লোগারিদমিক ফাংশন: বৈশিষ্ট্য, উদাহরণ, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

লগারিদমিক ফাংশন একটি গাণিতিক সম্পর্ক যে একটি বেস একটি তার লগারিদম Y সঙ্গে সহযোগীদের প্রতিটি ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যার এক্স। এই সম্পর্কটি কোনও ফাংশন হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে: ডোমেনের অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি উপাদান x এর একটি অনন্য চিত্র রয়েছে।

এভাবে:

যেহেতু একটি সংখ্যা x এর উপর ভিত্তি করে লগারিদমটি হল y সংখ্যাটি যেখানে x প্রাপ্ত করার জন্য বেস aটি উত্থাপন করতে হবে।

-বেসের লোগারিদম সর্বদা 1 থাকে। সুতরাং, f (x) = _একটি লগের গ্রাফ সর্বদা বিন্দুতে (x0) x- অক্ষকে ছেদ করে

- লোগারিথমিক ফাংশনটি অতিক্রান্ত এবং বহুবর্ষ হিসাবে বা এগুলির একটি অংশ হিসাবে প্রকাশ করা যায় না। লগারিদম ছাড়াও, এই গোষ্ঠীতে অন্যদের মধ্যে ত্রিকোনোমেট্রিক ফাংশন এবং ঘনিষ্ঠ হিসাবে কাজ করে।

উদাহরণ

লগারিদমিক ফাংশনটি বিভিন্ন ঘাঁটি দ্বারা প্রতিষ্ঠিত হতে পারে তবে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত হয় 10 এবং ই, যেখানে ই Euler সংখ্যাটি 2.71828 এর সমান…।

যখন বেস 10 ব্যবহার করা হয়, লগারিদমকে দশমিক লোগারিদম, সাধারণ লোগারিদম, ব্রিগেস 'বা কেবল সরল লগারিদম বলে।

এবং যদি ই সংখ্যাটি ব্যবহার করা হয়, তবে লোগারিদম আবিষ্কার করেছেন স্কটিশ গণিতবিদ জন নেপিয়ারের পরে একে প্রাকৃতিক লোগারিদম বলা হয়।

প্রতিটি জন্য ব্যবহৃত স্বরলিপি নিম্নলিখিত:

-নিম্ন লোগারিদম: লগ ₁₀ এক্স = লগ এক্স

-নিপিরিয়ান লোগারিদম: ln এক্স

আপনি যখন অন্য বেস ব্যবহার করতে যাচ্ছেন, সাবস্ক্রিপ্ট হিসাবে এটি নির্দেশ করা একেবারে প্রয়োজনীয়, কারণ প্রতিটি সংখ্যার লগারিদম বেসের ভিত্তিতে নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি এটি বেস 2 তে লগারিদম হয় তবে লিখুন:

y = লগ ₂ এক্স

এই বিন্দুটি বর্ণনা করার জন্য তিনটি ভিন্ন ঘাঁটিতে 10 নম্বরের লগারিদমটি দেখুন:

লগ 10 = 1

ln 10 = 2.30259

লগ ₂ 10 = 3.32193

সাধারণ ক্যালকুলেটরগুলি কেবলমাত্র দশমিক লগারিদম (লগ ফাংশন) এবং প্রাকৃতিক লোগারিদম (এলএন ফাংশন) নিয়ে আসে। ইন্টারনেটে অন্যান্য ঘাঁটি সহ ক্যালকুলেটর রয়েছে। যাই হোক না কেন, পাঠক তার সাহায্যে যাচাই করতে পারেন, পূর্ববর্তী মানগুলি সন্তুষ্ট:

10 ¹ = 10

e ^2.3026 = 10.0001

2 ^3.32193 = ^10.0000

ক্ষুদ্র দশমিক পার্থক্য লগারিদম গণনায় নেওয়া দশমিক স্থানের সংখ্যার কারণে হয়।

লগারিদমের সুবিধা

লগারিদম ব্যবহারের সুবিধাগুলির মধ্যে হ'ল তারা সহজে সংখ্যার পরিবর্তে তাদের লোগারিদম ব্যবহার করে বৃহত সংখ্যার সাথে কাজ করতে সহজলভ্য।

এটি সম্ভবত সম্ভব কারণ লগারিদম ফাংশনটি আরও ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায় কারণ আমরা গ্রাফটিতে দেখতে পাচ্ছি।

সুতরাং খুব সংখ্যক সংখ্যক হলেও, তাদের লোগারিথগুলি অনেক ছোট এবং ছোট সংখ্যায় ম্যানিপুলেট করা সবসময় সহজ।

তদতিরিক্ত, লগারিদমে নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

- পণ্য: লগ (অব) = লগ এ + লগ বি

- কোটারিয়েন্ট: লগ (এ / বি) = লগ এ - লগ খ

- শক্তি: লগ এ ^বি = বি.লগ এ

এবং এইভাবে, পণ্যগুলি এবং ভাগফলগুলি সংখ্যার সংখ্যার সংযোজন এবং বিয়োগফল হয়ে যায়, যখন ক্ষমতায়ন ক্ষমতা বেশি থাকা সত্ত্বেও ক্ষমতায়ন একটি সাধারণ পণ্য হয়ে যায়।

এ কারণেই লোগারিদম আমাদেরকে এমন সংখ্যার প্রকাশ করতে দেয় যা শব্দের তীব্রতা, কোনও সমাধানের পিএইচ, তারার উজ্জ্বলতা, বৈদ্যুতিক প্রতিরোধ এবং ভূমিকম্পগুলির তীব্রতার মতো রিচার স্কেল।

চিত্র 2. ভূমিকম্পের পরিমাণ বাড়ানোর জন্য রিকটার স্কেলে লোগারিদম ব্যবহার করা হয়। চিত্রটি ২০১০ সালের ভূমিকম্পের সময় চিলির কনসেপ্সিয়নে একটি ধসে পড়া ভবন দেখায়।সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

আসুন লগারিদমের বৈশিষ্ট্যগুলি পরিচালনা করার উদাহরণ দেখুন:

উদাহরণ

নিম্নলিখিত এক্সপ্রেশনটিতে x এর মানটি সন্ধান করুন:

উত্তর

আমাদের এখানে একটি লগারিদমিক সমীকরণ রয়েছে, যেহেতু অজানা লোগারিদমের যুক্তিতে রয়েছে। সাম্যের প্রতিটি দিকে একক লোগারিদম রেখে এটি সমাধান করা হয়।

আমরা সামঞ্জস্যের বামে "x" ধারণকারী সমস্ত পদ এবং ডানদিকে কেবলমাত্র সংখ্যাসমূহ স্থাপন করে শুরু করি:

লগ (5x + 1) - লগ (2x-1) = 1

বাম দিকে আমাদের দুটি লোগারিদমের বিয়োগ আছে, যা ভাগফলের লোগারিদম হিসাবে লেখা যেতে পারে:

লগ = 1

যাইহোক, ডানদিকে নম্বর 1, যা আমরা লগ 10 হিসাবে প্রকাশ করতে পারি, যেমনটি আমরা আগে দেখেছি। তাই:

লগ = লগ 10

সাম্যতা সত্য হওয়ার জন্য, লগারিদমের যুক্তিগুলি সমান হতে হবে:

(5x + 1) / (2x-1) = 10

5x + 1 = 10 (2x - 1)

5x + 1 = 20 x - 10

-15 এক্স = -11

x = 11/15

প্রয়োগ অনুশীলন: রিখটার স্কেল

১৯৫7 সালে মেক্সিকোয় একটি ভূমিকম্প হয়েছিল, যার মাত্রা 7.7 ছিল রিখটার স্কেলে। 1960 সালে চিলিতে 9.5 এর বৃহত্তর মাত্রার আরও একটি ভূমিকম্প হয়েছিল।

মেক্সিকোয় একের চেয়ে চিলির ভূমিকম্প কতবার তীব্র ছিল তা গণনা করুন, জেনে যে রিখটার স্কেলে এম _আর প্রস্থের সূত্রটি দেওয়া হয়েছে:

এম _আর = লগ (10 ⁴ আমি)

সমাধান

ভূমিকম্পের রিখটার স্কেলে তীব্রতা হ'ল লগারিদমিক ফাংশন। আমরা প্রতিটি ভূমিকম্পের তীব্রতা গণনা করতে যাচ্ছি, যেহেতু আমাদের কাছে রিখটারটির দৈর্ঘ্য রয়েছে। আসুন এটি ধাপে ধাপে:

- মেক্সিকো: 7.7 = লগ (10 ⁴ আই)

যেহেতু লোগারিদম ফাংশনটির বিপরীতটি ক্ষণীয় হয়, তাই আমরা এটির সমাধানের অভিপ্রায় নিয়ে সমতা উভয় পক্ষের জন্য প্রয়োগ করি যা লগারিদমের যুক্তিতে পাওয়া যায়।

যেহেতু এগুলি দশমিক লোগারিদম, তাই বেসটি 10 ​​হয় Then

10 ^7.7 = 10 ⁴ আই

মেক্সিকো ভূমিকম্পের তীব্রতা ছিল:

আই _এম = 10 ^7.7 / 10 ⁴ = 10 ^3.7

- চিলি: 9.5 = লগ (10 ⁴ আই)

একই পদ্ধতি আমাদের চিলিয়ান আই _{সি এর} ভূমিকম্পের তীব্রতার দিকে নিয়ে যায়:

I _Ch = 10 ^9.5 / 10 ⁴ = 10 ^5.5

এখন আমরা উভয় তীব্রতার তুলনা করতে পারি:

আই _{সিএইচ} / আই _এম = 10 ^5.5 / 10 ^3.7 = 10 ^1.8 = 63.1

আই _চ = 63.1। আমি _এম

চিলির ভূমিকম্প মেক্সিকোয় একের চেয়ে প্রায় times৩ গুণ বেশি তীব্র ছিল। যেহেতু প্রস্থটি লোগারিথমিক, এটি তীব্রতার চেয়ে ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায়, সুতরাং প্রস্থের মধ্যে 1 এর একটি পার্থক্যের অর্থ, ভূমিকম্পের তরঙ্গের 10 গুণ বৃহত্তর প্রশস্ততা।

উভয় ভূমিকম্পের মাত্রার মধ্যে পার্থক্য 1.8, অতএব আমরা তীব্রতার মধ্যে পার্থক্যটি 100 এর চেয়ে 10 এর কাছাকাছি আশা করতে পারি, যেমনটি ঘটেছিল।

আসলে, পার্থক্যটি যদি ঠিক 2 হয়, চিলির ভূমিকম্পটি মেক্সিকানদের চেয়ে 100 গুণ বেশি তীব্র হত।

তথ্যসূত্র

1. কেরেনা, এম। 2019. প্রাক-বিশ্ববিদ্যালয় গণিতের ম্যানুয়াল। লিটোরাল জাতীয় বিশ্ববিদ্যালয়।
2. ফিগার, জে 2000. গণিত 1 ম। বিবিধ বছর। সিও-বিও সংস্করণ।
3. জিমনেজ, আর। 2008. বীজগণিত। প্রেন্টিস হল.
4. লারসন, আর। 2010. একটি ভেরিয়েবলের গণনা। 9 ম। সংস্করণ। ম্যাকগ্রা হিল
5. স্টুয়ার্ট, জে। 2006. প্রিক্যালকুলাস: ক্যালকুলাসের জন্য গণিত। 5 ম। সংস্করণ। কেনেজ লার্নিং।