আনুপাতিকতার ধারাবাহিকতা: এটি কী, গণনা, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

আনুপাতিকতা লাগাতার একটি রিলেশনাল সংখ্যাসূচক উপাদান, 2 পরিমাণে আছে যেগুলো একই সঙ্গে পরিবর্তিত হয় মধ্যে মিল ধরনে নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা হয়। এফ (এক্স) = কেএক্স এক্সপ্রেশনটি ব্যবহার করে জেনেরিক উপায়ে লিনিয়ার ফাংশন হিসাবে এটি উপস্থাপন করা খুব সাধারণ However তবে, এটি সম্ভাব্য আনুপাতিকতার একমাত্র উপস্থাপনা নয়।

উদাহরণস্বরূপ, Y = 3x ফাংশনে এক্স এবং ওয়াইয়ের মধ্যে সম্পর্কের 3 টির সমানুপাতের ধ্রুবক রয়েছে এটি দেখা যায় যে স্বাধীন ভেরিয়েবল এক্স বাড়ার সাথে সাথে নির্ভরশীল ভেরিয়েবল Y এর মান তিনগুণ বেড়ে যায় আগে.

একটি পরিবর্তনশীল প্রয়োগ করা পরিবর্তনগুলির অন্যটিতে তাত্ক্ষণিক প্রতিক্রিয়া থাকে, যাতে অনুপাতের ধ্রুবক হিসাবে পরিচিত একটি মান থাকে। এটি উভয় ভেরিয়েবলগুলি অর্জন করে এমন বিভিন্ন মাত্রার সাথে সম্পর্কিত করে তোলে।

আনুপাতিকতা এবং ধরণের ধ্রুবক কি

ভেরিয়েবলের পরিবর্তনের প্রবণতা অনুসারে, আনুপাতিকতাগুলিকে 2 প্রকারে শ্রেণিবদ্ধ করা যেতে পারে।

সরাসরি অনুপাত

দুটি পরিমাণের মধ্যে একমুখী সম্পর্কের পরামর্শ দেয়। এটিতে, যদি স্বাধীন পরিবর্তনশীল কিছু বৃদ্ধি দেখায়, নির্ভরশীল চলকটিও বৃদ্ধি পাবে। একইভাবে, স্বাধীন ভেরিয়েবলের যে কোনও হ্রাস ওয়াইয়ের परिमाणকে হ্রাস করতে পারে will

উদাহরণস্বরূপ, ভূমিকাতে ব্যবহৃত লিনিয়ার ফাংশন; Y = 3X, আনুপাতিকতার প্রত্যক্ষ সম্পর্কের সাথে মিলে যায়। এর কারণ, স্বাধীন ভেরিয়েবল এক্স-এর বৃদ্ধি নির্ভরশীল ভেরিয়েবল ওয়াই দ্বারা নেওয়া পূর্ববর্তী মানকে তিনগুণ বাড়িয়ে তোলে because

তেমনি, নির্ভরশীল ভেরিয়েবল তার দৈর্ঘ্যে তিন গুণ হ্রাস পাবে যখন X এর পরিমাণ কমবে।

প্রত্যক্ষ সম্পর্কের তুলনায় ধ্রুবক "K" এর মান কে = ওয়াই / এক্স হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

বিপরীত বা অপ্রত্যক্ষ অনুপাত

এই ধরণের কার্যক্রমে, ভেরিয়েবলের মধ্যে সম্পর্ক একটি বিপরীতে উপস্থাপন করা হয়, যেখানে স্বাধীন পরিবর্তনশীলের বৃদ্ধি বা হ্রাস যথাক্রমে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের হ্রাস বা বৃদ্ধির সাথে মিলে যায়।

উদাহরণস্বরূপ, এফ (এক্স) = কে / এক্স ফাংশনটি একটি বিপরীত বা পরোক্ষ সম্পর্ক relationship যেহেতু স্বাধীন ভেরিয়েবলের মান বাড়তে শুরু করে, k এর মান একটি বর্ধমান সংখ্যার দ্বারা বিভক্ত হবে, যার ফলে নির্ভরশীল পরিবর্তনশীলটি অনুপাত অনুসারে মান হ্রাস পাবে।

কে গৃহীত মান অনুসারে, বিপরীত আনুপাতিক ক্রিয়াকলাপের প্রবণতা সংজ্ঞায়িত করা যায়। যদি কে> 0, তবে সমস্ত আসল সংখ্যায় ফাংশন হ্রাস পাবে। এবং আপনার গ্রাফটি প্রথম এবং তৃতীয় কোয়াড্রেন্টে থাকবে।

বিপরীতে, কে এর মান negativeণাত্মক বা শূন্যের চেয়ে কম হলে, ক্রিয়াকলাপটি বৃদ্ধি পাবে এবং এর গ্রাফটি ২ য় এবং চতুর্থ কোয়াড্রেন্টে পাওয়া যাবে।

কিভাবে এটি গণনা করা হয়?

বিভিন্ন প্রসঙ্গ আছে যেখানে আনুপাতিকতার ধ্রুবকের সংজ্ঞা প্রয়োজন হতে পারে। বিভিন্ন ক্ষেত্রে, সমস্যা সম্পর্কিত বিভিন্ন ডেটা প্রদর্শিত হবে, যেখানে এগুলির অধ্যয়নটি শেষ পর্যন্ত কে এর মান অর্জন করবে where

জেনারিক উপায়ে, পূর্বোক্তগুলিকে পুনরায় চিত্রিত করা যেতে পারে। উপস্থিত মান অনুপাতের ধরণের উপর নির্ভর করে কে এর মান দুটি এক্সপ্রেশনের সাথে মিলে যায়:

- প্রত্যক্ষ: কে = ওয়াই / এক্স

- বিপরীত বা অপ্রত্যক্ষ: কে = ওয়াইএক্স

এর গ্রাফ অনুযায়ী

কখনও কখনও কোনও ফাংশনের গ্রাফ কেবল আংশিক বা সম্পূর্ণভাবে জানা যাবে। এই ক্ষেত্রে, গ্রাফিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে, আনুপাতিকতার ধরণ নির্ধারণ করা প্রয়োজনীয় হবে। তারপরে এটি এমন একটি স্থানাঙ্ক সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজন যা X এবং Y এর মান কে কে সম্পর্কিত সূত্রে প্রয়োগ করতে অনুমতি দেয় allows

প্রত্যক্ষ অনুপাতকে নির্দেশ করে গ্রাফগুলি লিনিয়ার। অন্যদিকে, বিপরীত আনুপাতিক ফাংশনগুলির গ্রাফগুলি সাধারণত হাইপারবোলা রূপ নেয়।

মান সারণী অনুসারে

কিছু ক্ষেত্রে, স্বাধীন ভেরিয়েবলের প্রতিটি পুনরাবৃত্তির সাথে মানগুলির সাথে মানগুলির একটি সারণী থাকে। সাধারণত এটি কে এর মান নির্ধারণের পাশাপাশি গ্রাফ তৈরি করে invol

বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি অনুযায়ী

বিশ্লেষণাত্মকভাবে ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করে এমন ভাবটি ফিরিয়ে দেয়। কে এর মান সরাসরি সমাধান করা যেতে পারে, বা এটি প্রকাশ থেকে নিজেই অনুমান করা যায়।

তিনটির প্রত্যক্ষ বা যৌগিক বিধি দ্বারা

অন্যান্য অনুশীলনের মডেলগুলিতে, নির্দিষ্ট ডেটা উপস্থাপন করা হয় যা মানগুলির মধ্যে সম্পর্কের কথা উল্লেখ করে। অনুশীলনে প্রয়োজনীয় অন্যান্য ডেটা সংজ্ঞায়িত করার জন্য এটি তিনটির সরাসরি বা যৌগিক নিয়ম প্রয়োগ করা প্রয়োজনীয় করে তোলে।

ইতিহাস

আনুপাতিকতার ধারণাটি বরাবরই ছিল। না শুধুমাত্র মহান গণিতবিদদের মনে এবং কাজের জন্য, জনসংখ্যার দৈনন্দিন জীবনে, এর ব্যবহারিকতা এবং প্রয়োগযোগ্যতার কারণে।

আনুপাতিকতার পদ্ধতির প্রয়োজন এমন পরিস্থিতিগুলি খুঁজে পাওয়া খুব সাধারণ। এগুলি প্রতিটি ক্ষেত্রে উপস্থাপিত হয় যেখানে নির্দিষ্ট সম্পর্ক রয়েছে এমন ভেরিয়েবল এবং ঘটনাগুলির তুলনা করা প্রয়োজন।

একটি টাইমলাইনের মাধ্যমে আমরা historicalতিহাসিক মুহুর্তগুলিকে চিহ্নিত করতে পারি, যেখানে আনুপাতিকতা সম্পর্কিত গাণিতিক অগ্রযাত্রা প্রয়োগ করা হয়েছে।

- খ্রিস্টপূর্ব দ্বিতীয় শতাব্দীতে গ্রিসে ভগ্নাংশ এবং অনুপাতের সংরক্ষণের ব্যবস্থা গৃহীত হয়।

- খ্রিস্টপূর্ব ৫ ম শতাব্দীতে একটি বর্গক্ষেত্রের ত্রিভুজ এবং ত্রিভুজ সম্পর্কিত অনুপাতটি গ্রিসেও আবিষ্কার হয়েছিল।

- মিলিটাসের BC০০ বিসি থ্যালস অনুপাতের বিষয়ে তাঁর উপপাদ্য উপস্থাপন করেছেন।

- বছর 900. ভারত পূর্বে ব্যবহৃত দশমিক সিস্টেমটি অনুপাত এবং অনুপাতে প্রসারিত হয়। আরবদের দেওয়া অবদান।

- XVII শতাব্দী। অনুপাত সম্পর্কিত অবদানগুলি এলারের গণনায় পৌঁছে।

- XIX শতাব্দী। গৌস জটিল সংখ্যা এবং অনুপাত ধারণার অবদান রাখে।

- বিংশ শতাব্দী. একটি ফাংশন মডেল হিসাবে আনুষাঙ্গিকতা আজকারেট এবং ডিউলোফিয়ে দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়।

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

X, y, z এবং g এর ভেরিয়েবলের মান গণনা করা দরকার। নিম্নলিখিত আনুপাতিক সম্পর্কগুলি জানা:

3x + 2y - 6z + 8g = 1925

x / 3 = y / 8 = z / 3 = g / 5

আমরা আনুপাতিকতার ধ্রুবকের আপেক্ষিক মানগুলি সংজ্ঞায়িত করতে এগিয়ে যাই। এগুলি দ্বিতীয় সম্পর্ক থেকে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, যেখানে প্রতিটি ভেরিয়েবলকে ভাগ করে এমন মান K কে উল্লেখ করে একটি সম্পর্ক বা অনুপাত নির্দেশ করে where

এক্স = 3 কে y = 2 কে জেড = 3 কে জি = 5 কে

মানগুলি প্রথম প্রকাশের ক্ষেত্রে প্রতিস্থাপন করা হয়, যেখানে নতুন সিস্টেমটি একক চলক কেতে মূল্যায়ন করা হবে।

3 (3 কে) + 2 (2 কে) - 6 (3 কে) + 8 (5 কে) = 1925

9 কে + 4 কে -18 কে + 40 কে = 1925

35 কে = 1925

কে = 1925/35 = 55

আনুপাতিকতার ধ্রুবকের এই মানটি ব্যবহার করে আমরা সেই সংখ্যাটি খুঁজে পেতে পারি যা প্রতিটি ভেরিয়েবলকে সংজ্ঞায়িত করে।

x = 3 (55) = 165 y = 2 (55) = 110

z = 3 (55) = 165 গ্রাম = 5 (55) = 275

অনুশীলন 2

অনুপাতের ধ্রুবক এবং এর গ্রাফটি প্রদান করে ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করে এমন অভিব্যক্তি গণনা করুন।

প্রথমত, গ্রাফটি বিশ্লেষণ করা হয়, এর লিনিয়ার চরিত্রটি স্পষ্ট। এটি নির্দেশ করে যে এটি সরাসরি অনুপাত সহ একটি ফাংশন এবং কে এর মান k = y / x এক্সপ্রেশন দিয়ে প্রাপ্ত হবে

তারপরে গ্রাফ থেকে একটি নির্ধারণযোগ্য বিন্দু বেছে নেওয়া হয়, এটির একটি যেখানে স্থানাঙ্কগুলি এটি রচনা করে ঠিক তা দেখা যায়।

এই ক্ষেত্রে, পয়েন্টটি (2, 4) নেওয়া হয়। যেখান থেকে আমরা নীচের সম্পর্ক স্থাপন করতে পারি।

কে = 4/2 = 2

সুতরাং এক্সপ্রেশনটি y = kx ফাংশন দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যা এই ক্ষেত্রে হবে

F (x) = 2x

তথ্যসূত্র

1. বিদ্যুৎ ও ইলেকট্রনিক্সের জন্য গণিত। আর্থার ক্র্যামার ড। কেনেজ লার্নিং, জুলাই 27 2012
2. দৃষ্টি ২০২০: অপারেশনাল গবেষণার কৌশলগত ভূমিকা। এন। রবিচন্দ্রন। মিত্র প্রকাশক, ১১ সেপ্টেম্বর 2005
3. রাজ্য ই-বুকের প্রশাসনিক সহকারী সম্পর্কিত ব্যাকরণগত এবং গাণিতিক জ্ঞান। ম্যাড Eduforma
4. পাঠ্যক্রমিক সমর্থন এবং বিবিধকরণের জন্য গণিতের শক্তিবৃদ্ধি: পাঠ্যক্রমিক সমর্থন এবং বৈচিত্র্যের জন্য। Mª Lourdes Lázaro Soto। নারেসিয়া এডিসিয়নেস, ২৯ আগস্ট 2003
5. বাণিজ্যিক পরিষেবা সমূহ। মারিয়া জোসে এসকিডেরো সেরানো। এডিকিনিস পারানিনফো, এসএ, 1 সেপ্টেম্বর। 2013