বায়েসের উপপাদ্য একটি পদ্ধতি যা আমাদের দেয় করার শুধুমাত্র উ এর সম্ভাব্যতা বিতরণের সাল থেকে একটি র্যান্ডম ঘটনা একটি প্রদত্ত বি এর শর্তাধীন সম্ভাব্যতা প্রকাশ ঘটনা A এবং B এর সম্ভাব্যতা বিতরণের পরিপ্রেক্ষিতে
এই উপপাদ্যটি খুব কার্যকর, যেহেতু এটির জন্য ধন্যবাদ আমরা একটি ঘটনার A ঘটে যা জেনে বি ঘটেছে এমন সম্ভাবনাটি সম্পর্কিত করতে পারি, বিপরীতটি ঘটে এমন সম্ভাব্যতার সাথে, অর্থাৎ বি প্রদত্ত হয় A এর ফলে।
বয়েসের উপপাদ্যটি আঠারো শতকের ইংরেজ ধর্মতত্ত্ববিদ রেভারেন্ড থমাস বয়েসের রৌপ্য প্রস্তাব ছিল, যিনি গণিতবিদও ছিলেন। তিনি ধর্মতত্ত্বের বেশ কয়েকটি রচনার লেখক ছিলেন, তবে বর্তমানে তিনি কয়েকটি গাণিতিক গ্রন্থের জন্য পরিচিত, যার মধ্যে পূর্বোক্ত বায়েস থিওরেম মূল ফলাফল হিসাবে দাঁড়িয়েছে।
বায়েস 17৩৩ সালে প্রকাশিত "সম্ভাবনার তত্ত্বের একটি সমস্যা সমাধানের দিকে একটি প্রবন্ধ" শিরোনামে একটি গবেষণাপত্রে এই উপপাদ্যটির সাথে মোকাবিলা করেছিলেন এবং এর উপর প্রচুর সংখ্যার বিকাশ ঘটেছে। জ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে অ্যাপ্লিকেশন সহ অধ্যয়ন করে।
ব্যাখ্যা
প্রথমত, এই উপপাদ্যটির আরও ভাল বোঝার জন্য, সম্ভাবনা তত্ত্বের কিছু প্রাথমিক ধারণা প্রয়োজনীয়, বিশেষত শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার জন্য গুণ গুণ, যা বলেছে যে
একটি নমুনা স্পেস এস এর ই এবং একটি স্বেচ্ছাসেবী ইভেন্টগুলির জন্য S.
আর পার্টিশন সংজ্ঞা, যা আমাদের বলে যে আমরা একটি আছে যদি 1, একটি 2,…, a এন একটি নমুনা স্থান এস ঘটনা, এই, এস একটি পার্টিশন গঠন করবে যদি একজন আমি পারস্পরিক একচেটিয়া এবং তাদের ইউনিয়ন এস হল
এটি দেওয়া, বি আরও একটি ইভেন্ট হতে দিন। সুতরাং আমরা বি হিসাবে দেখতে পারেন
কোথায় একজন আমি বি সঙ্গে অন্তর্চ্ছেদ পারস্পরিক একচেটিয়া ঘটনা।
এবং পরিণামে,
তারপরে, গুণটির উপপাদ্য প্রয়োগ করা
অন্যদিকে, এআই দেওয়া বিয়ের শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়
যথাযথভাবে প্রতিস্থাপন করা আমাদের যে কোনও আই
বয়েসের উপপাদ্যের প্রয়োগ
এই ফলাফলের জন্য ধন্যবাদ, গবেষণা গ্রুপ এবং বিভিন্ন কর্পোরেশন জ্ঞানের উপর ভিত্তি করে এমন সিস্টেমগুলি উন্নত করতে পরিচালিত করেছে।
উদাহরণস্বরূপ, রোগগুলির অধ্যয়নের ক্ষেত্রে, বেয়েসের উপপাদ্য একটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যযুক্ত লোকের একটি গ্রুপে একটি রোগের সম্ভাবনা সনাক্ত করতে সহায়তা করতে পারে, রোগের বিশ্বব্যাপী হার এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলির বৈশিষ্ট্যগুলির উপাত্ত হিসাবে গ্রহণ করে উভয় সুস্থ এবং অসুস্থ মানুষ।
অন্যদিকে, উচ্চ প্রযুক্তির বিশ্বে, এটি বৃহত্তর সংস্থাগুলিকে প্রভাবিত করেছে যেগুলি বিকাশ করেছে, এই ফলাফলটির জন্য ধন্যবাদ, "জ্ঞান-ভিত্তিক" সফ্টওয়্যার।
প্রতিদিনের উদাহরণ হিসাবে আমাদের কাছে মাইক্রোসফ্ট অফিস সহকারী রয়েছে। বয়েসের উপপাদ্যটি সফ্টওয়্যারটিকে ব্যবহারকারী যে সমস্যাগুলি উপস্থাপন করে তা মূল্যায়ন করতে এবং তাকে কী পরামর্শ দিতে হবে তা নির্ধারণ করতে এবং ব্যবহারকারীর অভ্যাস অনুসারে আরও ভাল পরিষেবা সরবরাহ করতে সক্ষম হতে সহায়তা করে।
উল্লেখযোগ্যভাবে, এই সূত্রটি সাম্প্রতিক সময়ের অবধি অবহেলা করা হয়েছিল, এটি মূলত কারণ যখন 200 বছর আগে এই ফলাফলটি বিকশিত হয়েছিল তখন তাদের ব্যবহারিক ব্যবহার খুব কম ছিল। যাইহোক, আমাদের সময়ে, দুর্দান্ত প্রযুক্তিগত অগ্রগতির জন্য ধন্যবাদ, বিজ্ঞানীরা এই ফলাফলটি বাস্তবে প্রয়োগ করার উপায় খুঁজে পেয়েছেন।
সমাধান ব্যায়াম
অনুশীলনী 1
একটি সেল ফোন সংস্থার দুটি এবং এ, বি দুটি মেশিন রয়েছে উত্পাদিত সেলফোনগুলির 54% মেশিন এ মেশিন দ্বারা তৈরি করা হয় এবং বাকিগুলি মেশিন বি দ্বারা তৈরি হয় সমস্ত উত্পাদিত সেল ফোন ভাল অবস্থায় থাকে না।
এ দ্বারা তৈরি ত্রুটিযুক্ত সেল ফোনের অনুপাত 0.2 এবং বি দ্বারা 0.5 হয় 0.5 সেই কারখানার একটি সেল ফোন ত্রুটিযুক্ত হওয়ার সম্ভাবনা কী? কোনও সেল ফোনটি ত্রুটিযুক্ত জেনেও কী সম্ভাবনা রয়েছে, এটি মেশিন এ থেকে আসে?
সমাধান
এখানে, আপনার একটি পরীক্ষা রয়েছে যা দুটি অংশে করা হয়; প্রথম অংশে ঘটনাগুলি ঘটে:
উ: মেশিন এ দ্বারা তৈরি সেল
বি: মেশিন বি দ্বারা নির্মিত সেল বি।
যেহেতু মেশিন এ সেল ফোনগুলির 54% উত্পাদন করে এবং বাকিগুলি মেশিন বি দ্বারা উত্পাদিত হয়, এটি মেশিন বি 46% সেল ফোন উত্পাদন করে। এই ইভেন্টগুলির সম্ভাব্যতা দেওয়া হয়েছে, যথা:
পি (এ) = 0.54।
পি (বি) = 0.46
পরীক্ষার দ্বিতীয় অংশের ঘটনাগুলি হ'ল:
ডি: ত্রুটিযুক্ত সেল ফোন।
ই: ত্রুটিযুক্ত সেল ফোন।
বিবৃতিতে বলা হয়েছে, এই ইভেন্টগুলির সম্ভাব্যতা প্রথম অংশে প্রাপ্ত ফলাফলের উপর নির্ভর করে:
পি (ডিএ) = 0.2।
পি (ডিবি) = 0.5
এই মানগুলি ব্যবহার করে, এই ইভেন্টগুলির পরিপূরকগুলির সম্ভাবনাগুলিও নির্ধারণ করা যেতে পারে, এটি হল:
পি (ইএ) = 1 - পি (ডিএ)
= 1 - 0.2
= 0.8
এবং
পি (ইবি) = 1 - পি (ডিবি)
= 1 - 0.5
= 0.5।
এখন ইভেন্ট ডি নিম্নলিখিত হিসাবে লেখা যেতে পারে:
শর্তাধীন সম্ভাব্যতার ফলাফলগুলির জন্য গুণক উপপাদ্যটি ব্যবহার করা:
তারপরে প্রথম প্রশ্নের উত্তর দেওয়া হয়।
এখন আমাদের কেবল পি (AD) গণনা করা দরকার, যার জন্য বয়েস উপপাদ্য প্রয়োগ করা হয়েছে:
বয়েসের উপপাদ্যকে ধন্যবাদ, এটি বলা যেতে পারে যে সেল ফোনটি ত্রুটিযুক্ত তা জেনেও সেল ফোনটি মেশিন এ দ্বারা তৈরি করা হয়েছিল 0.3
অনুশীলন 2
তিনটি বাক্সে কালো এবং সাদা বল রয়েছে। তাদের প্রত্যেকটির রচনাটি নিম্নরূপ: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}}
বাক্সগুলির মধ্যে একটি এলোমেলোভাবে বেছে নেওয়া হয় এবং একটি বল এলোমেলোভাবে আঁকা যা সাদা হয়ে যায়। সম্ভবত বাক্সটি কী বেছে নেওয়া হয়েছে?
সমাধান
U1, U2 এবং U3 ব্যবহার করে, আমরা নির্বাচিত বাক্সটিকেও উপস্থাপন করব।
এই ইভেন্টগুলি এস এর একটি বিভাজন গঠন করে এবং এটি যাচাই করা হয় যে পি (ইউ 1) = পি (ইউ 2) = পি (ইউ 3) = 1/3 বাক্সের পছন্দটি এলোমেলো।
যদি বি = {টানা বলটি সাদা হয়}, আমাদের কাছে পি (বি-ইউ 1) = 3/4, পি (বি-ইউ 2) = 2/4, পি (বি-ইউ 3) = 1/4 থাকবে।
আমরা যেটি পেতে চাই তা হ'ল বলটি সাদা ছিল, এই কথাটি পি (ইউআই-বি) জেনে বাক্সটি বাক্সটি থেকে বের করে আনা হয়েছিল এবং এই তিনটি মানগুলির মধ্যে কোনটি জানা ছিল তার মধ্যে কোনটি সর্বোচ্চ? বাক্স সম্ভবত কিউ বল নিষ্কাশন হয়েছে।
বাক্সগুলির প্রথমটিতে বয়েসের উপপাদ্য প্রয়োগ করা:
এবং অন্য দু'জনের জন্য:
পি (ইউ 2-বি) = 2/6 এবং পি (ইউ 3-বি) = 1/6।
তারপরে, বাক্সগুলির মধ্যে প্রথমটি হ'ল কিউ বল উত্তোলনের জন্য নির্বাচিত হওয়ার সর্বোচ্চ সম্ভাবনা।
তথ্যসূত্র
- কই লাই চুং। স্টোকাস্টিক প্রক্রিয়াগুলির সাথে প্রাথমিক প্রাথমিক তত্ত্বের তত্ত্ব। স্প্রিংজার-ভার্লাগ নিউ ইয়র্ক ইনক
- কেনেথ.এইচ। রোজেন। বিচ্ছিন্ন গণিত এবং এর প্রয়োগসমূহ। সামগ্রা-হিল / ইন্টারামেরিকানা দে এসপাÑা।
- পল এল মায়ার সম্ভাবনা এবং পরিসংখ্যান অ্যাপ্লিকেশন। এসএ আলহাম্ব্রা ম্যাক্সিকানা।
- সিমুর লিপসুটজ পিএইচডি 2000 বিচ্ছিন্ন গণিতের সমাধান সমস্যা। ম্যাকগ্রা-হিল
- সিমুর লিপসুটজ পিএইচডি তত্ত্ব এবং সম্ভাবনার সমস্যা। ম্যাকগ্রা-হিল