আয়তক্ষেত্রের সমন্বয়: উদাহরণ এবং সমাধান ব্যায়াম - গণিতশাস্ত্র - 2025

আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক বা কার্টিজিয়ান যারা যা orthogonally জরিপ তিন কার্টিজিয়ান অক্ষ এক্স, y, z একটি বিন্দু তিনটি অবস্থিত প্রাপ্ত হয় - মাত্রিক স্থান।

কার্টেসিয়ান অক্ষগুলি পরস্পর ভিত্তিক লাইন একে অপরের সাথে লম্ব হয়। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়, স্থানটির প্রতিটি বিন্দুতে তিনটি আসল সংখ্যা নির্ধারিত হয় যা এর আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক হয়।

চিত্র 1. পয়েন্ট P এর আয়তক্ষেত্র স্থানাঙ্ক (নিজস্ব বিস্তৃতি)

একটি বিমান ত্রিমাত্রিক স্থানের একটি উপ-স্থান। বিমানে পয়েন্ট বিবেচনা করার ক্ষেত্রে, তারপরে কার্টেসিয়ান সিস্টেম হিসাবে এক জোড়া লম্ব অক্ষ, এক্স, ওয়াই বেছে নেওয়া যথেষ্ট। তারপরে বিমানের প্রতিটি বিন্দুতে দুটি আসল সংখ্যা নির্ধারিত হয় যা এর আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক হয়।

আয়তক্ষেত্র স্থানাঙ্কের উত্স

আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কগুলি মূলত ফরাসি গণিতবিদ রেনা ডেসকার্টেস (1596 এবং 1650) দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল, এ কারণেই এগুলিকে কার্তেসিয়ান বলা হয়।

ডেসকার্টসের এই ধারণার সাহায্যে, বিমান এবং স্থানের বিন্দু সংখ্যা নির্ধারিত হয়, যাতে জ্যামিতিক চিত্রগুলিতে বীজগণিত সমীকরণ যুক্ত থাকে এবং শাস্ত্রীয় জ্যামিতিক উপপাদগুলি বীজগণিতভাবে প্রমাণিত হতে পারে। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের সাথে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতির জন্ম হয়।

কার্তেসিয়ান বিমান

যদি একটি বিমানে দুটি লম্ব লাইন বেছে নেওয়া হয় যা একটি বিন্দুতে ছেদ করে; এবং, তদ্ব্যতীত, প্রতিটি রেখাকে ধারাবাহিক ন্যায়সঙ্গত পয়েন্টগুলির মধ্যে একটি দিক এবং একটি সংখ্যাসূচক স্কেল বরাদ্দ করা হয়, তবে সেখানে কার্টেসিয়ান সিস্টেম বা সমতল রয়েছে যেখানে বিমানের প্রতিটি বিন্দু দুটি যথাক্রমে দুটি অর্ডারযুক্ত অর্ডারের সাথে যুক্ত থাকে যা যথাক্রমে তাদের অনুমানগুলি হয় এক্স এবং ওয়াই অক্ষ

বিন্দু A = (3, 2); বি = (- 2, 3); সি = (- 2, -3) এবং ডি = (3, -3) কার্টেসিয়ান বিমানটিতে প্রতিনিধিত্ব করা হয়েছে নীচে দেখানো হয়েছে:

চিত্র 2. কার্টেসিয়ান বিমানে পয়েন্টস। (নিজস্ব বিবরণ)

উল্লেখ্য যে দুটি অক্ষ এক্স এবং ওয়াই বিমানটিকে চারটি সেক্টরে কোয়াড্রেন্ট বলে বিভক্ত করে। পয়েন্ট এ প্রথম কোয়াড্রেন্টে, পয়েন্ট বি দ্বিতীয় কোয়াড্রেন্টে, পয়েন্ট সি তৃতীয় কোয়াড্রেন্টে এবং পয়েন্ট ডি চতুর্থ কোয়াড্রেন্টে থাকে।

দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব

কার্টেসিয়ান বিমানের দুটি এবং A বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্বটি তাদের সাথে যোগ হওয়া বিভাগটির দৈর্ঘ্য। এই দূরত্বটি বিশ্লেষণ করে নীচে হিসাবে গণনা করা যেতে পারে:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (লিখেছেন - আয়) ^ 2)

উপরোক্ত সূত্রটি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করে প্রাপ্ত হয়।

এই সূত্রটি A, B পয়েন্ট 2 এ প্রয়োগ করে আমাদের কাছে রয়েছে:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

তা হল, ডি (এ, বি) = 5.10 ইউনিট। নোট করুন যে কোনও শাসকের সাথে পরিমাপ করার প্রয়োজন ছাড়াই দূরত্বটি প্রাপ্ত হয়েছিল, একটি সম্পূর্ণ বীজগণিত পদ্ধতি অনুসরণ করা হয়েছে।

একটি লাইনের বিশ্লেষণাত্মক প্রকাশ

আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কগুলি বিন্দু এবং রেখার মতো মৌলিক জ্যামিতিক বস্তুর বিশ্লেষণাত্মক উপস্থাপনের অনুমতি দেয়। দুটি বিন্দু এ এবং বি একটি একক রেখা নির্ধারণ করে। রেখাটির slালু বিন্দু বি বিয়োগ বি এর Y স্থানাঙ্কের পার্থক্যের মধ্যবর্তী ভাগফল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, বি বি বিয়োগ বি এর এক্স স্থানাঙ্কের পার্থক্য দ্বারা বিভক্ত:

ঝাল = (লিখেছেন - আয়) / (বিএক্স - এক্স)

স্থানাঙ্কের কোনও বিন্দু P (x, y) যা রেখার (AB) এর সাথে সম্পর্কিত সেগুলির অবশ্যই একই opeাল থাকতে হবে:

opeাল = (y - আয়) / (এক্স - এক্স)

Opালু সমতার মধ্য দিয়ে প্রাপ্ত সমীকরণটি হ'ল রেখার বিশ্লেষণাত্মক বা বীজগণিত উপস্থাপনা যা A এবং B পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে যায়:

(y - আয়) / (এক্স - এক্স) = (বাই - আই) / (বিএক্স - এক্স)

যদি আমরা A এবং B এর জন্য চিত্র 2 এর আয়তক্ষেত্র স্থানাঙ্কগুলি গ্রহণ করি:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

এই বিশেষ ক্ষেত্রে আমাদের একটি নেতিবাচক opeাল -⅕ এর সাথে একটি লাইন রয়েছে যার অর্থ লাইনটির একটি বিন্দুতে চিহ্নিতকরণ এবং এক ইউনিটের দ্বারা এক্স-স্থানাঙ্ক বৃদ্ধি করে, y- স্থানাঙ্ক 0.2 ইউনিট দ্বারা হ্রাস পায়।

সমতলটিতে রেখার সমীকরণ লেখার সর্বাধিক প্রচলিত উপায় হ'ল y স্থানাঙ্কের সাথে ভেরিয়েবল এক্সের ক্রিয়া হিসাবে সাফ করা:

y = - (1/5) x + 13/5

উদাহরণ

উদাহরণ 1

সি = এবং এ এর ​​আয়তক্ষেত্র স্থানাঙ্ক এবং A = (3,2) এর আয়তাকার স্থানাঙ্ক হয়ে বিশ্লেষণী পদ্ধতি দ্বারা প্রাপ্ত হন।

এই দুটি পয়েন্টের মধ্যে ইউক্লিডিয়ান দূরত্বের সূত্রটি এভাবে লেখা হয়েছে:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

তাদের সাথে সম্পর্কিত আয়তক্ষেত্র স্থানাঙ্ক প্রতিস্থাপন:

d (এ, সি) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7.07

উদাহরণ 2

স্থানাঙ্কের বিন্দু সি (-2, -3) এর মধ্য দিয়ে যাওয়া লাইনের সমীকরণ এবং স্থানাঙ্কের পয়েন্ট P (2, 0) পান tain

প্রথমত, লাইন সিপির opeাল প্রাপ্ত হয়:

opeাল = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

জেনেরিক আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কের যে কোনও বিন্দু Q (x, y) সিপি রেখার অন্তর্গত, একই slাল হতে হবে:

opeাল = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

অন্য কথায়, লাইন সিপির সমীকরণটি হ'ল:

(y +3) / (x +2) = ¾ ¾

লাইন সিপির সমীকরণ লেখার বিকল্প উপায়টি আপনার জন্য সমাধান করছে:

y = ¾ x - 3/2

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

Y = - (1/5) x + 13/5 এবং লাইন y = ¾ x - 3/2 এর মধ্যবর্তী ছেদ বিন্দুর আয়তক্ষেত্র স্থানাঙ্কগুলি পান।

সমাধান: সংজ্ঞা অনুসারে, দুটি লাইনের ছেদ বিন্দু একই আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্কগুলি ভাগ করে। সুতরাং, ছেদ বিন্দুতে y- স্থানাঙ্ক দুটি লাইনের জন্য একরকম:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

যা নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি বাড়ে:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

আমরা প্রাপ্ত ভগ্নাংশগুলির যোগফলটি সমাধান করছি:

19/20 x = 41/10

এক্স এর জন্য সমাধান:

x = 82/19 = 4.32

ওয়াই-ইন্টারসেপ্ট পেতে, প্রাপ্ত এক্স-মানটি যে কোনও লাইনে প্রতিস্থাপিত হয়:

y = ¾ 4.32 - 3/2 = 1.74

এর অর্থ হল যে প্রদত্ত রেখাগুলি I = (4.32, 1.74) স্থানাঙ্কের পয়েন্টে ছেদ করে।

অনুশীলন 2

আয়তক্ষেত্র স্থানাঙ্কের বিন্দু R (3, 4) এর মধ্য দিয়ে যায় এমন পরিধিটির সমীকরণ পান এবং স্থানাঙ্কের উত্সে এর কেন্দ্র রয়েছে।

সমাধান: ব্যাসার্ধ R হল স্থানাঙ্কের মূল ও এর বিন্দু থেকে দূরত্ব (0, 0)।

d (আর, ও) = √ ((আরএক্স - 0) ^ 2 + (রায় - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

এটি হ'ল এটি (0,0) কেন্দ্রিক ব্যাসার্ধের 5 বৃত্ত tered

পরিধিটির যে কোনও বিন্দু পি (x, y) এর কেন্দ্র (৫, ০) থেকে একই দূরত্ব থাকতে হবে যাতে এটি লেখা যায়:

d (পি, ও) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

ঐটাই বলতে হবে:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

বর্গমূল নির্মূল করতে, উভয় সমতার সদস্যকে বর্গক্ষেত্র করা হয়:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

পরিধিটির সমীকরণ কী।

এই উদাহরণটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার শক্তি চিত্রিত করে, যা কাগজ, পেন্সিল এবং কম্পাস ব্যবহার না করে জ্যামিতিক বস্তু যেমন পরিধি হিসাবে নির্ধারণ করতে দেয়। অনুরোধ করা পরিধিটি কেবলমাত্র বীজগণিত পদ্ধতি দ্বারা নির্ধারিত হয়েছে।

তথ্যসূত্র

1. আরফকেন জি এবং ওয়েবার এইচ। (2012)। পদার্থবিদদের জন্য গাণিতিক পদ্ধতি। একটি বিস্তৃত গাইড। 7 ম সংস্করণ। একাডেমিক প্রেস। আইএসবিএন 978-0-12-384654-9
2. গণনা সিসি। আয়তক্ষেত্র স্থানাঙ্কগুলির সমস্যার সমাধান। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: ক্যালকুলো.সি.সি.
3. ওয়েইস্টেইন, এরিক ডাব্লু। "কার্টেসিয়ান কোঅর্ডিনেটস।" ম্যাথওয়ার্ল্ড-এ ওল্ফ্রাম ওয়েব থেকে। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: mathworld.wolfram.com থেকে
4. উইকিপিডিয়া। কার্টেসিয়ান সমন্বয় ব্যবস্থা। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: en.wikedia.com থেকে ipedia