- কেন্দ্রীয় প্রতিসমের বৈশিষ্ট্য
- উদাহরণ
- উদাহরণ 1
- উদাহরণ 2
- সমাধান ব্যায়াম
- - অনুশীলনী 1
- সমাধান
- - অনুশীলন 2
- সমাধান
- তথ্যসূত্র
বিভাগের এএ 'এর মধ্য দিয়ে যায় এবং এটি' এএ'র মিডপয়েন্টও হয় যখন দুটি বিন্দু 'এ' এবং 'এ'র একটি বিন্দুর সাথে সম্পর্কিত প্রতিসাম্য থাকে । পয়েন্ট ওকে সমমিতির কেন্দ্র বলা হয়।
O বিন্দু সম্পর্কিত ত্রিভুজ ABC এর কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্য হ'ল আরও একটি ত্রিভুজ A'B'C 'যার নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
- হোমোলজাস বিভাগগুলি সমান দৈর্ঘ্যের
- তাদের সংশ্লিষ্ট কোণগুলির একই পরিমাপ রয়েছে।
চিত্র 1. ত্রিভুজ এবিসি এবং এর প্রতিসাম্য এ 'বি'সি'। সূত্র: এফ.জাপাটা।
চিত্র 1 সমান্তরাল হে এর কেন্দ্রের সাথে সম্মতভাবে একটি ত্রিভুজ এবিসি (লাল) এবং এর কেন্দ্রীয় প্রতিসম এ'বি'সি '(সবুজ) দেখায়
এই একই চিত্রে, একটি মনোযোগী পর্যবেক্ষক বুঝতে পারবেন যে একই ফলটি মূল ত্রিভুজটির ঘূর্ণন প্রয়োগ করে প্রাপ্ত হয়, যতক্ষণ না এটি 180º এবং O তে কেন্দ্রিক হয় is
সুতরাং, একটি প্রতিসাম্য কেন্দ্রের প্রতি সম্মান সঙ্গে একটি সেন্ট্রাল প্রতিসাম্য 180 a টার্নের সমান।
কেন্দ্রীয় প্রতিসমের বৈশিষ্ট্য
একটি কেন্দ্রীয় প্রতিসমিতে নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:
প্রতিসাম্য কেন্দ্রটি সেগমেন্টের মধ্য পয়েন্ট যা তার প্রতিসাম্যের সাথে একটি বিন্দুতে যোগ দেয়।
- অন্য একটি প্রতিসম পয়েন্ট যা প্রতিসাম্যের কেন্দ্রে অবস্থিত, প্রতিসাম্য কেন্দ্রের সাথে মিলিত হয়।
- ত্রিভুজের কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্যটি মূলটির সাথে একত্রিত ত্রিভুজ (সমান)।
- একটি বৃত্তের কেন্দ্রীয় প্রতিসম দ্বারা চিত্রটি সমান ব্যাসার্ধের আর একটি বৃত্ত।
- একটি পরিধি তার নিজস্ব কেন্দ্রের সাথে সম্মান সঙ্গে কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্য আছে।
চিত্র 2. কেন্দ্রীয় প্রতিসম সঙ্গে ডিজাইন। সূত্র: পিক্সাবে।
- উপবৃত্তাকারটির কেন্দ্রের সাথে সম্মানের সাথে কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্য রয়েছে।
-এই বিভাগটির মধ্যম বিন্দু সম্পর্কিত শ্রেনী প্রতিসাম্য রয়েছে।
- সমভূমিক ত্রিভুজটির কেন্দ্রের সাথে সম্মিলিতভাবে কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্য থাকে না, কারণ এর প্রতিসাম্য যদিও প্রথমটির সাথে একত্রিত, একটি ঘোরানো সমান্তরীয় ত্রিভুজ দেয়।
- স্কোয়ারগুলির কেন্দ্রের প্রতি তাদের কেন্দ্রের প্রতি সম্মান রয়েছে।
-এর পেন্টাগনে এর কেন্দ্রের সাথে সম্মিলিত কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্যের অভাব রয়েছে।
- নিয়মিত বহুভুজের যখন একটি সমান সংখ্যক দিক থাকে তখন কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্য থাকে।
উদাহরণ
প্রতিসম মানদণ্ডে বিজ্ঞান ও প্রকৌশল সংক্রান্ত অনেকগুলি প্রয়োগ রয়েছে। কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্য প্রকৃতিতে উপস্থিত রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ বরফের স্ফটিক এবং কোবওয়েবে এই ধরণের প্রতিসাম্য রয়েছে।
তদুপরি, কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্য এবং অন্যান্য ধরণের প্রতিসাম্যের অস্তিত্বের সুযোগ গ্রহণ করলে অনেকগুলি সমস্যা সহজেই সমাধান করা হয়। অতএব, এটি কখন ঘটে তা দ্রুত সনাক্ত করা সুবিধাজনক।
চিত্র 3. আইস স্ফটিকগুলির কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্যতা রয়েছে। সূত্র: পিক্সাবে।
উদাহরণ 1
স্থানাঙ্কগুলির একটি বিন্দু পি দেওয়া (ক, খ), আমাদের অবশ্যই এর সমন্বিত পি'র স্থানাঙ্কগুলি অবশ্যই স্থানাঙ্কের উত্স ও (0, 0) এর সাথে সন্ধান করতে হবে।
প্রথম জিনিসটি 'P' বিন্দুটি তৈরি করা, যার জন্য একটি রেখা টানা হয় যা উত্স O এবং বিন্দু P দিয়ে যায় this এই রেখার সমীকরণটি y = (b / a) x।
এখন যাক (একটি ', বি') প্রতিসাম্য বিন্দু পি এর স্থানাঙ্ক। পয়েন্ট P 'অবশ্যই O এর মধ্য দিয়ে যাওয়া লাইনে থাকতে হবে এবং সুতরাং এটি সত্য: b' = (খ / ক) ক '। তদুপরি, দূরত্বের ওপিকে অবশ্যই ওপি'র সমান হতে হবে, যা বিশ্লেষণাত্মক আকারে এভাবে লেখা হয়:
√ (একটি 2 + বি 2) = √ (এ ' 2 + বি' 2)
বর্গমূলকে নির্মূল করার জন্য পূর্বের অভিব্যক্তিটিতে এবং সমতার উভয় পক্ষকে বর্গক্ষেত্রের জন্য নিম্নলিখিতটি নিম্নোক্ত: (a 2 + b 2) =
সাধারণ ফ্যাক্টরটি বের করে এবং সরলকরণের মাধ্যমে আমরা এটি একটি ' 2 = a 2 ' পাই । এই সমীকরণটির দুটি বাস্তব সমাধান রয়েছে: একটি '= + এ বা' '= -এ।
খ 'পেতে, আমরা আবার b' = (খ / ক) ক ব্যবহার করি। যদি একটি 'এর ইতিবাচক সমাধানটি প্রতিস্থাপন করা হয়, আমরা সেই বি' = বি তে পৌঁছাই। এবং যখন নেতিবাচক সমাধানটি প্রতিস্থাপন করা হয়, তারপরে b '= -b।
ইতিবাচক সমাধান পি'র জন্য একই পয়েন্ট পি দেয়, তাই এটি বাতিল করা হয়। নেতিবাচক সমাধান স্পষ্টতই প্রতিসম পয়েন্টের স্থানাঙ্ক দেয়:
পি ': (-এ, -বি)
উদাহরণ 2
এটি দেখাতে হবে যে একটি বিভাগ AB এবং এর কেন্দ্রিয় প্রতিসম এ'বি'র দৈর্ঘ্য একই have
A বিন্দু, যা (Ax, Ay) এবং বি পয়েন্ট: (Bx, বাই) এর স্থানাঙ্কগুলি দিয়ে শুরু করে, বিভাগটি AB এর দৈর্ঘ্য দেওয়া হয়েছে:
d (এবি) = √ ((বিএক্স - এক্স) 2 + (লিখেছেন - আয়) 2)
সাদৃশ্য অনুসারে, প্রতিসম খণ্ড A'B 'এর দৈর্ঘ্য দৈর্ঘ্য হবে:
d (A'B ') = √ ((বিএক্স' - এক্স ') 2 + (' - আয় ' দ্বারা) 2)
A 'এর প্রতিসাম্য বিন্দুগুলির স্থানাঙ্কগুলি হ'ল অক্ষ' = -আক্স এবং আই '= -এই। তেমনি বি 'বি'র তারা হলেন বিএক্স' = -বিএক্স এবং বাই '=-বাই দ্বারা y এই স্থানাঙ্কগুলি যদি আমাদের কাছে দূরত্ব ডি (এ 'বি) এর সমীকরণে প্রতিস্থাপন করা হয়:
d (A'B ') = √ ((-বিএক্স + এক্স) 2 + (-আর + আয়) 2) যা এর সমান:
√ ((বিএক্স - এক্স) 2 + (লিখেছেন - আয়) 2) = ডি (এবি)
সুতরাং উভয় বিভাগের একই দৈর্ঘ্য রয়েছে তা দেখানো হচ্ছে।
সমাধান ব্যায়াম
- অনুশীলনী 1
বিশ্লেষণাত্মকভাবে দেখান যে ব্যাসার্ধ R এবং কেন্দ্র O এর বৃত্তের কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্য একই একই বৃত্ত।
সমাধান
ব্যাসার্ধ R এবং কেন্দ্র O (0,0) সহ একটি বৃত্তের সমীকরণটি হ'ল:
x 2 + y 2 = আর 2 (পরিধি সি এর সমীকরণ)
যদি স্থানাঙ্কগুলির পরিধি y এর প্রতিটি বিন্দুতে (x, y) এর স্থানাঙ্কের প্রতিসাম্য পি 'x', y ') পাওয়া যায়, তবে প্রতিসম ঘের সমীকরণটি হয়:
x ' 2 + y' 2 = আর 2 (প্রতিসম বৃত্ত সি এর সমীকরণ)
এখন আমরা উদাহরণস্বরূপ 1 এর ফলাফল উল্লেখ করি, যেখানে এটি উপসংহারে পৌঁছায় যে একটি বিন্দু P এর স্থানাঙ্কগুলি P এর প্রতিসাম্য এবং সমন্বয়ক (ক, খ) এর সাথে (-এ,-বি) হয়।
তবে এই অনুশীলনে, পয়েন্ট P এর স্থানাঙ্ক থাকে (x, y), সুতরাং এর প্রতিসাম্য পি'তে এক্স '= -xe y' = -y এর স্থানাঙ্ক থাকবে। আমাদের কাছে প্রতিসম বৃত্তের সমীকরণে এটি প্রতিস্থাপন:
(-x) 2 + (-y) 2 = আর 2
যা সমান: x 2 + y 2 = আর 2, এই সিদ্ধান্তে পৌঁছে যে এর কেন্দ্রের সাথে সম্মত একটি বৃত্তের কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্যটি বৃত্তটিই itself
- অনুশীলন 2
জ্যামিতিক আকারে দেখান যে কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্যটি কোণগুলি সংরক্ষণ করে।
সমাধান
চিত্র ৪. অনুশীলনের জন্য প্রতিসম পয়েন্টের নির্মাণ ২. উত্স: এফ.জাপাটা।
বিমানে তিনটি পয়েন্ট এ, বি এবং সি রয়েছে। এর প্রতিসাম্য A ', B' এবং C 'প্রতিসাম্য O এর কেন্দ্রের প্রতি শ্রদ্ধার সাথে নির্মিত হয়েছে, যেমন চিত্র 4 তে দেখানো হয়েছে।
এখন আমাদের অবশ্যই দেখাতে হবে যে কোণ CABC = এর কোণ ∡A'B'C '= β' হিসাবে একই মাপসই রয়েছে।
যেহেতু সি এবং সি 'সমান্তরাল, তাই ওসি = ওসি' ' একইভাবে ওবি = ওবি 'এবং ওএ = ওএ'। অন্যদিকে, কোণ ∡BOC ='B'OC 'কারণ তারা শীর্ষবিন্দু দ্বারা বিরোধী।
সুতরাং বিওসি এবং বি'ওসি 'ত্রিভুজগুলি একত্রিত কারণ তাদের দুটি সমান পক্ষের মধ্যে সমান কোণ রয়েছে।
যেহেতু বিওসি বি'ওসি'র সম্মিলিত তাই কোণগুলি γ এবং γ 'সমান। তবে এই কোণগুলি γ = γ 'পূর্ণ করার পাশাপাশি বিসি এবং বি'সি রেখার অভ্যন্তরীণ বিকল্প, যা বোঝায় যে বিসি রেখাটি বি'সি'র সমান্তরাল।
একইভাবে BOA B'OA 'এর সাথে সম্মত যা এটি অনুসরণ করে যে α = α'। তবে α এবং α 'বিএ এবং বি'এ রেখাগুলির মধ্যে বিকল্প অভ্যন্তর কোণ, যা থেকে এই সিদ্ধান্তে আসা হয় যে লাইন বিএ বি'এ'র সমান্তরাল।
যেহেতু ∡ABC = angle কোণটি এর কোণগুলি ∡A'B'C '= β' এর সাথে সমান্তরাল এবং উভয়ই তীব্র, তাই এটি উপসংহারে এসেছে:
∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'
এইভাবে প্রমাণ করা, যে কেন্দ্রীয় প্রতিসাম্যটি কোণগুলির পরিমাপ সংরক্ষণ করে।
তথ্যসূত্র
- বাল্ডোর, জেএ 1973. প্লেন এবং স্পেস জ্যামিতি। মধ্য আমেরিকান সাংস্কৃতিক।
- গাণিতিক আইন এবং সূত্র। কোণ পরিমাপ সিস্টেম। উদ্ধার করা হয়েছে: ingemecanica.com থেকে।
- ভেন্টওয়ার্থ, জি প্লেন জ্যামিতি। উদ্ধার: গুটেনবার্গ.অর্গ।
- উইকিপিডিয়া। কেন্দ্রীয় প্রতিসমতা। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া
- উইকিপিডিয়া। পরিবাহক। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া
- জাপাটা এফ অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক কোণ একত্রিত করুন। উদ্ধার: lifeder.com