- বিপরীতে সম্পত্তি
- অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য
- সংহতকরণের ধ্রুবকটির অন্য অর্থ
- সংহতকরণের ধ্রুবকটি কীভাবে গণনা করা হয়?
- উদাহরণ
- উদাহরণ 1
- উদাহরণ 2
- উদাহরণ 3
- প্রস্তাবিত অনুশীলন
- অনুশীলনী 1
- অনুশীলন 2
- অনুশীলন 3
- অনুশীলন 4
- তথ্যসূত্র
ইন্টিগ্রেশন লাগাতার antiderivatives বা ইন্টেগ্রাল হিসাব করার একটি যোগ মান, এটা সমাধান করে একটি ফাংশন আদিম আপ করতে প্রতিনিধিত্ব করতে কাজ করে। এটি একটি অন্তর্নিহিত অস্পষ্টতা প্রকাশ করে যেখানে কোনও ফাংশনে অসীম সংখ্যক আদিম থাকে।
উদাহরণস্বরূপ, আমরা যদি ফাংশনটি গ্রহণ করি: f (x) = 2x + 1 এবং আমরা এর অ্যান্টিডেরিভেটিভ পাই:
∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C; যেখানে সি হ'ল সংহতকরণের ধ্রুবক এবং আদিম অসীম সম্ভাবনার মধ্যে উল্লিখিত অনুবাদকে গ্রাফিক্যালি উপস্থাপন করে। এটা বলা যে (এক্স সঠিক 2 + X) হল এক চ (x) এর এর প্রিমিটিভের করুন।
সূত্র: লেখক
একইভাবে আমরা (x 2 + x + C) কে f (x) এর আদিম হিসাবে নির্ধারণ করতে পারি ।
বিপরীতে সম্পত্তি
এটি লক্ষ করা যায় যে এক্সপ্রেশনটি প্রাপ্ত করার সময় (x 2 + x) ফাংশন f (x) = 2x + 1 পাওয়া যায় This এটি কার্যকারিতা এবং সংহতকরণের মধ্যে বিপরীত সম্পত্তি থাকার কারণে ঘটে is এই সম্পত্তিটি পার্থক্য থেকে শুরু করে সংহতকরণ সূত্রগুলি পেতে অনুমতি দেয়। যা একই ডেরাইভেটিভসের মাধ্যমে সংহতদের যাচাইকরণের অনুমতি দেয়।
সূত্র: লেখক
তবে (x 2 + x) একমাত্র ফাংশন নয় যার ডেরিভেটিভ (2x + 1) এর সমান।
- d (x 2 + x) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 1) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 2) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + 3) / dx = 2x + 1
- d (x 2 + x + C) / dx = 2x + 1
যেখানে 1, 2, 3 এবং 4 টি f (x) = 2x + 1 এর বিশেষ আদিম প্রতিনিধিত্ব করে যেখানে 5 টি f (x) = 2x + 1 এর অনির্দিষ্ট বা আদিম ইন্টিগ্রালটি উপস্থাপন করে।
সূত্র: লেখক
কোনও ফাংশনের আদিমতা অ্যান্টিডেরিয়েশন বা অবিচ্ছেদ্য প্রক্রিয়ার মাধ্যমে অর্জন করা হয়। নিম্নলিখিতটি যদি সত্য হয় তবে এফ চ এর আদিম হবে
- y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; সি = সংহতকরণের ধ্রুবক
- F '(x) = f (x)
এটি দেখা যায় যে কোনও ফাংশনটির একক ডেরিভেটিভ থাকে, তার একীকরণের ফলে অসীম আদিমতার বিপরীতে।
অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য
∫ f (x) dx = F (x) + C
এটি একই প্যাটার্নযুক্ত কার্ভের পরিবারের সাথে মিলিত হয়, যা প্রতিটি পয়েন্টের (x, y) চিত্রের মানের সাথে অসঙ্গতি অনুভব করে। প্রতিটি ফাংশন যা এই প্যাটার্নটি পূরণ করে তা স্বতন্ত্র আদিম হবে এবং সমস্ত ফাংশনের সেটটি অনির্দিষ্টকালের অবিচ্ছেদ্য হিসাবে পরিচিত ।
একীকরণের ধ্রুবকের মানটি হ'ল অনুশীলনে প্রতিটি কার্যকে আলাদা করে।
ইন্টিগ্রেশন লাগাতার একটি ফাংশন এর প্রিমিটিভের প্রতিনিধিত্বমূলক সব গ্রাফ একটি উল্লম্ব স্থানান্তর দাড়ায়। যেখানে তাদের মধ্যে সমান্তরালতা পরিলক্ষিত হয় এবং সি বাস্তবেস্থানের মান fact
সাধারণ অনুশীলন অনুসারে, সংযোজনের ধ্রুবকটি একটি সংযোজনের পরে "সি" অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যদিও অনুশীলনে এটি ধ্রুবক যুক্ত হয় বা বিয়োগ হয় তা উদাসীন। এর আসল মান বিভিন্ন প্রাথমিক অবস্থায় বিভিন্ন উপায়ে পাওয়া যায় ।
সংহতকরণের ধ্রুবকটির অন্য অর্থ
ইতোমধ্যে এটি আলোচনা করা হয়েছে যে কীভাবে একীকরণের ধ্রুবকটি অখণ্ড ক্যালকুলাসের শাখায় প্রয়োগ করা হয়; অনির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য সংজ্ঞা দেয় এমন বক্ররেখার পরিবারের প্রতিনিধিত্ব করা। তবে অন্যান্য অনেক বিজ্ঞান এবং শাখা একীকরণের ধ্রুবকটির জন্য খুব আকর্ষণীয় এবং ব্যবহারিক মূল্যবোধ নির্ধারণ করেছে , যা একাধিক অধ্যয়নের বিকাশকে সহজতর করেছে।
ইন পদার্থবিদ্যা ইন্টিগ্রেশন লাগাতার তথ্য প্রকৃতির উপর নির্ভর করে একাধিক মান গ্রহণ করতে পারেন। একটি খুব সাধারণ উদাহরণ ফাংশন বুদ্ধিমান হয় ভী (টি) যে প্রতিনিধিত্ব করে বেগ বনাম সময় T একটি কণা। এটি জানা যায় যে ভি (টি) এর আদিম গণনা করার সময় ফাংশন আর (টি) প্রাপ্ত হয় যা কণার বিপরীতে অবস্থানের প্রতিনিধিত্ব করে ।
ইন্টিগ্রেশন লাগাতার হবে প্রাথমিক অবস্থান, সেই সময় T = 0 এ হয়, এর মান প্রতিনিধিত্ব করে।
একইভাবে, সময় (বনাম ) কণার ত্বরণের প্রতিনিধিত্বকারী ফাংশন এ (টি) যদি জানা থাকে। এ (T) এর আদিম ফাংশন ভী (টি), যেখানে পরিণাম ডেকে আনবে ইন্টিগ্রেশন লাগাতার প্রাথমিক বেগ ভী মান হতে হবে 0 ।
ইন অর্থনীতি, সংহত ব্যয়ে ফাংশনের আদিম দ্বারা প্রাপ্তির দ্বারা। ইন্টিগ্রেশন লাগাতার হবে নির্দিষ্ট খরচ প্রতিনিধিত্ব করে। এবং আরও অনেক অ্যাপ্লিকেশন যা ডিফারেনশিয়াল এবং অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাসের যোগ্যতা।
সংহতকরণের ধ্রুবকটি কীভাবে গণনা করা হয়?
সংহতকরণের ধ্রুবক গণনা করতে , সর্বদা প্রাথমিক শর্তগুলি জেনে রাখা প্রয়োজন । সম্ভাব্য আদিমগুলির মধ্যে কোনটি সম্পর্কিত এটি নির্ধারণের দায়িত্বে নিয়োজিত রয়েছে।
অনেক অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে এটি সময় (টি) এ স্বতন্ত্র পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচিত হয়, যেখানে ধ্রুবক সি বিশেষ ক্ষেত্রে প্রাথমিক অবস্থার সংজ্ঞা দেয় এমন মান গ্রহণ করে ।
যদি আমরা প্রাথমিক উদাহরণটি নিই: ∫ (2x + 1) dx = x 2 + x + C
একটি বৈধ প্রাথমিক অবস্থা শর্ত হতে পারে যে গ্রাফটি নির্দিষ্ট স্থানাঙ্কের মধ্য দিয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, আমরা জানি যে আদিম (x 2 + x + C) বিন্দুটি (1, 2) এর মধ্য দিয়ে যায়
এফ (এক্স) = এক্স 2 + এক্স + সি; এটিই সাধারণ সমাধান
চ (1) = 2
আমরা এই সাম্যের সাধারণ সমাধানটি প্রতিস্থাপন করি
এফ (1) = (1) 2 + (1) + সি = 2
যেখান থেকে এটি সহজেই অনুসরণ করে যে সি = 0
এই ক্ষেত্রে এই ক্ষেত্রে সম্পর্কিত আদিম হ'ল F (x) = x 2 + x
একাধিক ধরণের সংখ্যার অনুশীলন রয়েছে যা সংহতকরণের ধ্রুবকগুলির সাথে কাজ করে । আসলে, ডিফারেনশিয়াল এবং অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাস বর্তমান তদন্তে প্রয়োগ করা বন্ধ করে না does বিভিন্ন একাডেমিক স্তরে তাদের সন্ধান করা যেতে পারে; প্রাথমিক গণনা থেকে, পদার্থবিজ্ঞান, রসায়ন, জীববিজ্ঞান, অর্থনীতি ইত্যাদির মাধ্যমে।
এটি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অধ্যয়নের ক্ষেত্রেও প্রশংসা পেয়েছে, যেখানে ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবকটি বিভিন্ন মান এবং সমাধান গ্রহণ করতে পারে, এটি একাধিক বিকাশ এবং একীকরণের কারণে এটি এই ক্ষেত্রে চালিত হয়।
উদাহরণ
উদাহরণ 1
- 30 মিটার উঁচুতে অবস্থিত একটি কামান একটি প্রক্ষিপ্তটিকে উল্লম্বভাবে উপরের দিকে আগুন দেয়। প্রক্ষেপণের প্রাথমিক বেগ 25 মি / সেকেন্ড হিসাবে পরিচিত। সিদ্ধান্ত নিন:
- ফাংশন যা সময়ের সম্মানের সাথে প্রজেক্টটির অবস্থান নির্ধারণ করে।
- কণা মাটিতে আঘাত করলে উড়ানের সময় বা তাত্ক্ষণিক সময়।
এটি পরিচিত যে একটি পুনর্গঠনীয় গতিতে সমানভাবে বৈচিত্রময় ত্বরণ একটি ধ্রুবক মান। এটি প্রক্ষেপণ প্রবর্তনের ক্ষেত্রে, যেখানে ত্বরণটি মাধ্যাকর্ষণ হবে
g = - 10 মি / এস 2
এটি আরও জানা যায় যে ত্বরণটি অবস্থানটির দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভ, যা অনুশীলনের রেজোলিউশনে একটি ডাবল সংহতকরণ নির্দেশ করে, এইভাবে দুটি সংহত স্থিরতা প্রাপ্ত করে।
ক (টি) = -10
ভি (টি) = ∫এ (টি) ডিটি = ∫ (-10 ট) ডিটি = -10 টি + সি 1
অনুশীলনের প্রাথমিক শর্তগুলি নির্দেশ করে যে প্রাথমিক বেগটি ভি 0 = 25 মি / সে। এই মুহুর্তে t = 0 এর তাত্ক্ষণিক গতিবেগ এইভাবে এটি সন্তুষ্ট যে:
ভি (0) = 25 = -10 (0) + সি 1 এবং সি 1 = 25
বেগ কার্যকারিতা সংজ্ঞায়িত সহ
ভি (টি) = -10 টি + 25; এমআরইউভি সূত্রের সাথে মিল খুঁজে পাওয়া যায় (V f = V 0 + axt)
একটি সমজাতীয় উপায়ে, অবস্থানটি সংজ্ঞায়িত করে এমন এক্সপ্রেশনটি পাওয়ার জন্য আমরা বেগের ক্রিয়াটি সংহত করতে এগিয়ে যাই:
আর (টি) = ∫ভি (টি) ডিটি = ∫ (-10 টি + 25) ডিটি = -5 টি 2 + 25 টি + সি 2
আর (টি) = -5t 2 + 25t + সি 2 (পজিশন আদি)
প্রাথমিক অবস্থান আর (0) = 30 মি জানা যায়। তারপরে প্রক্ষেপের নির্দিষ্ট আদি গণনা করা হয়।
আর (0) = 30 মি = -5 (0) 2 + 25 (0) + সি 2 । যেখানে সি 2 = 30
উদাহরণ 2
- প্রাথমিক শর্তটি সন্তুষ্ট করে এমন আদিম চ (এক্স) সন্ধান করুন:
- f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7
দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভ f '' (x) = 4 এর তথ্য দিয়ে অ্যান্টিডেরিভেশন প্রক্রিয়া শুরু হয়
f '(x) ='f' '(x) dx
∫4 dx = 4x + C 1
তারপরে, f '(2) = 2 শর্তটি জেনে আমরা এগিয়ে চলি:
4 (2) + সি 1 = 2
সি 1 = -6 এবং f '(x) = 4x - 8
সংহতকরণের দ্বিতীয় ধ্রুবকটির জন্য আমরা একইভাবে এগিয়ে যাই
f (x) ='f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x 2 - 8x + C 2
প্রাথমিক অবস্থা চ (0) = 7 জানা যায় এবং আমরা এগিয়ে যাই:
2 (0) 2 - 8 (0) + সি 2 = 7
সি 2 = 7 এবং চ (x) = 2x 2 - 8x + 7
- f '' (x) = x 2; f '(0) = 6; f (0) = 3
পূর্ববর্তী সমস্যার সাথে একইভাবে আমরা প্রথম শর্ত থেকে প্রথম ডেরাইভেটিভ এবং মূল ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করি।
f '(x) ='f' '(x) dx
∫ (এক্স 2) DX = (x এর 3 /3) + সি 1
শর্তটি f '(0) = 6 সহ আমরা এগিয়ে চলি:
(0 3/3) + সি 1 = 6; যেখানে c 1 = 6 এবং F '(x) এর = (x এর 3 /3) + + 6
তারপরে সংহতকরণের দ্বিতীয় ধ্রুবক
f (x) ='f '(x) dx
∫ DX = (x এর 4 /12) + + 6x + সি 2
প্রাথমিক অবস্থা f (0) = 3 জানা যায় এবং আমরা এগিয়ে যাই:
+ 6 (0) + সি 2 = 3; যেখানে সি 2 = 3
সুতরাং আমরা আদিম বিশেষ প্রাপ্ত
চ (x) = (x এর 4 /12) + + 6x +3
উদাহরণ 3
- ডেরাইভেটিভস এবং গ্রাফের একটি বিন্দু দেওয়া আদিম কার্যগুলি সংজ্ঞায়িত করুন:
- dy / dx = 2x - 2 যা বিন্দু দিয়ে যায় (3, 2)
এটি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে ডেরিভেটিভগুলি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে রেখাটির স্পর্শকটির opeালকে বক্ররেখাকে বোঝায়। যেখানে অনুমান করা ঠিক হবে না যে ডেরাইভেটিভের গ্রাফটি নির্দেশিত পয়েন্টটিকে স্পর্শ করে, যেহেতু এটি আদিম ফাংশনের গ্রাফের সাথে সম্পর্কিত।
এইভাবে আমরা পৃথক সমীকরণটি নিম্নরূপভাবে প্রকাশ করি:
=dy = ∫ (2x - 2) dx
প্রাথমিক শর্ত প্রয়োগ করা:
2 = (3) 2 - 2 (3) + সি
সি = -1
এটি প্রাপ্ত হয়েছে: চ (এক্স) = এক্স 2 - 2 এক্স - 1
- dy / dx = 3x 2 - 1 যা বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় (0, 2)
আমরা নিম্নলিখিত হিসাবে পৃথক সমীকরণ প্রকাশ:
প্রাথমিক শর্ত প্রয়োগ করা:
2 = (0) 2 - 2 (0) + সি
সি = 2
আমরা পেয়েছি: f (x) = x 3 - x + 2
প্রস্তাবিত অনুশীলন
অনুশীলনী 1
- প্রাথমিক শর্তটি সন্তুষ্ট করে এমন আদিম চ (এক্স) সন্ধান করুন:
- f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
- f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
- f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
- f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8
অনুশীলন 2
- ১ f ফুট / সে গতিবেগে ওঠা একটি বেলুন স্থল স্তর থেকে f৪ ফুট উচ্চতা থেকে এক ব্যাগ বালু ফেলে দেয় drops
- ফ্লাইটের সময় নির্ধারণ করুন
- ভেক্টর ভি এফ কি হবে যখন এটি মাটিতে পড়ে?
অনুশীলন 3
- চিত্রটি এক্স-অক্ষের ধনাত্মক দিকটিতে একটি গাড়ির ত্বরণ-সময় গ্রাফটি দেখায়। গাড়িটি 10 সেকেন্ডের মধ্যে ব্রেক থামানোর জন্য ব্রেকটি প্রয়োগ করে গাড়িটি 54 কিলোমিটার / ঘন্টা গতিতে গতিতে বেড়াচ্ছিল। নির্ধারণ:
- গাড়ির প্রাথমিক ত্বরণ
- টি = 5 এস এ গাড়ির গতি
- ব্রেক করার সময় গাড়িটির স্থানচ্যুতি
সূত্র: লেখক
অনুশীলন 4
- ডেরাইভেটিভস এবং গ্রাফের একটি বিন্দু দেওয়া আদিম কার্যগুলি সংজ্ঞায়িত করুন:
- dy / dx = x যা বিন্দু দিয়ে যায় (-1, 4)
- dy / dx = -x 2 + 1 যা বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় (0, 0)
- dy / dx = -x + 1 যা বিন্দু দিয়ে যায় (-2, 2)
তথ্যসূত্র
- ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস। অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল এবং ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতি। উইলসন, ভেলাস্কেজ বাস্তিদাস। ম্যাগডালেনা বিশ্ববিদ্যালয় 2014
- স্টুয়ার্ট, জে। (2001) একটি ভেরিয়েবলের গণনা। প্রথম দিকের ট্রান্সসেন্টেন্টালস। মেক্সিকো: থমসন লার্নিং।
- জিমনেজ, আর। (2011) গণিত ষষ্ঠ। ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস। মেক্সিকো: পিয়ারসন এডুকেশন।
- পদার্থবিজ্ঞান I. ম্যাক গ্রু পাহাড়