অর্থনরমাল ভিত্তি: বৈশিষ্ট্য, উদাহরণ এবং অনুশীলন - শারীরিক - 2025

একটি অরথনোরমাল ভিত্তি একে অপরের লম্বিত ভেক্টরগুলির সাথে গঠিত হয় এবং যার মডুলাসটিও 1 (ইউনিট ভেক্টর)। আমাদের মনে রাখবেন যে একটি ভেক্টর স্পেস ভি এর বেস বেসকে স্পেসটি উত্পন্ন করতে সক্ষম রৈখিক স্বাধীন ভেক্টরগুলির একটি সেট হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

পরিবর্তে, একটি ভেক্টর স্পেস একটি বিমূর্ত গাণিতিক সত্তা যার উপাদানগুলির মধ্যে ভেক্টর রয়েছে, সাধারণত গতি, বল এবং স্থানচ্যুতার মতো শারীরিক পরিমাণের সাথে বা ম্যাট্রিক্স, বহুভুজ এবং ফাংশনগুলির সাথে যুক্ত।

চিত্র 1. বিমানে আর্থনোরমাল বেস। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। Quartl।

ভেক্টরগুলির তিনটি স্বতন্ত্র উপাদান রয়েছে: প্রস্থ বা মডুলাস, দিক এবং ইন্দ্রিয়। একটি অর্থনরমাল ভিত্তিগুলি তাদের প্রতিনিধিত্ব এবং পরিচালনা করার জন্য বিশেষভাবে কার্যকর, যেহেতু কোনও নির্দিষ্ট ভেক্টর স্পেস ভি এর অন্তর্ভুক্ত যে কোনও ভেক্টর অর্থোন্নর ভিত্তিকে গঠন করে এমন ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে রচনা করা যেতে পারে।

এইভাবে, ভেক্টরগুলির মধ্যে অপারেশনগুলি যেমন সংযোজন, বিয়োগফল এবং বিভিন্ন স্থানের পণ্যগুলিকে স্পেসে সংজ্ঞায়িত করে বিশ্লেষণাত্মকভাবে কার্যকর করা হয়।

পদার্থবিদ্যায় সর্বাধিক ব্যবহৃত ঘাঁটিগুলির মধ্যে হ'ল ইউনিট ভেক্টর আই, জে এবং কে দ্বারা গঠিত বেসটি যা ত্রি-মাত্রিক স্থানের তিনটি স্বতন্ত্র দিক নির্দেশ করে: উচ্চতা, প্রস্থ এবং গভীরতা। এই ভেক্টরগুলি ইউনিট ক্যানোনিকাল ভেক্টর হিসাবেও পরিচিত।

পরিবর্তে, যদি ভেক্টরগুলিকে একটি বিমানে কাজ করা হয়, তবে এই তিনটি উপাদানের মধ্যে দুটি পর্যাপ্ত হবে, যখন এক মাত্রিক ভেক্টরগুলির জন্য কেবল একটির প্রয়োজন one

ঘাঁটিগুলির বৈশিষ্ট্য

1- একটি বেস বি ভেক্টরগুলির ক্ষুদ্রতম সম্ভাব্য সেট যা ভেক্টর স্পেস ভি তৈরি করে।

2- খ এর উপাদানগুলি রৈখিকভাবে স্বাধীন।

3- ভেক্টর স্পেস ভি এর যে কোনও বেস বি ভি এর সমস্ত ভেক্টরকে এর রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করতে দেয় এবং প্রতিটি ফেক্টরের জন্য এই ফর্মটি অনন্য। এই কারণে, বি উত্পাদনকারী সিস্টেম হিসাবেও পরিচিত।

4- একই ভেক্টর স্পেস ভি এর বিভিন্ন ঘাঁটি থাকতে পারে।

ঘাঁটির উদাহরণ

সাধারনত অर्थনোরাল বেস এবং ঘাঁটির বেশ কয়েকটি উদাহরণ এখানে রয়েছে:

ক্যানোনিকাল ভিত্তিতে ℜ

একে প্রাকৃতিক বেস বা base ⁿ এর স্ট্যান্ডার্ড বেসও বলা হয়, যেখানে ℜ ⁿ এন-ডাইমেনশনাল স্পেস, উদাহরণস্বরূপ ত্রি-মাত্রিক স্থান ℜ ³ । এন এর মানকে ভেক্টর স্পেসের মাত্রা বলা হয় এবং ম্লান (ভি) হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।

Ve ⁿ এর সাথে সম্পর্কিত সমস্ত ভেক্টর অর্ডার করা এন-বিজ্ঞাপনগুলি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করে। স্থান For ^{n এর জন্য}, আধ্যাত্মিক ভিত্তিটি হ'ল:

e ₁ = <1,0,। । ।, 0>; e ₂ = <0.1,। । ।, 0>; …….. ই _এন = <0.0,। । ।, 1>

এই উদাহরণে আমরা বন্ধনী বা "বন্ধনী" সহ স্বরলিপি ব্যবহার করেছি এবং ইউনিট ভেক্টর ই ₁, ই ₂, ই _{3 এর} জন্য সাহসী…

ক্যানোনিকাল ভিত্তিতে ℜ

পরিচিত ভেক্টর i, j এবং কে এই একই প্রতিনিধিত্ব স্বীকার করে এবং তাদের তিনটিই ℜ ³: এ ভেক্টরগুলির প্রতিনিধিত্ব করার জন্য যথেষ্ট

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; কে = <0,0,1>

এর অর্থ হ'ল বেসটি এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

বি = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

তারা রৈখিকভাবে স্বতন্ত্র কিনা তা যাচাই করতে, তাদের সাথে গঠিত নির্ধারকটি শূন্য নয় এবং সমান 1:

এগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে ℜ ^{3 এর} সাথে সম্পর্কিত কোনও ভেক্টরও লিখতে হবে । উদাহরণস্বরূপ, একটি বল যার আয়তক্ষেত্রাকার উপাদানগুলি F _x = 4 N, F _y = -7 N এবং F _z = 0 N এর মতো ভেক্টর আকারে লিখিত হবে:

এফ = <4, -7,0> এন = 4 আই -7 জে 0 0 কে এন

অতএব আমি, ঞ এবং ট ℜ একটি জেনারেটর সিস্টেমের মধ্যে ³ ।

Or এর অন্যান্য অরথনোরাল বেসগুলি ℜ

পূর্ববর্তী বিভাগে বর্ণিত স্ট্যান্ডার্ড বেসটি ℜ ³ এ একমাত্র অर्थনরমাল বেস নয় । এখানে উদাহরণস্বরূপ ঘাঁটি রয়েছে:

খ ₁ =; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

বি ₂ = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

এটি দেখানো যেতে পারে যে এই ঘাঁটিগুলি অর্থনরমাল, এর জন্য আমরা শর্তগুলি মনে করি যা পূরণ করতে হবে:

-ভেক্টরগুলি যে বেসটি গঠন করে তাদের অবশ্যই একে অপরের কাছে অরথোগোনাল হতে হবে।

- এগুলির প্রত্যেকটি অবশ্যই একক হতে হবে।

আমরা এটি জেনে যাচাই করতে পারি যে তাদের দ্বারা নির্ধারক নির্ধারকটি অবশ্যই শূন্য এবং 1 এর সমান হওয়া উচিত।

বি ₁ ভিত্তিটি স্পষ্টতই নলাকার স্থানাঙ্ক ρ, φ এবং z এর মতো, মহাকাশে ভেক্টরকে প্রকাশের অন্য উপায়।

চিত্র 2. নলাকার স্থানাঙ্ক। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। ম্যাথ বাফ

সমাধান ব্যায়াম

- অনুশীলনী 1

বেস বি = {<3/5, 4 / 5,0> দেখান; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1> or অরথনোরাল।

সমাধান

ভেক্টরগুলি একে অপরের লম্ব হয় তা দেখানোর জন্য, আমরা স্কেলার পণ্যটি ব্যবহার করব, একে দুটি ভেক্টরের অভ্যন্তরীণ বা বিন্দু পণ্যও বলা হয়।

যে কোনও দুটি ভেক্টরকে ইউ এবং ভি, তাদের বিন্দু পণ্যটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যাক:

u • v = uv cosθ θ

তাদের মডিউলগুলির ভেক্টরগুলিকে আলাদা করতে আমরা দ্বিতীয়টির জন্য প্রথম এবং সাধারণ বর্ণগুলির জন্য সাহসী ব্যবহার করব। u হ'ল ইউ এবং ভি এর মধ্যে কোণ , অতএব যদি তারা লম্ব হয় তবে এর অর্থ º = 90º এবং স্কেলারের পণ্যটি শূন্য।

বিকল্পভাবে, যদি ভেক্টরগুলি তাদের উপাদানগুলির ক্ষেত্রে দেওয়া হয়: u =x, u _y, u _z > y v =x, v _y, v _z >, উভয়েরই স্কেলার পণ্য, যা পরিবহণযোগ্য, এইভাবে গণনা করা হয়:

u • v = u _x.v _x + u _y.v _y + u _z.v _z

এইভাবে, প্রতিটি জোড়া ভেক্টরের মধ্যে স্কেলার পণ্যগুলি যথাক্রমে:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5)। (- 4/5) + (4/5)। ((3/5) 5) + 0.0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0.1> = 0

দ্বিতীয় শর্তের জন্য, প্রতিটি ভেক্টরের মডিউল গণনা করা হয়, যা দ্বারা প্রাপ্ত:

│u │ = √ (ইউ _এক্স ² + ইউ _ই ² + ইউ _জেড ²)

সুতরাং, প্রতিটি ভেক্টরের মডিউলগুলি হ'ল:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0.1> │ = √ = 1

সুতরাং তিনটিই ইউনিট ভেক্টর। অবশেষে, তারা যে নির্ধারক গঠন করে তা হ'ল শূন্য এবং সমান 1:

- অনুশীলন 2

উপরের বেসের শর্তে ভেক্টর ডাব্লু = <2, 3,1> এর স্থানাঙ্ক লিখুন ।

সমাধান

এটি করার জন্য, নিম্নলিখিত উপপাদ্য ব্যবহৃত হয়:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ +… < w • v _n > v _n

এর অর্থ হ'ল আমরা বেস বিতে ভেক্টর লিখতে পারি, সহগ < w • v ₁ >, < w • v ₂ >,… < w • v _n > ব্যবহার করে, যার জন্য আমাদের অবশ্যই নির্দেশিত স্কেলারের পণ্যগুলি গণনা করতে হবে:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2)। (3/5) + (3)। (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2)। (- 4/5) + (3)। (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

প্রাপ্ত স্কেলারের পণ্যগুলির সাথে একটি ম্যাট্রিক্স নির্মিত হয়, ডাব্লু কোঅর্ডিনেট ম্যাট্রিক্স called

সুতরাং বি বেসে ভেক্টর ডাব্লু এর স্থানাঙ্কগুলি দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

_খ =

স্থানাঙ্ক ম্যাট্রিক্স ভেক্টর নয়, যেহেতু কোনও ভেক্টর তার স্থানাঙ্কগুলির মতো হয় না। এগুলি কেবলমাত্র সংখ্যার একটি সেট যা প্রদত্ত বেসে ভেক্টরকে প্রকাশ করার জন্য পরিবেশন করে, ভেক্টর যেমন নয়। তারা নির্বাচিত বেসের উপরও নির্ভর করে।

পরিশেষে, উপপাদ্য অনুসরণ করার পরে, ভেক্টর ডাব্লু নিম্নলিখিত হিসাবে প্রকাশ করা হবে:

ডাব্লু = (18/5) ভি ₁ + (1/5) ভি ₂ + ভি ₃

সহ: ভি ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; ভি ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>}, অর্থাৎ বি বেসের ভেক্টরগুলি

তথ্যসূত্র

1. লারসন, লিনিয়ার বীজগণিতের আর ফাউন্ডেশনস। 6 ষ্ঠ। সংস্করণ। কেনেজ লার্নিং।
2. লারসন, আর। 2006. ক্যালকুলাস। 7th। সংস্করণ। খণ্ড ২. ম্যাকগ্রা হিল।
3. সালাস, জে লিনিয়ার বীজগণিত। ইউনিট 10. অর্থোন্নাল বেসগুলি। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: ocw.uc3m.es.
4. সেভিলা বিশ্ববিদ্যালয়। নলাকার স্থানাঙ্ক। ভেক্টর বেস। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: laplace.us.es।
5. উইকিপিডিয়া। অর্থনরমাল বেস। উদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.org থেকে ipedia