ন্যূনতম স্কোয়ারের পদ্ধতিটি কার্যগুলির আনুমানিক ক্ষেত্রে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অ্যাপ্লিকেশনগুলির মধ্যে একটি। ধারণাটি এমন একটি বক্ররেখা সন্ধান করতে পারে যাতে অর্ডার করা জোড়াগুলির একটি সেট দেওয়া হয়, এই ফাংশনটি উপাত্তকে সর্বোত্তম করে তোলে। ফাংশনটি একটি লাইন, চতুর্ভুজ বক্র, একটি ঘনক ইত্যাদি হতে পারে
পদ্ধতির ধারণাটি অর্ডিনেটের (ওয়াই উপাদান) পার্থক্যগুলির বর্গের যোগফলকে হ্রাস করে, নির্বাচিত ফাংশন দ্বারা উত্পন্ন পয়েন্ট এবং ডেটা সেট সম্পর্কিত পয়েন্টগুলির মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করে।
স্বল্প স্কোয়ার পদ্ধতি method
পদ্ধতিটি দেওয়ার আগে আমাদের প্রথমে "আরও ভাল পদ্ধতির" অর্থ কী তা সম্পর্কে পরিষ্কার হওয়া উচিত। মনে করুন যে আমরা y = b + mx একটি লাইন সন্ধান করছি যা n (x1, y1), (x2, y2)…, (xn, yn) n হিসাবে n পয়েন্টগুলির একটি সেটকে সেরা উপস্থাপন করে}
পূর্ববর্তী চিত্রে যেমন দেখানো হয়েছে, x এবং y ভেরিয়েবলগুলি যদি y = b + mx রেখার সাথে সম্পর্কিত হয় তবে x = x1 এর জন্য y এর সাথে সম্পর্কিত মান হবে b + mx1। তবে এই মানটি y এর যথাযথ মান থেকে পৃথক, যা y = y1।
মনে রাখবেন যে বিমানটিতে, দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্বটি নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়েছে:
এটিকে মনে রেখে, প্রদত্ত ডেটাটিকে সর্বোত্তমভাবে সঞ্চিত y = b + mx রেখাটি বেছে নেওয়ার উপায়টি নির্ধারণ করার জন্য, পয়েন্টগুলির মধ্যে দূরত্বগুলির বর্গের যোগফলকে ছোট করে এমন রেখার নির্বাচনটি মানদণ্ড হিসাবে ব্যবহার করা যুক্তিসঙ্গত বলে মনে হয় এবং সোজা।
যেহেতু (x1, y1) এবং (x1, b + mx1) পয়েন্টগুলির মধ্যে দূরত্বটি y1- (b + mx1), তাই আমাদের সমস্যাগুলি এম এবং বি এর সন্ধান করতে হ্রাস করে যে নীচের যোগফলটি সর্বনিম্ন:
এই শর্তটি পূরণ করে এমন রেখাটি points পয়েন্টগুলির সর্বনিম্ন বর্গাকার রেখার সীমাবদ্ধতা (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) হিসাবে পরিচিত »
একবার সমস্যাটি পাওয়া গেলে, এটি শুধুমাত্র কমপক্ষে স্কোয়ারগুলির সান্নিধ্য নির্ধারণের জন্য কোনও পদ্ধতি বাছাই করতে পারে। (X1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) পয়েন্টগুলি যদি y = mx + b লাইনে থাকে তবে আমাদের কাছে সেগুলি কোলাইনারি y হবে:
এই অভিব্যক্তিতে:
পরিশেষে, যদি পয়েন্টগুলি কোলাইনারি না হয়, তবে y-Au = 0 এবং সমস্যাটি এমন একটি ভেক্টর সন্ধানে অনুবাদ করা যেতে পারে যেমন ইউক্যালিডিয়ান আদর্শটি ন্যূনতম।
আপনার কমানোর ভেক্টর সন্ধান করা আপনার পক্ষে ততটা কঠিন নয়। যেহেতু A একটি এনএক্স 2 ম্যাট্রিক্স এবং আপনি একটি 2 × 1 ম্যাট্রিক্স, আমাদের কাছে ভেক্টর আউ আর এন-তে একটি ভেক্টর এবং এ এর চিত্রের অন্তর্গত, যা আর এন এর একটি উপ-স্থান যেখানে দুটি মাত্রার চেয়ে বেশি নয়।
আমরা ধরে নেব যে n = 3 কোন পদ্ধতি অনুসরণ করবে তা দেখানোর জন্য। যদি এন = 3 হয় তবে এ এর চিত্রটি একটি উত্সের মধ্য দিয়ে একটি সমতল বা একটি লাইন হবে।
V হ'ল মিনিমাইজিং ভেক্টর। চিত্রটিতে আমরা পর্যবেক্ষণ করি যে এ-ই-এর চিত্রটি যখন অর্থোগোনাল হয় তখন ওয়াই-আউ হ্রাস করা হয় is অর্থাৎ, যদি ভি সংক্ষিপ্ততর ভেক্টর হয় তবে এটি ঘটে:
তারপরে, আমরা উপরের দিকটি এভাবে প্রকাশ করতে পারি:
এটি কেবল তখনই ঘটতে পারে:
অবশেষে, ভি এর জন্য সমাধান করা, আমাদের রয়েছে:
এটি করা সম্ভব যেহেতু A t A যতক্ষণ না ডেটা হিসাবে দেওয়া n পয়েন্টগুলি কোলাইনারি না হয় ততক্ষণ অবিচ্ছিন্ন।
এখন, যদি আমরা কোনও পংক্তির সন্ধান না করে আমরা একটি প্যারোবোলার সন্ধান করতে চাইতাম (যার অভিব্যক্তিটি y = a + bx + cx 2 ফর্মের হবে) যা এন ডাটা পয়েন্টগুলির আরও ভাল আনুমানিকতা হতে পারে, প্রক্রিয়াটি নীচের বর্ণিত হিসাবে হবে।
যদি এন ডেটা পয়েন্টগুলি এই প্যারাবোলায় থাকত তবে আমাদের থাকতে হবে:
তারপর:
একইভাবে আমরা y = আউ লিখতে পারি। যদি সমস্ত পয়েন্টগুলি প্যারোবোলায় না থাকে তবে আমাদের যে ওয়াই-আউ কোনও ভেক্টর ইউর থেকে শূন্য থেকে আলাদা এবং আমাদের সমস্যাটি আবার: R3 তে একটি ভেক্টর খুঁজে নিন এর আদর্শ --y-অউ - যতটা সম্ভব ছোট ।
পূর্ববর্তী পদ্ধতিটি পুনরাবৃত্তি করে আমরা পৌঁছে যেতে পারি যে ভেক্টরটি চেয়েছিলেন তা হ'ল:
সমাধান ব্যায়াম
অনুশীলনী 1
(1,4), (-2,5), (3, -1) এবং (4,1) পয়েন্টগুলি সর্বাধিক ফিট করে এমন লাইনটি সন্ধান করুন।
সমাধান
আমাদের করতে হবে:
তারপর:
অতএব, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে পয়েন্টগুলি সর্বোত্তমভাবে ফিট করে যে রেখাটি দেওয়া হয়েছে:
অনুশীলন 2
মনে করুন 200 মিটার উচ্চতা থেকে কোনও বস্তু বাদ পড়েছে। এটি পড়ার সাথে সাথে নিম্নলিখিত পদক্ষেপগুলি নেওয়া হয়েছে:
আমরা জানি যে কথিত অবজেক্টের উচ্চতা, একটি সময়ের t পরে কেটে যাওয়ার পরে প্রদত্ত:
আমরা যদি জি এর মান অর্জন করতে চাই, আমরা একটি প্যারাবোল খুঁজে পেতে পারি যা সারণীতে প্রদত্ত পাঁচটি পয়েন্টের চেয়ে আরও ভাল একটি সান্নিধ্য হয়, এবং এভাবে আমাদের কাছে 2 এর সাথে সংখ্যাগুলি (-1/2) জি এর যুক্তিসঙ্গত সীমাবদ্ধতা হবে পরিমাপ সঠিক হয়।
আমাদের করতে হবে:
এবং পরে:
সুতরাং ডেটা পয়েন্টগুলি নিম্নলিখিত চতুষ্কোণ প্রকাশের দ্বারা উপযুক্ত:
সুতরাং, আপনাকে:
এটি এমন একটি মান যা যুক্তিসঙ্গতভাবে সংশোধন করার কাছাকাছি, যা জি = 9.81 মি / এস 2 । জি এর আরও সঠিক আনুমানিকতা পেতে, আরও সুনির্দিষ্ট পর্যবেক্ষণ থেকে শুরু করা প্রয়োজন।
এটি কিসের জন্যে?
প্রাকৃতিক বা সামাজিক বিজ্ঞানগুলির মধ্যে যে সমস্যাগুলি দেখা দেয়, কিছু গাণিতিক প্রকাশের মাধ্যমে বিভিন্ন চলকগুলির মধ্যে বিদ্যমান সম্পর্কগুলি লিখতে সুবিধাজনক।
উদাহরণস্বরূপ, অর্থনীতিতে আমরা ব্যয় (সি), আয় (আই) এবং লাভ (ইউ) একটি সাধারণ সূত্রের মাধ্যমে সম্পর্কিত করতে পারি:
পদার্থবিজ্ঞানে, আমরা মহাকর্ষ দ্বারা সৃষ্ট ত্বরণ, কোনও বস্তুর পতনের সময় এবং আইনের দ্বারা বস্তুর উচ্চতা সম্পর্কিত:
পূর্বের অভিব্যক্তিতে s ও হ'ল বলা বস্তুর প্রাথমিক উচ্চতা এবং v o এটির প্রাথমিক গতিবেগ।
যাইহোক, এই জাতীয় সূত্রগুলি সন্ধান করা সহজ কাজ নয়; বিভিন্ন উপাত্তের মধ্যে সম্পর্কগুলি খুঁজে পেতে প্রচুর ডেটা নিয়ে কাজ করা এবং বারবার বিভিন্ন পরীক্ষা নিরীক্ষা করা (প্রাপ্ত ফলাফলগুলি ধ্রুবক রয়েছে তা যাচাই করার জন্য) ডিউটিতে থাকা পেশাদারদের উপর নির্ভরশীল।
এটি অর্জনের একটি সাধারণ উপায় হ'ল প্লেনে প্রাপ্ত ডেটাগুলিকে পয়েন্ট হিসাবে উপস্থাপন করা এবং একটি ক্রমাগত ফাংশন সন্ধান করা যা those পয়েন্টগুলি সর্বোত্তমভাবে সন্নিবিষ্ট করে।
প্রদত্ত ডেটাটি "সর্বোত্তমভাবে সংযুক্ত করে" ফাংশনটি সন্ধান করার একটি উপায় হ'ল ন্যূনতম স্কোয়ারের পদ্ধতি দ্বারা।
তদ্ব্যতীত, আমরা যেমন অনুশীলনে দেখেছি, এই পদ্ধতির জন্য ধন্যবাদ আমরা শারীরিক ধ্রুবকগুলির সাথে প্রায় কাছাকাছি সান্নিধ্য পেতে পারি।
তথ্যসূত্র
- চার্লস ডাব্লু কার্টিস লিনিয়ার বীজগণিত। স্প্রিঙ্গের-Velarg
- কই লাই চুং। স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির সাথে প্রাথমিক প্রাথমিক তত্ত্ব। স্প্রিংজার-ভার্লাগ নিউ ইয়র্ক ইনক
- রিচার এল বার্ডেন এবং জে ডগলাস ফায়ারস। সংখ্যা বিশ্লেষণ (7 এড)। থম্পসন লার্নিং
- স্ট্যানলে আই। গ্রসম্যান। লিনিয়ার বীজগণিতের প্রয়োগসমূহ। এমসিগ্রা-হিল / ইন্টারামেরিকানা দে মেক্সিকো
- স্ট্যানলে আই। গ্রসম্যান। রৈখিক বীজগণিত. এমসিগ্রা-হিল / ইন্টারামেরিকানা দে মেক্সিকো