চতুর্ভুজ: উপাদান, বৈশিষ্ট্য, শ্রেণিবিন্যাস, উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

একটি চতুর্ভুজ চার পক্ষের এবং চার ছেদচিহ্ন সঙ্গে একটি বহুভুজ হয়। এর বিপরীত দিকগুলি হ'ল যা সমানভাবে উল্লম্ব হয় না, এবং পরপর দিকগুলি এমন হয় যাগুলি একটি সাধারণ ভার্টেক্স করে।

চতুষ্কোণে, সংলগ্ন কোণগুলি একপাশে ভাগ করে দেয়, যখন বিপরীত কোণগুলির কোনও পক্ষই মিল থাকে না। চতুর্ভুজটির আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হ'ল এর চারটি অভ্যন্তরীণ কোণগুলির যোগফল সমুদ্রের দ্বিগুণ, অর্থাৎ, 360º বা 2π রেডিয়ানের দ্বিগুণ।

চিত্র 1. বিভিন্ন চতুর্ভুজ। সূত্র: এফ.জাপাটা।

ডায়াগোনালগুলি হল এমন বিভাগ যা তার বিপরীত এবং একটি প্রদত্ত চতুর্ভুজগুলিতে একটি শীর্ষবিন্দুতে যোগ দেয় প্রতিটি প্রান্ত থেকে একটি একক তির্যক আঁকতে পারে। চতুর্ভুজের মোট তির্যকের সংখ্যা দুটি is

চতুর্ভুজগুলি প্রাচীন কাল থেকেই মানবজাতির কাছে পরিচিত। প্রত্নতাত্ত্বিক রেকর্ডগুলির পাশাপাশি বর্তমানে যে নির্মাণগুলি টিকে আছে সেগুলিও এটির সত্যতা প্রমাণ করে।

তেমনি, আজ চতুর্ভুজগুলির প্রত্যেকের দৈনন্দিন জীবনে একটি গুরুত্বপূর্ণ উপস্থিতি অব্যাহত রয়েছে। পাঠক এই স্ক্রিনে এই ফর্মটি খুঁজে পেতে পারেন যার উপরে তিনি এই মুহুর্তে, উইন্ডোজ, দরজা, স্বয়ংচালিত যন্ত্রাংশ এবং অন্যান্য অসংখ্য জায়গায় on

চতুর্ভুজ শ্রেণিবিন্যাস

বিপরীত দিকগুলির সমান্তরালতা অনুসারে চতুর্ভুজগুলি নিম্নরূপে শ্রেণিবদ্ধ করা হয়েছে:

1. ট্র্যাপিজয়েড, যখন কোনও সমান্তরালতা থাকে না এবং চতুর্ভুজটি উত্তল হয়।
2. ট্র্যাপিজয়েড, যখন বিপরীত দিকগুলির একক জুটির মধ্যে সমান্তরালতা থাকে।
3. সমান্তরালগ্রাম, যখন এর বিপরীত দিক দুটি সমান্তরাল হয়।

চিত্র 2. চতুর্ভুজগুলির শ্রেণিবিন্যাস এবং উপশ্রেণীকরণ। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

সমান্তরাল প্রকারের প্রকার

পরিবর্তে, সমান্তরালগুলি তাদের কোণ এবং নীচের দিক অনুসারে শ্রেণিবদ্ধ করা যেতে পারে:

1. আয়তক্ষেত্র সমান্তরাল যা তার সমান পরিমাপের চারটি অভ্যন্তরীণ কোণ রয়েছে। একটি আয়তক্ষেত্রের অভ্যন্তর কোণগুলি একটি সমকোণ (90º) গঠন করে।
2. স্কোয়ার, এটি একটি আয়তক্ষেত্র যার সমান পরিমাপের চার দিক রয়েছে।
3. রম্বস চারটি সমান পার্শ্বযুক্ত সমান্তরাল, তবে সংলগ্ন বিভিন্ন কোণ।
4. রোমবয়েড, বিভিন্ন সংলগ্ন কোণ সহ সমান্তরাল

শরীরচর্চার যন্ত্র

ট্র্যাপিজয়েড দুটি সমান্তরাল পক্ষের একটি উত্তল চতুর্ভুজ।

চিত্র 3. একটি ট্র্যাপিজয়েডের বেসগুলি, পাশগুলি, উচ্চতা এবং মিডিয়ান। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

- ট্র্যাপিজয়েডে সমান্তরাল পক্ষগুলিকে ঘাঁটি বলা হয় এবং অ সমান্তরালগুলিকে পার্শ্বযুক্ত বলা হয়।

- ট্র্যাপিজয়েডের উচ্চতা হ'ল দুটি ঘাঁটির মধ্যবর্তী দূরত্ব, যেটি বেসের প্রান্তগুলি এবং সেগুলির সাথে লম্ব প্রান্ত সহ একটি বিভাগের দৈর্ঘ্য। এই বিভাগটিকে ট্র্যাপিজয়েডের উচ্চতাও বলা হয়।

- মিডিয়ান হ'ল সেগমেন্ট যা পার্শ্ববর্তীগুলির মধ্য পয়েন্টগুলিতে যোগদান করে। এটি দেখানো যেতে পারে যে মিডিয়ান ট্র্যাপিজয়েডের ঘাঁটির সমান্তরাল এবং এর দৈর্ঘ্য বেসগুলির semisum এর সমান।

- ট্র্যাপিজয়েডের ক্ষেত্রফলটি এর উচ্চতাটি ঘাঁটির অর্ধ-যোগ দ্বারা গুণিত হয়:

ট্র্যাপিজয়েডের প্রকারভেদ

আয়তক্ষেত্রাকার ট্র্যাপিজয়েড: এটি ঘাঁটিগুলির পাশের লম্বযুক্ত একটি with এই দিকটি ট্র্যাপিজিয়ামের উচ্চতাও।

-আইসোসিলস ট্র্যাপিজয়েড: সমান দৈর্ঘ্যের দিকগুলির সাথে একটি। একটি আইসোসিল ট্র্যাপিজয়েডে ঘাঁটি সংলগ্ন কোণ সমান হয়।

- স্ক্যালেন ট্র্যাপিজিয়াম: এর বিভিন্ন দৈর্ঘ্যের দিক রয়েছে। এর বিপরীত কোণগুলি একটি তীব্র এবং অন্য অবস্হাপূর্ণ হতে পারে, তবে এটিও ঘটতে পারে যে উভয়ই অবসন্ন বা উভয় তীব্র।

চিত্র 4. ট্র্যাপিজিয়ামের প্রকার। সূত্র: এফ.জাপাটা।

সমান্তরিক-ক্ষেত্র

সমান্তরালাম একটি চতুর্ভুজ যা এর বিপরীত দিক দুটি সমান্তরাল সমান হয়। একটি সমান্তরালগ্নে বিপরীত কোণ সমান এবং সংলগ্ন কোণ পরিপূরক হয় বা অন্য কোনও উপায়ে বলা হয়, সংলগ্ন কোণগুলি 180º পর্যন্ত যুক্ত হয় º

যদি একটি সমান্তরালম্বের একটি সমকোণ থাকে তবে অন্য সমস্ত কোণগুলিও খুব বেশি হবে এবং ফলস্বরূপ চিত্রটি একটি আয়তক্ষেত্র বলা হয়। তবে যদি আয়তক্ষেত্রটির একই দৈর্ঘ্যের সংলগ্ন দিকও থাকে, তবে এর সমস্ত দিক সমান এবং ফলস্বরূপ চিত্রটি একটি বর্গক্ষেত্র।

চিত্র 5. সমান্তরালোগ্রাফ। আয়তক্ষেত্র, বর্গক্ষেত্র এবং রম্বস সমান্তরালুকর্ম। সূত্র: এফ.জাপাটা।

যখন একটি সমান্তরাল দুটি একই দৈর্ঘ্যের দুটি সংলগ্ন দিক থাকে, তখন এর সমস্ত দিক একই দৈর্ঘ্য হবে এবং ফলস্বরূপ চিত্রটি একটি রম্বস is

সমান্তরালীর উচ্চতা একটি বিভক্ত অংশ যার বিপরীত প্রান্তগুলি থাকে এবং সেগুলির জন্য লম্ব থাকে।

সমান্তরাল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

সমান্তরাল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলটি তার উচ্চতার বেজ বারের পণ্য, বেসটি উচ্চতার এক পাশের লম্ব হয়ে থাকে (চিত্র 6)।

একটি সমান্তরাল ডায়াগনালস

বর্গক্ষেত্র থেকে শুরু হওয়া ত্রিভুজের বর্গক্ষেত্রটি উল্লম্ব কোণের সমুদ্র কোষ দ্বারা sides দিকগুলির দ্বিগুণ পণ্য সংলগ্ন দুটি পক্ষের বর্গের সমষ্টি সমান:

f ² = a ² + d ² + 2 বিজ্ঞাপন Cos (α)

চিত্র 6. সমান্তরাল। বিপরীত কোণ, উচ্চতা, ত্রিভুজ। সূত্র: এফ.জাপাটা।

সমান্তরালহের কোণার বিপরীত ত্রিভুজটির বর্গক্ষেত্রটি সমান দুটি পাশের বর্গের সমষ্টি সমান এবং সেই বাহুটির কোণটির কোসাইন দ্বারা sides পক্ষের ডাবল পণ্য বিয়োগ করে:

g ² = a ² + d ² - 2 বিজ্ঞাপন Cos (α)

সমান্তরালীর আইন

যে কোনও সমান্তরালে, এর পাশের বর্গাকার যোগফলটি ত্রিভুজগুলির স্কোয়ারের সমান:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

পুনরায় ctulngulo

আয়তক্ষেত্রটি একটি চতুষ্কোণ যার বিপরীত দিক দুটি সমান্তরাল সমান এবং এটিতে একটি সমকোণও রয়েছে। অন্য কথায়, আয়তক্ষেত্র একটি সমকেন্দ্র একটি ধরণের কোণ সহ সমান্তরাল যা হয়। এটি একটি সমান্তরাল যেহেতু, আয়তক্ষেত্রের সমান দৈর্ঘ্যের a = c এবং b = d এর বিপরীত দিক রয়েছে।

তবে যে কোনও সমান্তরালগের মতো সংলগ্ন কোণ পরিপূরক এবং বিপরীত কোণ সমান, আয়তক্ষেত্রে কারণ এটি একটি সমকোণ রয়েছে, এটি অগত্যা অন্য তিনটি কোণে সমকোণী গঠন করবে। অন্য কথায়, একটি আয়তক্ষেত্রে সমস্ত অভ্যন্তরীণ কোণ 90º বা π / 2 রেডিয়েন্স পরিমাপ করে।

একটি আয়তক্ষেত্রের ডায়াগোনাল

একটি আয়তক্ষেত্রে ত্রিভুজগুলি সমান দৈর্ঘ্যের, নীচে প্রদর্শিত হবে। যুক্তিটি নিম্নরূপ; একটি আয়তক্ষেত্রটি তার সমস্ত ডান কোণগুলির সাথে সমান্তরাল এবং তাই সমান্তরালিকার সমস্ত বৈশিষ্ট্য উত্তরাধিকার সূত্রে প্রাপ্ত সূত্র সহ যেটি তির্যকের দৈর্ঘ্য দেয়:

f ² = a ² + d ² + 2 বিজ্ঞাপন Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 বিজ্ঞাপন Cos (α)

α = 90º সহ º

যেহেতু কোস (90º) = 0, তারপরে এটি ঘটে যা:

f ² = g ² = a ² + d ²

এটি, f = g এবং সুতরাং আয়তক্ষেত্রের দুটি ত্রিভুজের দৈর্ঘ্য f এবং g সমান এবং তাদের দৈর্ঘ্য প্রদত্ত:

তদুপরি, যদি সংলগ্ন দিকগুলির সাথে একটি আয়তক্ষেত্র a এবং b এর একদিকে ভিত্তি হিসাবে নেওয়া হয়, অন্য দিকটি উচ্চতা এবং ফলস্বরূপ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে:

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্র = কুঠার খ।

ঘেরটি আয়তক্ষেত্রের সমস্ত পক্ষের সমষ্টি, তবে যেহেতু বিপরীতমুখী সমান হয়, এটি নীচের সূত্র দ্বারা প্রদত্ত a এবং b এর সাথে একটি আয়তক্ষেত্রের জন্য থাকে:

আয়তক্ষেত্রের পরিধি = 2 (a + b)

চিত্র 7. পাশের a এবং b এর সাথে আয়তক্ষেত্র। চ এবং f এবং g সমান দৈর্ঘ্যের। সূত্র: এফ.জাপাটা।

বর্গক্ষেত্র

বর্গক্ষেত্রটি একটি আয়তক্ষেত্র যার সংলগ্ন দিকগুলি একই দৈর্ঘ্য সহ। বর্গক্ষেত্রের পাশের a থাকলে তার এরাকৃতি চ এবং জি সমান দৈর্ঘ্য হয়, যা f = g = (√2) a।

একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এর পাশের স্কোয়ার:

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্র = a ²

একটি বর্গক্ষেত্রের ঘের দ্বিগুণ

বর্গাকার পরিধি = 4 এ

চিত্র 8. পাশের a সহ বর্গক্ষেত্র, এর ক্ষেত্রফল, তার পরিধি এবং এর তিরুনির দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে। সূত্র: এফ.জাপাটা..

হীরা

রম্বসটি সমান দৈর্ঘ্যের সমান্তরাল পাশাপাশি একই দৈর্ঘ্য, তবে যেহেতু একটি সমান্তরালগ্রামে বিপরীত দিকগুলি সমান তাই একটি রম্বসের সমস্ত দিক দৈর্ঘ্যে সমান হয়।

একটি রম্বসের ডায়াগোনগুলি বিভিন্ন দৈর্ঘ্যের হয় তবে তারা ডান কোণে ছেদ করে।

চিত্র 9. পাশের রম্ব্বস, এর ক্ষেত্রফল, তার পরিধি এবং এর তিরুনির দৈর্ঘ্য নির্দেশ করে। সূত্র: এফ.জাপাটা।

উদাহরণ

উদাহরণ 1

চতুর্ভুজের (ক্রস করা হয়নি) এ দেখান যে অভ্যন্তরীণ কোণগুলি 360º পর্যন্ত যোগ করে º

চিত্র 10: এটি দেখানো হয়েছে যে চতুর্ভুজের কোণগুলির যোগফল 360º পর্যন্ত যুক্ত হয় º সূত্র: এফ.জাপাটা।

একটি চতুর্ভুজ ABCD বিবেচনা করা হয় (চিত্র 10 দেখুন) এবং তির্যক বিডি আঁকা হয়। দুটি ত্রিভুজ এবিডি এবং বিসিডি গঠিত হয়। ত্রিভুজ ABD এর অভ্যন্তরের কোণগুলির সমষ্টি:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º º

এবং ত্রিভুজ বিসিডির অভ্যন্তরীণ কোণগুলির সমষ্টি:

+2 + γ + δ ₂ = 180º º

আমরা দুটি সমীকরণ প্রাপ্ত করছি:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º º

গোষ্ঠীবদ্ধ করা:

α + (β ₁ + β ₂) + (δ ₁ + δ ₂) + γ = 2 * 180º

দলবদ্ধকরণ এবং নাম পরিবর্তন করে, শেষ পর্যন্ত এটি প্রদর্শিত হয়:

α + β + δ + γ = 360º º

উদাহরণ 2

দেখান যে ট্র্যাপিজয়েডের মাঝারিটি তার ঘাঁটির সাথে সমান্তরাল হয় এবং এর দৈর্ঘ্যটি বেসগুলির আধা অংশ হয়।

চিত্র 11. ট্র্যাপিজিয়াম এবিসিডি এর মিডিয়ান এমএন N সূত্র: এফ.জাপাটা।

ট্র্যাপিজয়েডের মিডিয়ান হ'ল সেগমেন্ট যা এর পাশের মিডপয়েন্টগুলিতে মিলিত হয়, অর্থাত না, অ সমান্তরাল দিকগুলি। চিত্র 11 এ দেখানো ট্র্যাপিজয়েড এবিসিডিতে মিডিয়ান হলেন এমএন।

এম যেহেতু খ্রিস্টাব্দের মিডপয়েন্ট এবং এন বিসি'র মিডপয়েন্ট, তাই এএম / এডি এবং বিএন / বিসি অনুপাত সমান।

এটি হ'ল, এএম বিসি-র সমান অনুপাতের সাথে বিএন এর সমানুপাতিক, তাই থ্যালস (পারস্পরিক) উপপাদ্য প্রয়োগের শর্ত দেওয়া হয়েছে, যা নিম্নলিখিতটি বলে:

"যদি আনুপাতিক বিভাগগুলি দুটি সেকেন্ড দ্বারা কাটা তিন বা ততোধিক লাইনে নির্ধারণ করা হয় তবে এই লাইনগুলি সমস্ত সমান্তরাল are"

আমাদের ক্ষেত্রে সিদ্ধান্তে পৌঁছে যে এমএন, এবি এবং ডিসি রেখা একে অপরের সাথে সমান্তরাল, তাই:

"ট্র্যাপিজয়েডের মাঝারিটি এর ঘাঁটির সাথে সমান্তরাল হয়।"

এখন থ্যালিস তত্ত্বটি প্রয়োগ করা হবে:

"দুই বা ততোধিক সেকেন্ড দ্বারা কাটা সমান্তরালের একটি সেট আনুপাতিক বিভাগগুলি নির্ধারণ করে।"

আমাদের ক্ষেত্রে এডি = 2 এএম, এসি = 2 এও, সুতরাং ত্রিভুজ ডিএসি ত্রিভুজ এমএও এর অনুরূপ, এবং ফলস্বরূপ ডিসি = 2 এমও।

একটি অনুরূপ যুক্তি আমাদের নিশ্চিত করতে দেয় যে সিএবি সিওএন অনুরূপ, যেখানে সিএ = 2 সিও এবং সিবি = 2 সিএন। এটি অবিলম্বে অনুসরণ করে যে AB = 2 চালু।

সংক্ষেপে, AB = 2 চালু এবং ডিসি = 2 এমও। সুতরাং যোগ করার সময় আমাদের আছে:

এবি + ডিসি = 2 চালু + 2 এমও = 2 (এমও + অন) = 2 এমএন

অবশেষে এমএন সাফ হয়ে গেছে:

এমএন = (এবি + ডিসি) / ২

এবং এটি উপসংহারে এসেছে যে ট্র্যাপিজয়েডের মিডিয়ান ঘাঁটিগুলির অর্ধ-যোগফল পরিমাপ করে, বা অন্য কোনও উপায় রাখে: মিডিয়ান দুটি বেসকে বিভক্ত করে ঘাঁটির যোগফল পরিমাপ করে।

উদাহরণ 3

দেখান যে একটি গম্বুজটিতে ত্রিভুজগুলি ডান কোণে ছেদ করে।

চিত্র 12. রম্বস এবং প্রদর্শন যে এর ত্রিভুজগুলি ডান কোণে ছেদ করে। সূত্র: এফ.জাপাটা।

চিত্র 12 এর ব্ল্যাকবোর্ডটি প্রয়োজনীয় নির্মাণ দেখায়। প্রথমে সমান্তরাল এবিসিডি AB = বিসি, অর্থাত্ একটি রম্বস দিয়ে অঙ্কিত হয়। ডায়াগনালস এসি এবং ডিবি চিত্রটিতে প্রদর্শিত আটটি কোণ নির্ধারণ করে।

উপপাদ্য (আইপ) ব্যবহার করে যা বলে যে একটি সেকেন্ড দ্বারা কাটা সমান্তরালগুলির মধ্যে বিকল্প অভ্যন্তর কোণ সমান কোণ নির্ধারণ করে, আমরা নিম্নলিখিতটি স্থাপন করতে পারি:

α ₁ = γ ₁, α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ এবং δ2 = β2। (*)

অন্যদিকে, যেহেতু একটি গম্বুজটির সংলগ্ন দিকগুলি সমান দৈর্ঘ্যের, তাই চারটি সমকোণী ত্রিভুজ নির্ধারিত হয়:

ড্যাব, বিসিডি, সিডিএ এবং এবিসি

এখন ত্রিভুজটি (আইসোসিলস) উপপাদ্যটি আহ্বান করা হয়েছে, যা বলে যে বেসের সাথে সংলগ্ন কোণগুলি সমান পরিমাপের, যেখান থেকে এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছে যে:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁, α2 = γ ₁ এবং α ₁ = γ2 (**)

যদি সম্পর্কগুলি (*) এবং (**) একত্রিত হয় তবে নিম্নলিখিত কোণগুলির সমতাটি পৌঁছে যায়:

hand ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ একদিকে এবং β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 অন্যদিকে।

সমান ত্রিভুজগুলির উপপাদ্যকে স্মরণ করে বলা হয়েছে যে দুটি সমান কোণের মধ্যে সমান দিকের দুটি ত্রিভুজ সমান, আমাদের আছে:

AOD = AOB এবং ফলস্বরূপ কোণগুলি ∡Aod = ODAOB B

তারপরে ∡এওডি + Oএওবি = 180º, তবে যেহেতু উভয় কোণ সমান পরিমাপের, তাই আমাদের কাছে 2 ∡এওডি = 180º রয়েছে যা ইওড = 90º বোঝায় º

এটি হ'ল জ্যামিতিকভাবে দেখানো হয়েছে যে একটি রম্বসের ডায়াগোনগুলি ডান কোণগুলিতে ছেদ করে।

অনুশীলনের সমাধান হয়েছে

- অনুশীলনী 1

একটি ডান ট্র্যাপিজয়েডে দেখান যে, ডান-নম্বরের কোণগুলি পরিপূরক।

সমাধান

চিত্র 13. ডান ট্র্যাপিজয়েড। সূত্র: এফ.জাপাটা।

ট্র্যাপিজয়েড এবিসিডি বেস এবং এবি ডিসির সমান্তরাল দিয়ে নির্মিত হয়। ভার্টেক্স A এর অভ্যন্তর কোণটি সঠিক (এটি 90º পরিমাপ করে), সুতরাং আমাদের ডান ট্র্যাপিজয়েড রয়েছে।

কোণ এবং δ two দুটি সমান্তরাল এবি এবং ডিসির মধ্যে অভ্যন্তরীণ কোণ, সুতরাং সেগুলি সমান, that = α = 90º º

অন্যদিকে, এটি দেখানো হয়েছে যে চতুর্ভুজের অভ্যন্তরীণ কোণগুলির যোগফল 360º পর্যন্ত যোগ করে, যা:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º º

উপরের দিকে বাড়ে:

β + δ = 180º º

কী দেখাতে চেয়েছিল তা নিশ্চিত করে, যে কোণ এবং δ supp পরিপূরক।

- অনুশীলন 2

একটি সমান্তরাল এবিসিডি-তে AB = 2 সেমি এবং AD = 1 সেমি রয়েছে, পাশাপাশি কোণ BAD 30º হয় º এই সমান্তরাল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এবং এর দুটি তিরুনির দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করুন।

সমাধান

সমান্তরাল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল এর বেসের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতা। এই ক্ষেত্রে, বিভাগের খ = AB = 2 সেমি দৈর্ঘ্যকে ভিত্তি হিসাবে গ্রহণ করা হবে, অন্য দিকে দৈর্ঘ্য a = AD = 1 সেমি এবং উচ্চতা এইচটি নীচের হিসাবে গণনা করা হবে:

এইচ = এডি * সেন (30º) = 1 সেমি * (1/2) = ½ সেমি।

সুতরাং: ক্ষেত্রফল = বি * এইচ = 2 সেমি * ½ সেমি = 1 সেমি ² ।

তথ্যসূত্র

1. সিইএ (2003)। জ্যামিতি উপাদান: অনুশীলন এবং কম্পাস জ্যামিতির সাথে। মেডেলিন বিশ্ববিদ্যালয়।
2. ক্যাম্পোস, এফ।, সেরেসেডো, এফজে (2014)। গণিত ২. গ্রুপো সম্পাদকীয় পাত্রিয়া।
3. মুক্ত, কে। (2007) বহুভুজ আবিষ্কার করুন। বেঞ্চমার্ক শিক্ষা সংস্থা।
4. হেন্ডরিক, ভি। (2013)। সাধারণীকরণ বহুভুজ। Birkhäuser।
5. IGER। (SF)। গণিতের প্রথম সেমিস্টার টাকানা। IGER।
6. জুনিয়র জ্যামিতি। (2014)। বহুভুজ। লুলু প্রেস, ইনক।
7. মিলার, হেরেন, এবং হর্ন্সবি। (2006)। গণিত: যুক্তি ও প্রয়োগ (দশম সংস্করণ)। পিয়ারসন শিক্ষা.
8. প্যাটিও, এম (2006)। গণিত 5 সম্পাদকীয় প্রোগ্রাম।
9. উইকিপিডিয়া। Quadrilaterals। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.com.com থেকে