সিম্পসনের নিয়ম: সূত্র, প্রমাণ, উদাহরণ, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

সিম্পসন এর নিয়ম গণক, প্রায়, নির্দিষ্ট সমাকলনের জন্য একটি পদ্ধতি। এটি একীকরণের ব্যবধানকে সমান সংখ্যক ব্যবধানে সাব-ইন্টারভালগুলিতে বিভক্ত করার উপর ভিত্তি করে।

পরপর দুটি উপ-অন্তরগুলির চূড়ান্ত মানগুলি তিনটি পয়েন্টকে সংজ্ঞায়িত করে, যার দ্বারা একটি প্যারাবোলা, যার সমীকরণটি দ্বিতীয় ডিগ্রি বহুবর্ষীয়, ফিট করে।

চিত্র ১. সিম্পসনের পদ্ধতিতে, সংহতকরণের বিরতি সমান প্রস্থের সমান সংখ্যক বিভাজনে বিভক্ত হয়। ফাংশনটি প্রতি 2 উপ-অন্তরগুলিতে একটি প্যারোবোলার দ্বারা প্রায় হয় এবং ইন্টিগ্রালটি প্যারোবোলাসের অধীনে ক্ষেত্রফলের যোগফল দ্বারা প্রায় হয়। সূত্র: upv.es.

তারপরে ক্রমাগত দুটি বিরতিতে ফাংশনের বক্ররেখার ক্ষেত্রটি অন্তরঙ্গীয় বহুবর্ষের ক্ষেত্রফল দ্বারা সন্নিবিষ্ট হয়। সমস্ত ক্রমাগত সাব-ইন্টারভালগুলির প্যারোবোলার অধীনে অঞ্চলটিতে অবদান যুক্ত করে আমাদের কাছে ইন্টিগ্রালের আনুমানিক মান রয়েছে।

অন্যদিকে, যেহেতু একটি প্যারোবোলার ইন্টিগ্রালটি বীজগণিতিকভাবে সঠিকভাবে গণনা করা যায়, তারপরে সুনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রালের আনুমানিক মানের জন্য বিশ্লেষণাত্মক সূত্র পাওয়া সম্ভব। এটি সিম্পসন সূত্র হিসাবে পরিচিত।

এইভাবে প্রাপ্ত আনুমানিক ফলাফলের ত্রুটি হ'ল হ'ল n মহকুমার সংখ্যা বেশি হওয়ায় (যেখানে এন একটি সমান সংখ্যা)।

নীচে একটি অভিব্যক্তি দেওয়া হবে যা অবিচ্ছেদ্য I এর সান্নিধ্যের ত্রুটির উপরের সীমাটি অনুমান করার অনুমতি দেয়, যখন মোট ব্যবধানের n নিয়মিত সাবিনটারভের একটি পার্টিশন করা হয়ে থাকে।

সূত্র

ইন্টিগ্রেশন ব্যবধানটি n এমনকি একটি পূর্ণসংখ্যার সাথে এন সাবিনটার্ভালগুলিতে বিভক্ত হয়। প্রতিটি মহকুমার প্রস্থ হবে:

h = (খ - ক) / এন

এইভাবে, পার্টিশনটি ব্যবধানের মধ্যবর্তী সময়ে তৈরি করা হয়:

{এক্স0, এক্স 1, এক্স 2,…, এক্সএন -1, এক্সএন}

যেখানে এক্স 0 = এ, এক্স 1 = এক্স0 + এইচ, এক্স 2 = এক্স 0 + 2 ঘ,…, এক্সএন -1 = এক্স 0 + (এন -1) এইচ, এক্সএন = এক্স 0 + এনএইচ = বি।

যে সূত্রটি ধারাবাহিকের সুনির্দিষ্ট এবং অবিচ্ছিন্নভাবে মসৃণ, কার্যকারিতার নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য আইটিকে আনুমানিকভাবে অনুমতি দেয় তা হ'ল:

প্রদর্শন

সিম্পসন সূত্রটি পাওয়ার জন্য, প্রতিটি উপমন্ত্রে f (X) ফাংশনটি একটি দ্বিতীয় ডিগ্রি বহুবর্ষীয় পি (এক্স) (প্যারাবোলা) দ্বারা সজ্জিত হয় যা তিনটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায়:; এবং.

তারপরে বহুপদী পি (এক্স) এর ইন্টিগ্রাল গণনা করা হয় যাতে এটি সেই বিরতিতে ফ (এক্স) ফাংশনের অবিচ্ছেদ্যের সমান করে।

চিত্র 2. সিম্পসনের সূত্রটি প্রদর্শনের জন্য গ্রাফ। সূত্র: এফ.জাপাটা।

আন্তঃবিবাহ বহুবর্ষের গুণাগুণ

প্যারাবোলা পি (এক্স) এর সমীকরণটির সাধারণ রূপ রয়েছে: পি (এক্স) = এএক্স ² + বিএক্স + সি, যেহেতু প্যারোবোলার লাল (চিত্র দেখুন) তে নির্দেশিত বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে চলেছে, তারপরে সহগের A, B, C রয়েছে নিম্নলিখিত সমীকরণ সিস্টেম থেকে নির্ধারিত হয়:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

সি = এফ (Xi + 1)

এ (এইচ) ² + বি এইচ + সি = চ (Xi + 2)

এটি দেখা যায় যে গুণফল সি নির্ধারিত হয়। গুণাগুণ A নির্ধারণের জন্য আমরা প্রাপ্ত প্রথম এবং তৃতীয় সমীকরণগুলি যুক্ত করব:

2 এ এইচ ² + 2 সি = চ (Xi) + চ (Xi + 2)।

তারপরে সি এর মান প্রতিস্থাপিত হয় এবং এটিকে ছাড়িয়ে দেওয়া হয়:

এ = / (২ ঘন্টা ^২)

গুণফল বি নির্ধারণের জন্য, তৃতীয় সমীকরণটি প্রথম থেকে বিয়োগ করা হয় এবং খ প্রাপ্তির সমাধান করা হয়:

বি = = 2 এইচ।

সংক্ষেপে, দ্বিতীয় ডিগ্রি বহুপদী p (এক্স) যা Qi, Qi + 1 এবং Qi + 2 বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যায় তার সহগ রয়েছে:

এ = / (২ ঘন্টা ^২)

বি = = 2 এইচ

সি = এফ (Xi + 1)

মধ্যে আনুমানিক অবিচ্ছেদ্য গণনা

ইনটিগ্রেটের আনুমানিক গণনা

ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, একটি পার্টিশন {এক্স0, এক্স 1, এক্স 2,…, এক্সএন -1, এক্সএন} পদক্ষেপটি h = Xi + 1 - Xi = (খ - ক) / এন সহ মোট সংহতকরণের ব্যবধানে তৈরি করা হয়েছে, যেখানে n একটি সমান সংখ্যা।

আনুমানিক ত্রুটি

নোট করুন যে ব্যবধানে মহকুমার সংখ্যার চতুর্থ শক্তির সাথে ত্রুটি হ্রাস পেয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি এন মহকুমা থেকে 2n এ যান তবে ত্রুটিটি একটি ফ্যাক্টর 1/16 দ্বারা হ্রাস পায়।

সিম্পসন সান্নিধ্যের মাধ্যমে প্রাপ্ত ত্রুটির উপরের সীমানাটি একই সূত্র থেকে প্রাপ্ত হতে পারে, ব্যবধানে চতুর্থ ডেরাইভেটিভের সর্বোচ্চ পরম মানের জন্য চতুর্থ ডেরাইভেটিভকে প্রতিস্থাপন করে।

কাজের উদাহরণ

- উদাহরণ 1

F (এক্স) = 1 / (1 + এক্স ²) ফাংশনটি বিবেচনা করুন ।

দুটি উপ-বিভাগ (এন = 2) সহ সিম্পসনের পদ্ধতি ব্যবহার করে বিরতিতে ফ (এক্স) ফাংশনের সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সন্ধান করুন।

সমাধান

আমরা এন = ২ নিই integ সংহতকরণের সীমা a = -1 এবং b = -2, সুতরাং পার্টিশনটি এটির মতো দেখাচ্ছে:

এক্স 0 = -1; এক্স 1 = 0 এবং এক্স 2 = +1।

অতএব, সিম্পসন সূত্র নিম্নলিখিত ফর্ম গ্রহণ করে:

চিত্র ৩. সফটওয়্যার ব্যবহার করে সিম্পসনের নিয়ম অনুসারে সংখ্যাগত সংহতকরণের উদাহরণ। সূত্র: এফ.জাপাটা।

তথ্যসূত্র

1. ক্যাসেলিরো, জেএম 2002. বিস্তৃত ক্যালকুলাস (সচিত্র সংস্করণ)। মাদ্রিদ: ESIC সম্পাদকীয়।
2. ইউপিভি। সিম্পসন এর পদ্ধতি। ভ্যালেন্সিয়ার পলিটেকনিক বিশ্ববিদ্যালয়। পুনরুদ্ধার: ইউটিউব ডটকম থেকে
3. পুরসেল, E. 2007. ক্যালকুলাস নবম সংস্করণ। প্রেন্টিস হল.
4. উইকিপিডিয়া। সিম্পসন এর নিয়ম। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া
5. উইকিপিডিয়া। বহুবর্ষীয় অন্তরঙ্গকরণ লাগান। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া