সহযোগী সম্পত্তি: সংযোজন, গুণ, উদাহরণ, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2026

মিশুক সম্পত্তি উপরন্তু বিভিন্ন গাণিতিক সেটে উপরন্তু অপারেশন মিশুক চরিত্র প্রতিনিধিত্ব করে। এতে, বলা সেটগুলির তিনটি (বা আরও বেশি) উপাদান সম্পর্কিত, একে বলা হয় এ, বি এবং সি, যেমন এটি সর্বদা সত্য:

a + (b + c) = (a + b) + গ

এইভাবে এটি গ্যারান্টিযুক্ত যে, অপারেশন চালানোর জন্য গ্রুপিংয়ের পদ্ধতি নির্বিশেষে, ফলাফলটি একই।

চিত্র 1. আমরা গাণিতিক এবং বীজগণিত ক্রিয়াকলাপ করার সময় সংযোজনের সংস্থানমূলক সম্পত্তিটি বহুবার ব্যবহার করি। (অঙ্কন: ফ্রিপিক রচনা: এফ। জাপাটা)

তবে এটি লক্ষ করা উচিত যে এসোসিয়েটিভ সম্পত্তি পরিবর্তনীয় সম্পত্তির সমার্থক নয়। এটি হ'ল আমরা জানি যে সংযোজনগুলির ক্রম যোগফলকে পরিবর্তন করে না বা কারণগুলির ক্রমটি পণ্যটিকে পরিবর্তন করে না। সুতরাং যোগফলের জন্য এটি এইভাবে লেখা যেতে পারে: a + b = b + a।

তবে সহযোগী সম্পত্তিতে এটি আলাদা, যেহেতু উপাদানগুলির যোগ করার ক্রম বজায় থাকে এবং প্রথমে কার্যকর করা অপারেশনটি কী পরিবর্তন করে। যার অর্থ হ'ল প্রথম (বি + সি) যুক্ত করা এবং এই ফলাফলটিতে একটি যুক্ত করা ফলাফল যুক্ত করে সি যুক্ত করে শুরু করার চেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নয়।

সংযোজনের মতো অনেকগুলি গুরুত্বপূর্ণ ক্রিয়াকলাপটি সাহচর্যমূলক তবে সমস্তটি নয়। উদাহরণস্বরূপ, আসল সংখ্যার বিয়োগের ক্ষেত্রে এটি ঘটে:

a - (b - c) ≠ (a - b) - গ

যদি a = 2, b = 3, c = 1 হয় তবে:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

সংখ্যার সহযোগী সম্পত্তি

সংযোজনের জন্য যেমন করা হয়েছিল, গুণনের সাহসী সম্পত্তি বলে যে:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

আসল সংখ্যা সেট করার ক্ষেত্রে এটি যাচাই করা যায় তা যাচাই করা সহজ। উদাহরণস্বরূপ, a = 2, b = 3, c = 1 মানগুলি ব্যবহার করে আমাদের কাছে:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

আসল সংখ্যাগুলি সংযোজন এবং গুণ উভয়রই সংযুক্তি সম্পন্ন করে। অন্যদিকে, অন্য সেটগুলিতে, যেমন ভেক্টরগুলির যোগফলটি সহযোগী হয়, তবে ক্রস পণ্য বা ভেক্টর পণ্য হয় না।

গুণফলের সহযোগী সম্পত্তি প্রয়োগ

ক্রিয়াকলাপের একটি সুবিধা যাতে সংঘবদ্ধ সম্পত্তিটি পূরণ হয় তা হ'ল সবচেয়ে সুবিধাজনক উপায়ে গোষ্ঠী করতে সক্ষম হোন। এটি রেজোলিউশনকে অনেক সহজ করে তোলে।

উদাহরণস্বরূপ, ধরুন যে একটি ছোট লাইব্রেরিতে 5 টি তাক রয়েছে যার মধ্যে 5 টি তাক রয়েছে। প্রতিটি বালুচরে 8 টি বই রয়েছে। সব মিলিয়ে কয়টি বই আছে?

আমরা এইভাবে অপারেশন চালিয়ে যেতে পারি: মোট বই = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 বই।

বা এর মতো: 3 এক্স (5 এক্স 8) = 3 এক্স 40 = 120 বই।

চিত্র ২. গুণনের সাহসী সম্পত্তির একটি প্রয়োগ হ'ল প্রতিটি তাকের বইয়ের সংখ্যা গণনা করা। ছবিটি এফ.জাপাটা তৈরি করেছেন।

উদাহরণ

প্রাকৃতিক, পূর্ণসংখ্যার, মূলদ, বাস্তব এবং জটিল সংখ্যার সেটগুলিতে সংযোজন এবং গুণনের সংশ্লেষপূর্ণ সম্পত্তি সম্পন্ন হয়।

চিত্র ৩. আসল সংখ্যার জন্য, সংযোজনের মিশ্রিত সম্পত্তি সম্পন্ন হয়। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

- বহুবচনগুলির জন্য তারা এই ক্রিয়াকলাপগুলিতে প্রয়োগ করে।

-বিয়োগ, বিভাজন এবং ক্ষতিকারক ক্রিয়াকলাপগুলির ক্ষেত্রে, সহযোগী সম্পত্তি প্রকৃত সংখ্যা বা বহুবর্ষের জন্য ধারণ করে না।

- ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে, সংযুক্তি সম্পত্তি সংযোজন এবং গুণনের জন্য পূরণ করা হয়, যদিও পরবর্তী ক্ষেত্রে, চলাচল সম্পূর্ণ হয় না। এর অর্থ হ'ল, এ, বি এবং সি ম্যাট্রিকগুলি দেওয়া, এটি সত্য যে:

(A x B) x C = A x (B x C)

তবে… এ x বি ≠ বি এক্স এ

ভেক্টরগুলিতে সম্মিলিত সম্পত্তি

ভেক্টরগুলি বাস্তব সংখ্যা বা জটিল সংখ্যার চেয়ে আলাদা সেট গঠন করে। ভেক্টরগুলির সেটগুলির জন্য সংজ্ঞায়িত অপারেশনগুলি কিছুটা পৃথক: এখানে সংযোজন, বিয়োগফল এবং তিন ধরণের পণ্য রয়েছে।

ভেক্টরগুলির যোগফল সংখ্যার মতো, বহুভিত্তিক এবং ম্যাট্রিক্সগুলির মতো মিশ্র সম্পত্তিটি পূর্ণ করে। স্কেলারের পণ্যগুলির হিসাবে, ভেক্টর এবং ক্রস দ্বারা স্কেলার যা ভেক্টরগুলির মধ্যে তৈরি হয়, পরবর্তীগুলি এটি পূরণ করে না, তবে স্কেলার পণ্যটি যা ভেক্টরগুলির মধ্যে অন্য ধরণের অপারেশন, তা পূরণ করে, নিম্নলিখিত বিষয়গুলি বিবেচনা করে:

- একটি স্কেলারের পণ্য এবং ভেক্টরের ফলস ভেক্টর।

-আর যখন ভাস্করভাবে দুটি ভেক্টরকে গুণিত করে, তখন একটি স্কেলারের ফলাফল।

অতএব, ভেক্টরগুলিকে ভি, ইউ এবং ডাব্লু এবং অতিরিক্তভাবে একটি স্কেলার given দেওয়া, এটি লেখা সম্ভব:

- ভেক্টরের সমষ্টি: v + (u + w) = (v + u) + ডাব্লু

-স্ক্যালার পণ্য: λ (v • u) = (λ v) • u

দ্বিতীয়টি হ'ল v • ইউ একটি স্কেলার এবং λ v একটি ভেক্টর এই কারণে ধন্যবাদ।

যাহোক:

v × (u × w) ≠ (v × u) × w

পদগুলির গোষ্ঠীভুক্ত করে বহুবচনগুলির ফ্যাক্টরাইজেশন

এই অ্যাপ্লিকেশনটি খুব আকর্ষণীয়, কারণ যেমনটি আগেই বলা হয়েছিল, সহযোগী সম্পত্তি কিছু সমস্যা সমাধানে সহায়তা করে। মনোমালিক্যের যোগফল সম্মিলিত এবং যখন স্পষ্টত সাধারণ ফ্যাক্টর প্রথম নজরে উপস্থিত না হয় তখন এটি ফ্যাক্টরিংয়ের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আপনাকে ফ্যাক্টর করতে বলা হয়েছে: x ³ + 2 x ² + 3 x +6। এই বহুপদী কোন সাধারণ ফ্যাক্টর নেই, তবে আসুন দেখে নেওয়া যাক যদি এটির মতো গোষ্ঠী করা হয় তবে কী ঘটে:

প্রথম বন্ধনীতে ² অক্ষের একটি সাধারণ কারণ রয়েছে:

দ্বিতীয়টিতে সাধারণ গুণকটি 3:

অনুশীলন

- অনুশীলনী 1

একটি বিদ্যালয়ের ভবনে 4 তলা রয়েছে এবং প্রত্যেকের 12 টি শ্রেণিকক্ষ 30 টি ডেস্কের ভিতরে রয়েছে। বিদ্যালয়ের মোট কয়টি ডেস্ক রয়েছে?

সমাধান

গুণটির সাহসী সম্পত্তি প্রয়োগ করে এই সমস্যার সমাধান করা হয়, আসুন দেখুন:

ডেস্কের মোট সংখ্যা = 4 তলা x 12 শ্রেণিকক্ষ / তল x 30 ডেস্ক / শ্রেণিকক্ষ = (4 x 12) x 30 ডেস্ক = 48 x 30 = 1440 ডেস্ক।

বা আপনি যদি পছন্দ করেন: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 ডেস্ক

- অনুশীলন 2

বহুবচন দেওয়া:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

বি (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

সি (এক্স) = -8x ² + 3x -7

A (x) + B (x) + C (x) সন্ধানের জন্য সংযোজনযুক্ত সম্পত্তি প্রয়োগ করুন।

সমাধান

আপনি প্রথম দুটিকে গ্রুপ করতে পারেন এবং ফলাফলটিতে তৃতীয়টি যুক্ত করতে পারেন:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

তাত্ক্ষণিকভাবে বহুপদী সি (এক্স) যুক্ত করা হয়:

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

পাঠক যাচাই করতে পারবেন যে ফলাফলটি অ (অ) (x) + বিকল্প দ্বারা সমাধান করা হলে ফলাফলটি অভিন্ন।

তথ্যসূত্র

1. জিমনেজ, আর। 2008. বীজগণিত। প্রেন্টিস হল.
2. ম্যাথ হ'ল মজাদার। পরিবর্তনশীল, সহযোগী এবং বিতরণ আইন। উদ্ধার: mathisfun.com।
3. গণিতের গুদাম সহযোগী সম্পত্তি সংজ্ঞা। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: mathwarehouse.com থেকে।
4. Sciencing। সংযোজন এবং গুণনের (উদাহরণ সহ) সংযুক্তি ও বৈবাহিক সম্পত্তি। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: sciencing.com।
5. উইকিপিডিয়া। সহযোগী সম্পত্তি। পুনরুদ্ধার: en.wikedia.org থেকে।