- এলিপসয়েড বৈশিষ্ট্য
- - স্ট্যান্ডার্ড সমীকরণ
- - উপবৃত্তাকার প্যারামেট্রিক সমীকরণ
- - উপবৃত্তাকার চিহ্ন
- - আয়তন
- উপবৃত্তাকার বিশেষ ক্ষেত্রে
- রেফারেন্স উপবৃত্ত
- সংখ্যার উদাহরণ
- সমাধান
- তথ্যসূত্র
উপবৃত্তাকার মহাকাশে একটি পৃষ্ঠ যে quadric পৃষ্ঠতলের যার সাধারণ সমীকরণ ফর্মের হয় গোষ্ঠীর আওতাধীন:
এটি একটি উপবৃত্তের ত্রি-মাত্রিক সমতুল্য, কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে উপবৃত্তাকার এবং বৃত্তাকার চিহ্নগুলি দ্বারা চিহ্নিত। ট্রেসগুলি হ'ল বিমানের সাথে উপবৃত্তাকার ছেদ করে প্রাপ্ত বক্ররেখা।
চিত্র ১. তিনটি পৃথক উপবৃত্তাকার: শীর্ষে একটি গোলক যার মধ্যে তিনটি আধা-অক্ষ সমান, নীচে একটি গোলাকার বামে, দুটি সমান আধা-অক্ষ এবং একটি আলাদা একটি এবং অবশেষে নীচে ডানদিকে একটি ট্রাইএক্সিয়াল স্পেরয়েড, তিনটি পৃথক অক্ষ সহ দৈর্ঘ্য। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। Ag2gaeh / সিসি BY-SA (https://creativecommons.org/license/by-sa/4.0)
উপবৃত্তাকার ছাড়াও আরও পাঁচটি কোয়াড্রিক রয়েছে: একটি শীট এবং দুটি শীট হাইপারবোলয়েড, দুই ধরণের প্যারাবোলয়েড (হাইপারবোলিক এবং উপবৃত্তাকার) এবং উপবৃত্তাকার শঙ্কু। এর চিহ্নগুলিও শঙ্কু।
উপবৃত্তাকারটি কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের মান সমীকরণের দ্বারাও প্রকাশ করা যেতে পারে। একটি এলিপসয়েড উত্সকে কেন্দ্র করে (0,0,0) এবং এভাবে প্রকাশ করেছেন, উপবৃত্তের সাথে সাদৃশ্যযুক্ত, তবে একটি অতিরিক্ত শব্দ সহ:
A, b এবং c এর মানগুলি 0 এর চেয়ে বেশি সংখ্যার প্রকৃত সংখ্যা এবং উপবৃত্তের তিনটি আধা-অক্ষকে উপস্থাপন করে।
এলিপসয়েড বৈশিষ্ট্য
- স্ট্যান্ডার্ড সমীকরণ
বিন্দুতে কেন্দ্রবিন্দুবৃত্তবৃত্তের জন্য কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের মানক সমীকরণটি (এইচ, কে, মি) হ'ল:
- উপবৃত্তাকার প্যারামেট্রিক সমীকরণ
গোলাকার স্থানাঙ্কে, উপবৃত্তাকারটি নিম্নরূপ বর্ণিত হতে পারে:
x = একটি পাপ θ। cos
y = b পাপ θ। সেন φ
z = c cos
উপবৃত্তাকার আধা-অক্ষগুলি a, b এবং c অবধি থাকবে, যখন পরামিতিগুলি নিম্নলিখিত চিত্রের কোণ এবং φ:
চিত্র ২. গোলকীয় সমন্বয় ব্যবস্থা। এলিপসাইডটি প্যারামিটার হিসাবে প্রদর্শিত কোণগুলি থিতা এবং ফাই ব্যবহার করে প্যারামিটারাইজ করা যেতে পারে। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। অ্যান্ডিগস / পাবলিক ডোমেন।
- উপবৃত্তাকার চিহ্ন
মহাকাশের পৃষ্ঠের সাধারণ সমীকরণ হ'ল F (x, y, z) = 0 এবং পৃষ্ঠের চিহ্নগুলি বক্ররেখা:
- এক্স = সি; F (c, y, z) = 0
- y = গ; এফ (এক্স, সি, জেড) = 0
- জেড = সি; এফ (এক্স, ওয়াই, সি) = 0
উপবৃত্তাকার ক্ষেত্রে, এই জাতীয় বক্ররেখারটি উপবৃত্তাকার এবং কখনও কখনও বৃত্ত হয়।
- আয়তন
এলিপসয়েডের ভলিউম ভি (4/3) দ্বারা দেওয়া হয়েছে - এটি তার তিনটি আধা-অক্ষের গুণফল:
ভি = (4/3) π। অ আ ক খ
উপবৃত্তাকার বিশেষ ক্ষেত্রে
-আলিপসয়েড একটি গোলক হয় যখন সমস্ত আধা-অক্ষ একই আকার হয়: a = b = c ≠ 0. এটি বোধগম্য হয়, যেহেতু উপবৃত্তাকারটি একটি গোলকের মতো যা প্রতিটি অংশে পৃথকভাবে প্রসারিত হয়েছে অক্ষ।
-ফেরয়েড একটি উপবৃত্তাকার যেখানে দুটি আধা-অক্ষ দুটি একই এবং তৃতীয়টি পৃথক, উদাহরণস্বরূপ এটি a = b ≠ c হতে পারে।
গোলকটিকে বিপ্লবের উপবৃত্তাকার নামেও ডাকা হয়, কারণ এটি একটি অক্ষের চারপাশে উপবৃত্ত ঘোরার মাধ্যমে তৈরি করা যেতে পারে।
ঘূর্ণনের অক্ষটি যদি প্রধান অক্ষের সাথে মিলে যায় তবে গোলকটি প্রলেট হয় তবে এটি যদি ছোট অক্ষের সাথে মিলে যায় তবে এটি আবৃত হয়:
চিত্র ৩. বামদিকে স্পেরয়েড মিশ্রণ করুন এবং ডানদিকে প্রলেট স্পেরয়েড। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।
স্পেরয়েডের চ্যাপ্টা (উপবৃত্তাকার) এর পরিমাপ দুটি আধা-অক্ষের দৈর্ঘ্যের পার্থক্যের দ্বারা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা হয়, অর্থাৎ এটি ইউনিট সমতলকরণ দ্বারা প্রদত্ত:
f = (a - b) / a
এই সমীকরণে, একটি আধা-প্রধান অক্ষকে উপস্থাপন করে এবং খ আধা-ক্ষুদ্র অক্ষটি দেখায়, মনে রাখবেন যে তৃতীয় অক্ষটি একটি গোলকের জন্য এইগুলির একটির সমান। চ এর মান 0 এবং 1 এর মধ্যে হয় এবং একটি গোলকটির জন্য এটি 0 এর চেয়ে বেশি হতে হবে (যদি এটি 0 এর সমান হয় তবে আমাদের কেবল গোলকটি থাকতে পারে)।
রেফারেন্স উপবৃত্ত
সাধারণত গ্রহ এবং তারাগুলি সাধারণত নিখুঁত গোলক হয় না, কারণ তাদের অক্ষের চারপাশে ঘোরানো চলাচল শরীরকে মেরুতে সমতল করে তোলে এবং নিরক্ষরেখায় এঁকে দেয়।
এই কারণেই পৃথিবীটি একটি বিস্তৃত গোলকের মতো রূপান্তরিত হয়েছে, যদিও পূর্ববর্তী চিত্রের মতো এটি অত্যুক্তিযুক্ত নয় এবং তার অংশের জন্য গ্যাস দৈত্য শনি শনি সৌরজগতের গ্রহগুলির মধ্যে সবচেয়ে সমতলতম।
সুতরাং গ্রহগুলির প্রতিনিধিত্ব করার আরও বাস্তব উপায় হ'ল তারা ধরে নেবেন যে তারা বিপ্লবের একটি গোলাকার বা উপবৃত্তাকার মতো, যার আধা-প্রধান অক্ষটি নিরক্ষীয় ব্যাসার্ধ এবং আধা-গৌণ অক্ষটি মেরু ব্যাসার্ধ।
পৃথিবীতে তৈরি সাবধানতার সাথে পরিমাপের কারণে এটি গাণিতিকভাবে কাজ করার সুনির্দিষ্ট উপায় হিসাবে পৃথিবীর রেফারেন্স এলিপসয়েড তৈরি করা সম্ভব করেছে।
তারারও ঘূর্ণনশীল চলাচল করে যা তাদের কম-বেশি সমতল আকার দেয়। দক্ষিণের নক্ষত্রমণ্ডলে রৌদ্রের আকাশের অষ্টমতম উজ্জ্বল নক্ষত্র আখরনার বেশিরভাগের তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে উপবৃত্তাকার। এটি আমাদের থেকে 144 আলোকবর্ষ।
অন্য চূড়ান্তভাবে, কয়েক বছর আগে বিজ্ঞানীরা সর্বাধিক গোলাকার বস্তুটি খুঁজে পেয়েছিলেন: তারকা কেপলার 11145123, 5000 আলোকবর্ষ দূরে, আমাদের সূর্যের দ্বিগুণ এবং মাত্র 3 কিলোমিটারের আধা-অক্ষের মধ্যে পার্থক্য। যেমনটি প্রত্যাশিত, এটি আরও ধীরে ধীরে স্পিন করে।
পৃথিবীর ক্ষেত্রে, এটি কোনও শক্ত কাঠামো এবং মহাকর্ষের স্থানীয় পরিবর্তনের কারণে কোনও সঠিক গোলক নয়। এই কারণে, একাধিক রেফারেন্স স্পেরয়েড পাওয়া যায় এবং প্রতিটি সাইটে স্থানীয় ভূগোলের জন্য সবচেয়ে উপযুক্ত চয়ন করা হয়।
পৃথিবীর আকারের ক্রমবর্ধমান সঠিক মডেল তৈরি করতে উপগ্রহের সহায়তা অমূল্য, তাদের ধন্যবাদ এটি জানা যায়, উদাহরণস্বরূপ, দক্ষিণ মেরু উত্তর মেরুর তুলনায় নিরক্ষীয় অঞ্চলের কাছাকাছি।
চিত্র ৪. হাউমিয়া, ট্রান্স-নেপচুনিয়ান বামন গ্রহটির উপবৃত্তাকার আকার রয়েছে। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।
সংখ্যার উদাহরণ
পৃথিবীর আবর্তনের কারণে, কেন্দ্রবিন্দু শক্তি উত্পন্ন হয় যা এটিকে একটি গোলকের পরিবর্তে একটি বিস্তৃত উপবৃত্তাকার আকার দেয়। পৃথিবীর নিরক্ষীয় ব্যাসার্ধটি 3963 মাইল এবং মেরু ব্যাসার্ধ 3942 মাইল হিসাবে পরিচিত।
নিরক্ষীয় ট্রেসের সমীকরণ, এই উপবৃত্তাকার এবং এর সমতলকরণের পরিমাপটি সন্ধান করুন। নীচে সরবরাহ করা ডেটার সাথে শনির উপবৃত্তির সাথেও তুলনা করুন:
-স্যাচার্ন নিরক্ষীয় ব্যাসার্ধ: 60,268 কিমি
-শনিটির মেরু ব্যাসার্ধ: 54,364 কিমি
সমাধান
একটি সমন্বিত সিস্টেমের প্রয়োজন, যা আমরা উত্সকে কেন্দ্র করে ধরে নেব (পৃথিবীর কেন্দ্র)। আমরা উল্লম্ব z অক্ষ এবং নিরক্ষীয় অঞ্চলের সাথে সম্পর্কিত ট্রেসটি zy 0 বিমানের সমতুল্য xy বিমানের উপর নির্ভর করব।
নিরক্ষীয় সমতলটিতে আধা-অক্ষ এবং a এবং b সমান, সুতরাং a = b = 3963 মাইল, c = 3942 মাইল। এটি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে: উপরে বর্ণিত বিন্দুতে (0,0,0) কেন্দ্রিক একটি গোলক।
নিরক্ষীয় ট্রেসটি মূলকে কেন্দ্র করে, ব্যাসার্ধ R = 3963 মাইলের বৃত্ত। মান সমীকরণে z = 0 করে এটি গণনা করা হয়:
এবং পার্থিব উপবৃত্তাকার আদর্শ সমীকরণটি হ'ল:
f আর্থ = (a - b) / a = (3963-3942) মাইল / 3963 মাইল = 0.0053
f শনি = (60268-54363) কিমি / 60268 কিমি = 0.0980
লক্ষ করুন যে উপবৃত্তাকার চ একটি মাত্রাবিহীন পরিমাণ।
তথ্যসূত্র
- ডেস্কটপের জন্য আর্কজিআইএস। স্পেরয়েড এবং গোলক। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: ডেস্কটপ.কারগিস.কম।
- বিবিসি ওয়ার্ল্ড মহাবিশ্বে সর্বাধিক গোলাকার বস্তুর রহস্য আবিষ্কার হয়েছে। উদ্ধার করা হয়েছে: বিবিসি ডটকম থেকে।
- লারসন, আর। ক্যালকুলাস এবং বিশ্লেষণী জ্যামিতি। ষষ্ঠ সংস্করণ। খণ্ড ২. ম্যাকগ্রা হিল।
- উইকিপিডিয়া। উপবৃত্তাকার। পুনরুদ্ধার: en.wikedia.org থেকে।
- উইকিপিডিয়া। উপগোলক। পুনরুদ্ধার: en.wikedia.org থেকে।