জটিল সংখ্যা: বৈশিষ্ট্য, উদাহরণ, ক্রিয়াকলাপ - গণিত - 2025

জটিল সংখ্যার সংখ্যাসূচক বাস্তব সংখ্যা এবং ঋণাত্মক সংখ্যা জোড়া শিকড় সহ polynomials সব শিকড় আচ্ছাদন সেট আছে। এই শিকড়গুলি প্রকৃত সংখ্যার সেটে বিদ্যমান নয়, তবে জটিল সংখ্যায় এর সমাধান রয়েছে।

একটি জটিল সংখ্যা একটি বাস্তব অংশ এবং "কল্পিত" নামে একটি অংশ নিয়ে গঠিত। প্রকৃত অংশটিকে বলা হয় একটি, উদাহরণস্বরূপ, এবং কল্পিত অংশ আইব, a এবং b আসল সংখ্যা এবং "i" কে কাল্পনিক একক হিসাবে। এই পদ্ধতিতে জটিল সংখ্যা রূপ নেয়:

চিত্র 1.- বাস্তব অংশ এবং কল্পিত অংশের দিক দিয়ে একটি জটিল সংখ্যার দ্বিপদী উপস্থাপনা। সূত্র: পিক্সাবে।

জটিল সংখ্যার উদাহরণ 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i। তবে তাদের সাথে কাজ করার আগে, এই চতুর্ভুজ সমীকরণটি বিবেচনা করে আমি যে কল্পিত এককটি থেকে উত্পন্ন হয়েছিল তা দেখুন:

x ² - 10x + 34 = 0

যার মধ্যে a = 1, b = -10 এবং c = 34।

সমাধান নির্ধারণের জন্য সমাধান সূত্র প্রয়োগ করার সময় আমরা নিম্নলিখিতগুলি খুঁজে পাই:

√-36 এর মান কীভাবে নির্ধারণ করবেন? স্কোয়ারটি একটি নেতিবাচক পরিমাণ উত্পাদন করে এমন কোনও আসল সংখ্যা নেই। তারপরে সিদ্ধান্তে পৌঁছে যে এই সমীকরণটির কোনও আসল সমাধান নেই।

তবে, আমরা এটি লিখতে পারি:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

যদি আমরা একটি নির্দিষ্ট মান x এর সংজ্ঞা দিই যে:

x ² = -1

সুতরাং:

x = ± √-1

এবং উপরের সমীকরণটির সমাধান হবে। অতএব, কাল্পনিক ইউনিট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছিল:

i = √-1

এবং তাই:

√-36 = 6i

প্রাচীনত্বের অনেক গণিতবিদ একই ধরণের সমস্যা সমাধানে কাজ করেছিলেন, বিশেষত রেনেসাঁ গিরোলোমো কার্ডানো (1501-1576), নিকোলো ফন্টানা (1501-1557) এবং রাফায়েল বোম্বেলি (1526-1572)।

বছরগুলি পরে রেনা ডেসকার্টেস (1596-1650) উদাহরণগুলিতে পরিমাণগুলি "কাল্পনিক" বলে ডাকে।-36 এর মতো। এই কারণে √-1 কল্পিত ইউনিট হিসাবে পরিচিত।

জটিল সংখ্যার বৈশিষ্ট্য

জটিল সংখ্যার সেটটিকে সি হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এবং এতে প্রকৃত সংখ্যা আর এবং কাল্পনিক সংখ্যাগুলি অন্তর্ভুক্ত থাকে। সংখ্যা সেটটি ভেন ডায়াগ্রামে প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যেমনটি নিম্নলিখিত চিত্রটিতে দেখানো হয়েছে:

চিত্র 2. সংখ্যা সেট ভেন চিত্র। সূত্র: এফ.জাপাটা।

সমস্ত জটিল সংখ্যা একটি বাস্তব অংশ এবং একটি কল্পিত অংশ নিয়ে গঠিত।

যখন জটিল সংখ্যার কাল্পনিক অংশ 0 হয়, এটি খাঁটি আসল সংখ্যা।

-যদি জটিল সংখ্যার আসল অংশ 0 হয় তবে সংখ্যাটি শুদ্ধ কাল্পনিক।

- দুটি জটিল সংখ্যা যদি তাদের নিজ নিজ অংশ এবং কল্পিত অংশ একই হয় তবে সমান।

-জটিল সংখ্যার সাথে, যোগ, বিয়োগ, গুণ, পণ্য এবং বর্ধনের জ্ঞাত ক্রিয়াকলাপ পরিচালিত হয়, যার ফলে আরও একটি জটিল সংখ্যা হয়।

জটিল সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব

জটিল সংখ্যা বিভিন্ন উপায়ে উপস্থাপন করা যেতে পারে। এখানে মূল বিষয়গুলি:

- দ্বিপদী ফর্ম

এটি শুরুতে প্রদত্ত রূপটি, যেখানে z হল জটিল সংখ্যা, a আসল অংশ, খ কাল্পনিক অংশ এবং আমি কাল্পনিক একক:

বা এছাড়াও:

জটিল সংখ্যাটি লেখার একটি উপায় এই চিত্রটিতে প্রদর্শিত জটিল বিমানের মাধ্যমে through কাল্পনিক অক্ষ ইমটি উল্লম্ব, যখন আসল অক্ষটি অনুভূমিক এবং রে হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।

জটিল নম্বর z এই বিমানটিতে স্থানাঙ্কের বিন্দু (x, y) বা (a, b) হিসাবে উপস্থাপিত হয়, কারণ এটি আসল বিমানের পয়েন্টগুলির সাথে সম্পন্ন হয়।

মূল থেকে বিন্দু z এর দূরত্ব হ'ল জটিল সংখ্যার মডুলাস, যাকে আর হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, আর while হল এমন কোণ যা r আসল অক্ষ দিয়ে তৈরি করে।

চিত্র 3. জটিল বিমানে একটি জটিল সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

এই প্রতিনিধিত্বটি সত্যিকারের বিমানের ভেক্টরগুলির সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। R এর মান জটিল সংখ্যার মডিউলাসের সাথে মিলে যায়।

- পোলার আকার

মেরু ফর্মটি r এবং φ এর মান দিয়ে জটিল সংখ্যাটি প্রকাশ করে φ আমরা যদি চিত্রটি দেখি, r এর মান একটি ডান ত্রিভুজটির অনুমানের সাথে মিলে যায়। পাগুলি a এবং b, বা x এবং y এর মূল্যবান।

দ্বি-দ্বি বা দ্বি-দ্বি রূপ থেকে আমরা মেরু আকারে যেতে পারি:

কোণ φ হ'ল অনুভূমিক অক্ষ বা কাল্পনিক অক্ষ দ্বারা সেগমেন্ট আর দ্বারা তৈরি একটি formed এটি জটিল সংখ্যার যুক্তি হিসাবে পরিচিত। এভাবে:

যুক্তিটির অসীম মান রয়েছে, তা বিবেচনায় রেখে প্রতিবার কোনও মোড় ঘুরিয়ে দেওয়া হয়, যার মূল্য 2π রেডিয়ান, আবার একই অবস্থানটি দখল করে। এই সাধারণ উপায়ে z এর যুক্তিটি চিহ্নিত আর্গ (z) এর মত প্রকাশ করা হয়:

যেখানে কে একটি পূর্ণসংখ্যা এবং বাঁক ঘুরিয়ে দেওয়ার সংখ্যাটি নির্দেশ করতে ব্যবহৃত হয়: 2, 3, 4…। চিহ্নটি ঘোরার দিক নির্দেশ করে, যদি এটি ঘড়ির কাঁটার দিকে বা ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে থাকে।

চিত্র 4. জটিল বিমানে একটি জটিল সংখ্যার মেরু উপস্থাপনা। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

এবং যদি আমরা মেরু ফর্ম থেকে দ্বিপদী ফর্ম যেতে চান, আমরা ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ব্যবহার। পূর্ববর্তী চিত্র থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি:

x = r cos

y = r sin φ

এইভাবে z = r (কারণ sin + আমি পাপ φ)

যা সংক্ষেপে এরকম:

z = r সিআইএস φ

জটিল সংখ্যার উদাহরণ

নিম্নলিখিত জটিল সংখ্যা দ্বিপদী আকারে দেওয়া হয়:

ক) 3 + i

খ) 4

d) -6i

এবং এগুলি একটি অর্ডারযুক্ত জোড় আকারে:

ক) (-5, -3)

খ) (0, 9)

গ) (.0.০)

অবশেষে, এই গোষ্ঠীটি মেরু বা ত্রিকোণমিতিক আকারে দেওয়া হয়:

ক) c2 সিআইস 45º

খ) c3 সিআইস 30º

গ) 2 সিস 315º

কি জন্য তারা?

জটিল সংখ্যার উপকারিতা শুরুতে প্রদর্শিত চতুর্ভুজ সমীকরণকে সমাধান করার বাইরে চলে যায়, যেহেতু প্রকৌশল ও পদার্থবিজ্ঞানের ক্ষেত্রে এগুলি প্রয়োজনীয়, বিশেষত:

বৈদ্যুতিন চৌম্বক তরঙ্গ অধ্যয়ন

- বিকল্প কারেন্ট এবং ভোল্টেজ বিশ্লেষণ

সমস্ত ধরণের সংকেত মডেলিং

- আপেক্ষিকতার থিওরি, যেখানে সময়কে একটি কাল্পনিক মাত্রা হিসাবে ধরে নেওয়া হয়।

জটিল সংখ্যা অপারেশন

জটিল সংখ্যার সাহায্যে আমরা বাস্তবগুলি দ্বারা সম্পন্ন সমস্ত ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারি। সংখ্যাগুলি দ্বি দ্বি আকারে আসে যেমন সংযোজন এবং বিয়োগফলের ক্ষেত্রে কিছু করা সহজ। বিপরীতে, মেরু ফর্মের সাথে চালিত হলে গুণ এবং বিভাগগুলি সহজ।

আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখুন:

- উদাহরণ 1

Z ₁ = 2 + 5i এবং z ₂ = -3 -8i যোগ করুন

সমাধান

বাস্তব অংশগুলি কল্পিত অংশগুলি থেকে পৃথকভাবে যুক্ত করা হয়েছে:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- উদাহরণ 2

Z ₁ = 4 সিস 45º এবং z ₂ = 5 সিস 120º গুণ করুন º

সমাধান

এটি দেখানো যেতে পারে যে মেরু বা ত্রিকোণমিতিক আকারে দুটি জটিল সংখ্যার পণ্য দেওয়া হয়েছে:

z ₁ । z ₂ = r ₁.r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂)

এই অনুযায়ী:

z ₁ । z ₂ = (4 × 5) সিস (45 + 120) = 20 সিআইস 165º º

আবেদন

জটিল সংখ্যার একটি সহজ প্রয়োগ হ'ল নিবন্ধের শুরুতে প্রদর্শিত বহুবর্ষ সমীকরণের সমস্ত শেকড় খুঁজে পাওয়া।

X ² - 10x + 34 = 0 সমীকরণের ক্ষেত্রে, আমরা প্রাপ্ত সমাধানের সূত্রটি প্রয়োগ করে:

অতএব সমাধানগুলি হ'ল:

x ₁ = 5 + 3i

এক্স ₂ = 5 - 3 আই

তথ্যসূত্র

1. আর্ল, আর কমপ্লেক্স নম্বর। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: maths.ox.ac.uk থেকে।
2. ফিগার, জে 2000. গণিত 1 ম। বিবিধ। সিও-বিও সংস্করণ।
3. হফম্যান, জে। 2005. গণিতের বিষয় নির্বাচন। মনফোর্ট পাবলিকেশনস।
4. জিমনেজ, আর। 2008. বীজগণিত। প্রেন্টিস হল.
5. উইকিপিডিয়া। জটিল সংখ্যা. পুনরুদ্ধার: en.wikedia.org থেকে