- পার্থক্য ব্যবহার করে অনুমান
- আরও ভাল অনুমান আছে?
- কৌশল
- সমাধান প্রায় অনুশীলন
- প্রথম অনুশীলন
- দ্বিতীয় অনুশীলন
- তৃতীয় অনুশীলন
- চতুর্থ অনুশীলন
- তথ্যসূত্র
গণিতে একটি আনুমানিক একটি সংখ্যা যা কোনও কিছুর সঠিক মূল্য নয়, তবে এটির এত কাছাকাছি যে এটি যথাযথ মান হিসাবে কার্যকর হিসাবে বিবেচিত হয়।
গণিতে যখন আনুমানিকতা করা হয়, এটি কারণ যা আপনি চান তার যথাযথ মানটি নিজেই জানা (বা কখনও কখনও অসম্ভব) is
আনুমানিক সাথে কাজ করার সময় প্রধান সরঞ্জামটি কোনও ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল।
Functionf (x) দ্বারা চিহ্নিত ফাংশনটির পার্থক্যটি, ফাংশনের ডেরাইভেটিভের চেয়ে বেশি কিছু নয়, f এর সাথে স্বাধীন ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের অর্থ, Δf (x) = f '(x) * Δx হয়।
কখনও কখনও df এবং dx Δf এবং dx এর পরিবর্তে ব্যবহৃত হয়।
পার্থক্য ব্যবহার করে অনুমান
পার্থক্যটির মাধ্যমে একটি সূচনা সম্পাদনের জন্য যে সূত্রটি প্রয়োগ করা হয় তা সীমাবদ্ধতা হিসাবে কোনও ফাংশনের ডেরাইভেটিভের সংজ্ঞা থেকে স্পষ্টতই উদ্ভূত হয়।
এই সূত্রটি দিয়েছেন:
f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx।
এখানে বোঝা যাচ্ছে যে =x = x-x0, সুতরাং x = x0 + Δx। এই সূত্রটি ব্যবহার করে পুনরায় লেখা যেতে পারে
f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx।
এটি লক্ষ করা উচিত যে "x0" একটি নির্বিচার মান নয়, তবে এমন একটি মান যা f (x0) সহজেই পরিচিত; তদ্ব্যতীত, "চ (এক্স)" হ'ল মানটি আমরা আনুমানিক করতে চাই।
আরও ভাল অনুমান আছে?
উত্তরটি হল হ্যাঁ. উপরেরটি হল "লিনিয়ার আনুমানিকতা" নামক অনুমানের মধ্যে সবচেয়ে সহজ।
উন্নত মানের আনুমানিকতার জন্য (ত্রুটিটি কম করা হয়েছে) "টেলর পলিনোমিয়ালস" নামে আরও ডেরাইভেটিভ সহ বহুভুজ ব্যবহার করা হয়, পাশাপাশি অন্যান্য সংখ্যাসমূহ যেমন নিউটন-রাফসন পদ্ধতি অন্যদের মধ্যে ব্যবহার করা হয়।
কৌশল
অনুসরণ করার কৌশলটি হ'ল:
- আনুমানিকতা সম্পাদনের জন্য একটি উপযুক্ত ফাংশন চয়ন করুন এবং এর মান (f) (x) এর আনুমানিক হওয়া মান to x।।
- "x0" এর কাছাকাছি একটি মান চয়ন করুন, যেমন চ (x0) গণনা করা সহজ।
- Δx = x-x0 গণনা করুন।
- y f '(x0) ফাংশনের ডেরাইভেটিভ গণনা করুন।
- সূত্রে ডেটা প্রতিস্থাপন করুন।
সমাধান প্রায় অনুশীলন
যা অব্যাহত রয়েছে সেখানে অনুশীলনের একটি সিরিজ রয়েছে যেখানে পার্থক্যটি ব্যবহার করে প্রায় অনুমান করা হয়।
প্রথম অনুশীলন
প্রায় √3।
সমাধান
কৌশল অনুসরণ করে, একটি উপযুক্ত ফাংশন অবশ্যই চয়ন করতে হবে। এই ক্ষেত্রে এটি দেখা যায় যে নির্বাচনের জন্য ফাংশনটি অবশ্যই f (x) = √x হতে হবে এবং আনুমানিক মানটি f (3) = √3 হতে হবে।
এখন আমাদের "x0" এর সাথে "3" এর কাছাকাছি একটি মান নির্বাচন করতে হবে যে চ (x0) গণনা করা সহজ। যদি "x0 = 2" চয়ন করা হয় তবে "x0" "3" এর কাছাকাছি থাকলেও f (x0) = f (2) = √2 গণনা করা সহজ নয়।
"X0" এর উপযুক্ত মান হ'ল "4", যেহেতু "4" "3" এর কাছাকাছি এবং এফ (x0) = চ (4) = √4 = 2।
যদি "x = 3" এবং "x0 = 4" হয় তবে Δx = 3-4 = -1 এখন আমরা চ এর ডেরাইভেটিভ গণনা করতে এগিয়ে যান। অর্থাৎ, f '(x) = 1/2 *,x, তাই চ' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4।
আপনি যে সূত্রটি পেয়েছেন তাতে সমস্ত মানকে প্রতিস্থাপন করা:
√3 = চ (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75।
আপনি যদি কোনও ক্যালকুলেটর ব্যবহার করেন তবে আপনি সেই ≈3≈1.73205 পাবেন… এটি দেখায় যে পূর্ববর্তী ফলাফলটি আসল মানের একটি ভাল অনুমান ima
দ্বিতীয় অনুশীলন
প্রায় 10 ডলার।
সমাধান
আগের মত, f (x) = √xy কে একটি ফাংশন হিসাবে বেছে নেওয়া হয়েছে, এক্ষেত্রে x = 10।
এই সময়টি বেছে নিতে x0 এর মান হ'ল "x0 = 9"। আমাদের তখন সেই Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 এবং f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6 রয়েছে।
সূত্রে মূল্যায়ন করার সময় এটি প্রাপ্ত হয়
√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…
একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে এটি পাওয়া যায় যে √10 ≈ 3.1622776… এখানে এটিও দেখা যায় যে আগে একটি ভাল আনুমানিকতা পাওয়া গিয়েছিল।
তৃতীয় অনুশীলন
আনুমানিক ³√10, যেখানে c কিউব মূলকে বোঝায়।
সমাধান
স্পষ্টতই এই অনুশীলনে ব্যবহৃত ফাংশনটি f (x) = ³√x এবং "x" এর মান অবশ্যই "10" হতে হবে।
"10" এর কাছাকাছি একটি মান যেমন এর ঘনক্ষেত্রটি পরিচিত এটি "x0 = 8"। তারপরে আমাদের কাছে Δx = 10-8 = 2 এবং f (x0) = f (8) = ২ রয়েছে We 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12।
সূত্রে ডেটা প্রতিস্থাপন, এটি প্রাপ্ত যে:
³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666…।
ক্যালকুলেটরটি বলে যে ³√10 ≈ 2.15443469… সুতরাং, প্রাপ্ত অনুমানটি ভাল।
চতুর্থ অনুশীলন
আনুমানিক ln (1.3), যেখানে "ln" প্রাকৃতিক লোগারিদম ফাংশন বোঝায়।
সমাধান
প্রথমে আমরা একটি ফাংশন f (x) = ln (x) হিসাবে বেছে নিই এবং "x" এর মান 1.3। এখন, লগারিদম ফাংশন সম্পর্কে কিছুটা জানতে পেরে আমরা জানতে পারি যে ln (1) = 0, এবং আরও "1" "1.3" এর কাছাকাছি। সুতরাং, "x0 = 1" বেছে নেওয়া হয়েছে এবং এভাবে =x = 1.3 - 1 = 0.3।
অন্যদিকে f '(x) = 1 / x, যাতে চ' (1) = 1। প্রদত্ত সূত্রে মূল্যায়ন করার সময় আমাদের রয়েছে:
ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3।
একটি ক্যালকুলেটর ব্যবহার করে আমাদের কাছে সেই এলএন (1.3) ≈ 0.262364… সুতরাং তৈরি করা অনুমানটি ভাল।
তথ্যসূত্র
- ফ্লেমিং, ডাব্লু।, এবং ভারবার্গ, ডিই (1989)। প্রিক্যালকুলাস গণিত। প্রেন্টাইস হল পিটিআর।
- ফ্লেমিং, ডব্লিউ।, এবং ভারবার্গ, ডিই (1989)। প্রিক্যালকুলাস গণিত: সমস্যা সমাধানের পদ্ধতির (২, ইলাস্ট্রেটেড এডি।)। মিশিগান: প্রিন্টাইস হল।
- ফ্লেমিং, ডাব্লু।, এবং ভারবার্গ, ডি। (1991)। বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির সাথে বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতি। পিয়ারসন শিক্ষা.
- লারসন, আর। (2010) প্রিক্যালকুলাস (8 ইড।) কেনেজ লার্নিং।
- লিয়াল, জেএম, এবং ভিলোরিয়া, এনজি (2005)। প্লেন অ্যানালিটিকাল জ্যামিতি। মেরিদা - ভেনিজুয়েলা: সম্পাদকীয় ভেনিজোলানা সিএ
- পেরেজ, সিডি (2006)। Precalculation। পিয়ারসন শিক্ষা.
- পুরসেল, ইজে, ভারবার্গ, ডি, এবং রিগডন, এসই (2007)। ক্যালকুলাস (নবম সংস্করণ)। প্রেন্টিস হল.
- সায়েঞ্জ, জে। (2005) বিজ্ঞান এবং প্রকৌশল (দ্বিতীয় সংস্করণ সংস্করণ) এর প্রথম দিকের ট্রান্সেন্ডেন্ট ফাংশন সহ ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস। অতিভুজ।
- স্কট, সিএ (২০০৯)। কার্টেসিয়ান প্লেন জ্যামিতি, পার্ট: অ্যানালিটিক্যাল কনিক্স (1907) (পুনর্মুদ্রণ সম্পাদনা)। বাজ উত্স।
- সুলিভান, এম। (1997)। Precalculation। পিয়ারসন শিক্ষা.