সফটওয়্যার জিওজেব্রা ব্যবহার করে প্রাপ্ত এই চিত্রটি চিত্র 2 এ চিত্রিত হয়েছে।

চিত্র 2. হাইপারজমেট্রিক বিতরণের উদাহরণ। জিওজেব্রা সহ এফ.জাপাটা প্রস্তুত।

উদাহরণ 2

একটি স্প্যানিশ ডেক ডেকের 40 টি কার্ড রয়েছে যার মধ্যে 10 টি স্বর্ণের রয়েছে এবং বাকী 30 টি নেই। মনে করুন that ডেক থেকে cards টি কার্ড এলোমেলোভাবে আঁকা, যা ডেকে পুনরায় সংযুক্ত করা হয়নি।

যদি এক্স আঁকানো 7 টি কার্ডে সোনার সংখ্যা উপস্থিত থাকে তবে 7-কার্ডের অঙ্কনে এক্স সোনার উপস্থিতির সম্ভাবনা হাইপারজমেট্রিক বিতরণ পি (40,10,7; এক্স) দ্বারা দেওয়া হয়।

আসুন এটি দেখতে দিন: 7-কার্ড অঙ্কনে 4 স্বর্ণের সম্ভাবনা গণনা করতে আমরা নিম্নলিখিত মানগুলির সাথে হাইপারজ্যামিতিক বিতরণের সূত্রটি ব্যবহার করি:

এবং ফলাফল: সম্ভাব্যতা 4.57%।

তবে আপনি যদি 4 টিরও বেশি কার্ড পাওয়ার সম্ভাবনা জানতে চান তবে আপনাকে যুক্ত করতে হবে:

সমাধান ব্যায়াম

নিম্নলিখিত অনুশীলনের সেটটি এই নিবন্ধে উপস্থাপন করা ধারণাগুলিকে চিত্রিত ও সংমিশ্রণ করার উদ্দেশ্যে। সমাধানটি দেখার আগে পাঠক নিজে থেকে সেগুলি সমাধান করার চেষ্টা করা গুরুত্বপূর্ণ।

অনুশীলনী 1

একটি কনডম কারখানায় দেখা গেছে যে একটি নির্দিষ্ট মেশিন দ্বারা উত্পাদিত প্রতি 1000 কনডমের মধ্যে 5 টি ত্রুটিযুক্ত। মান নিয়ন্ত্রণের জন্য, 100 টি কনডম এলোমেলোভাবে নেওয়া হয় এবং কমপক্ষে এক বা একাধিক ত্রুটিপূর্ণ থাকলে লটটি প্রত্যাখ্যান করা হয়। উত্তর:

ক) 100 টি প্রচুর পরিমাণে ফেলে দেওয়ার সম্ভাবনা কী?

খ) এই মান নিয়ন্ত্রণের মানদণ্ড কি দক্ষ?

সমাধান

এই ক্ষেত্রে, খুব বড় সংমিশ্রণ সংখ্যা উপস্থিত হবে। আপনার কাছে উপযুক্ত সফ্টওয়্যার প্যাকেজ না থাকলে হিসাব করা শক্ত।

তবে যেহেতু এটি একটি বিশাল জনসংখ্যা এবং নমুনা মোট জনসংখ্যার চেয়ে দশগুণ ছোট, সুতরাং দ্বিপদী বিতরণ দ্বারা হাইপারজোমেট্রিক বিতরণের সান্নিধ্য ব্যবহার করা সম্ভব:

উপরের প্রকাশে সি (100, এক্স) একটি সংযুক্ত সংখ্যা ator তারপরে একাধিক ত্রুটিযুক্ত হওয়ার সম্ভাবনাটি এইভাবে গণনা করা হবে:

হাইপারজমেট্রিক বিতরণ প্রয়োগ করে প্রাপ্ত মানের সাথে তুলনা করা হলে এটি একটি দুর্দান্ত আনুমানিকতা: 0.4102

এটি বলা যেতে পারে যে 40% সম্ভাব্যতার সাথে 100 প্রফিল্যাকটিক্সের একটি ব্যাচ ফেলে দেওয়া উচিত, যা খুব কার্যকর নয়।

তবে, মান নিয়ন্ত্রণের প্রক্রিয়ায় কিছুটা কম দাবি করা এবং যদি দু'এর বেশি ত্রুটিযুক্ত থাকে তবে কেবল 100 এর প্রচুর পরিমাণকে ছাড়িয়ে দেওয়া হয়, তবে লট ছাড়ার সম্ভাবনা মাত্র 8% এ নেমে আসবে।

অনুশীলন 2

একটি প্লাস্টিকের ব্লক মেশিন এমনভাবে কাজ করে যে প্রতি 10 টি টুকরার মধ্যে একটি বিকৃত হয়ে আসে। 5 টুকরোটির নমুনায়, কেবলমাত্র এক টুকরা ত্রুটিযুক্ত হওয়ার সম্ভাবনা কতটা?

সমাধান

জনসংখ্যা: এন = 10

প্রতি এন এর জন্য ত্রুটিগুলির সংখ্যা এন: এন = 1

নমুনা আকার: মি = 5

সুতরাং একটি 50% সম্ভাবনা রয়েছে যে 5 এর নমুনায় একটি ব্লক বিকৃত হবে।

অনুশীলন 3

তরুণ উচ্চ বিদ্যালয়ের স্নাতকদের একটি সভায় there জন মহিলা এবং gentle ভদ্রলোক রয়েছেন। মেয়েদের মধ্যে ৪ টি অধ্যয়ন মানবিক এবং ৩ টি বিজ্ঞান রয়েছে। বালক দলে ১ জন মানবিক এবং ৩ টি বিজ্ঞান অধ্যয়ন করে। নিম্নলিখিত গণনা করুন:

ক) এলোমেলোভাবে তিনটি মেয়ে বেছে নেওয়া: তারা সকলেই মানবিকতা অধ্যয়ন করার সম্ভাবনা কতটা?

খ) যদি বন্ধুদের সভায় তিনজন অংশগ্রহণকারী এলোমেলোভাবে বেছে নেওয়া হয়: লিঙ্গ নির্বিশেষে তাদের তিনজনই, বিজ্ঞান তিনটিই বা মানবতাবাদী তিনটিই কীসের সম্ভাবনা রয়েছে?

গ) এখন এলোমেলোভাবে দুটি বন্ধু নির্বাচন করুন এবং এক্সকে র্যান্ডম ভেরিয়েবল "যারা মানবিকতা অধ্যয়ন করেন তাদের সংখ্যা" কল করুন। নির্বাচিত দু'জনের মধ্যে, x এর গড় বা প্রত্যাশিত মান এবং বৈকল্পিক determine ^ 2 নির্ধারণ করুন।

সমাধান

এখন ব্যবহারের মানগুলি হ'ল:

-জনসংখ্যা: এন = 14

অক্ষর অধ্যয়ন করার বৈশিষ্ট্যটি হ'ল: এন = 6 এবং

নমুনার আকার: মি = 3।

মানবিক অধ্যয়নরত বন্ধুদের সংখ্যা: এক্স

এর মতে, x = 3 এর অর্থ তিনটিই মানবিকতা অধ্যয়ন করে, তবে x = 0 এর অর্থ কেউই মানবিকতা অধ্যয়ন করে না। তিনটি অধ্যয়ন সমাপ্তির সম্ভাবনাটি যোগফল দ্বারা দেওয়া হয়েছে:

পি (14, 6, 3, এক্স = 0) + পি (14, 6, 3, এক্স = 3) = 0.0560 + 0.1539 = 0.2099

তারপরে আমাদের একটি 21% সম্ভাবনা রয়েছে যে তিনটি বৈঠকের অংশগ্রহণকারী, এলোমেলোভাবে বেছে নেওয়া, একই জিনিসটি অধ্যয়ন করবে।

সমাধান গ

এখানে আমাদের নিম্নলিখিত মান আছে:

এন = ১৪ জন বন্ধু মোট জনসংখ্যা, মানবতা অধ্যয়নরত জনসংখ্যার মোট সংখ্যা = 6, নমুনার আকার এম = 2।

আশা:

ই (এক্স) = মি * (এন / এন) = 2 * (6/14) = 0.8572

এবং বৈকল্পিক:

σ (এক্স) ^ 2 = মি * (এন / এন) * (1-এন / এন) * (এনএম) / (এন -1) = 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) =

= 2 * (6/14) * (1-6 / 14) * (14-2) / (14-1) = 2 * (3/7) * (1-3 / 7) * (12) / (13) = 0.4521

তথ্যসূত্র

1. পৃথক সম্ভাবনা বন্টন। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: biplot.usal.es
2. পরিসংখ্যান এবং সম্ভাবনা। হাইপারজমেট্রিক বিতরণ উদ্ধার করা হয়েছে: প্রকল্পডেসকার্টস.অর্গ
3. CDPYE-UGR। হাইপারজমেট্রিক বিতরণ থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: ugr.es
4. জীয়োজেব্রা। ক্লাসিকাল জিওজেব্রা, সম্ভাব্যতা ক্যালকুলাস। জিওজেব্রা.অর্গ.ও.
5. সহজ চেষ্টা করুন। হাইপারজমেট্রিক বিতরণের সমস্যার সমাধান। উদ্ধার করা হয়েছে: প্রোবাফাসিল.কম
6. Minitab। হাইপারজমেট্রিক বিতরণ থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: support.minitab.com
7. ভিগো বিশ্ববিদ্যালয়। প্রধান বিতরণ বিতরণ। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: anapg.webs.uvigo.es
8. Vitutor। পরিসংখ্যান এবং সংমিশ্রণ। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: ভিটুটোরি.ন.ট.
9. ওয়েইস্টেইন, এরিক ডব্লিউ হাইপারজোমেট্রিক বিতরণ। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: mathworld.wolfram.com থেকে
10. উইকিপিডিয়া। হাইপারজমেট্রিক বিতরণ পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.com.com থেকে