কোটজেন্টের ডেরাইভেটিভ: গণনা, প্রমাণ, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

কোটেনজেন্ট ডেরিভেটিভ কোসীক্যান্ট "-Csc বর্গ বিপরীত সমান ² "। এই সূত্রটি সংজ্ঞা এবং ত্রিকোণমিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির পার্থক্য অনুসারে ডেরাইভেটিভের আইন মেনে চলে। এটি নিম্নলিখিত হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছে:

d (ctg u) = -csc ² u। ডু

যেখানে "du" স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের প্রতি শ্রদ্ধার সাথে যুক্তি ফাংশন থেকে উদ্ভূত অভিব্যক্তির প্রতীক।

সূত্র: পিক্সাবে ডটকম

কিভাবে এটি গণনা করা হয়?

এই ডেরাইভেটিভগুলি বিকাশের পদ্ধতিটি বেশ সহজ। যুক্তি এবং এটি যে ধরণের কার্যকারিতা উপস্থাপন করে তা সঠিকভাবে চিহ্নিত করার জন্য এটি যথেষ্ট।

উদাহরণস্বরূপ, Ctg (f / g) এক্সপ্রেশনটির যুক্তিতে একটি বিভাগ রয়েছে। কোটজেন্টের ডেরিভেটিভ বিকাশের পরে এটি ইউ / ভি সম্পর্কিত একটি পার্থক্য প্রয়োজন।

কোট্যানজেন্ট হ'ল ট্যানজেন্টের পারস্পরিক। বীজগণিতভাবে এর অর্থ এটি:

(1 / টিজি এক্স) = সিটিজি এক্স

Ctg x = Cos x / সেন x

এটা বলা ভুল যে কোটানজেন্ট ফাংশনটি স্পর্শকের "বিপরীত"। এটি কারণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত বিপরীতমুখী ফাংশন আর্ক স্পর্শক হয়।

(টিজি ^-১ এক্স) = আর্টটিজি এক্স

পাইথাগোরিয়ান ত্রিকোণমিতির মতে, কোট্যানজেন্ট নিম্নলিখিত বিভাগগুলিতে জড়িত:

সিটিজি এক্স = (কোস এক্স) / (সিন এক্স)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

বিশ্লেষণাত্মক ত্রিকোণমিতির মতে, এটি নিম্নলিখিত পরিচয়গুলিতে সাড়া দেয়:

সিটিজি (এ + বি) = (1 - টিজি এ। টিজি বি) / (টিজি এ + টিজি বি)

সিটিজি (এ - বি) = (1 + টিজি এ। টিজি বি) / (টিজি এ - টিজি বি)

সিটিজি (2 এ) = (1 - টিজি ² এ) / (² টজি এ)

কোটজেন্ট ফাংশনের বৈশিষ্ট্য

এর পার্থক্য এবং প্রয়োগের অধ্যয়নের জন্য প্রয়োজনীয় দিকগুলি সংজ্ঞায়িত করার জন্য f (x) = ctg x ফাংশনের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য বিশ্লেষণ করা প্রয়োজন।

উল্লম্ব asympotes

কোটজেন্ট ফাংশনটি এমন মানগুলিতে সংজ্ঞায়িত হয় না যা "সেনেক্স" এক্সপ্রেশনটি শূন্য করে তোলে। এর সমতুল্য Ctg x = (cos x) / (sin x) এর কারণে, এটি পূর্ণসংখ্যার সাথে n এর সাথে সমস্ত "n in" এ অনির্দিষ্টকালের জন্য থাকবে।

অর্থাৎ x = nπ এর প্রতিটি মানের মধ্যে একটি উল্লম্ব asympote থাকবে। আপনি বাম দিক থেকে কাছে যাওয়ার সাথে সাথে কোট্যানজেন্টের মান দ্রুত হ্রাস পাবে এবং ডান দিকের কাছাকাছি আসার সাথে সাথে ফাংশনটি অনির্দিষ্টকালের জন্য বাড়বে।

ডোমেইন

কোটজেন্ট ফাংশনের ডোমেনটি {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z set সেট দ্বারা প্রকাশ করা হয়} এটি "x সংখ্যাটির সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত যেমন x এর সাথে n এর চেয়ে পৃথক, পূর্ণসংখ্যার সেটের সাথে n এর সাথে পড়ে" read

মর্যাদাক্রম

কোটানজেন্ট ফাংশনের পরিসর বিয়োগ থেকে প্লাস অনন্ত পর্যন্ত। অতএব, এটি উপসংহারে পৌঁছানো যায় যে এর র‌্যাঙ্কটি আসল সংখ্যাগুলির সেট set

ফ্রিকোয়েন্সি

কোটজেন্ট ফাংশন পর্যায়ক্রমিক এবং এর সময়কাল π এর সমান π এইভাবে, সমতা Ctg x = Ctg (x + nπ) পূর্ণ হয়, যেখানে এন জেড এর অন্তর্গত

আচরণ

এটি একটি বিজোড় ফাংশন, যেহেতু Ctg (-x) = - Ctg x। এইভাবে এটি পরিচিত যে ফাংশন স্থানাঙ্ক্ষিত উত্সের প্রতি সম্মান প্রদর্শন করে। এটি 2 ধারাবাহিক উল্লম্ব asympotes এর মধ্যে অবস্থিত প্রতিটি ব্যবধানে হ্রাসও উপস্থাপন করে।

এটির সর্বাধিক বা ন্যূনতম মান নেই, কারণ এটির উল্লম্ব অ্যাসিপোটোটস আচরণগুলির সাথে এর আনুমানিকতা যেখানে ফাংশনটি অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়।

কোটজেন্ট ফাংশনের শূন্য বা শিকড়গুলি π / 2 এর বিজোড় গুণকগুলিতে পাওয়া যায়। এর অর্থ হল যে Ctg x = 0 টির জন্য x = nπ / 2 ফর্মের মানগুলি বিজোড় পূর্ণসংখ্যার সাথে ধরে।

প্রদর্শন

কোটজেন্ট ফাংশনটির ডেরিভেটিভ প্রমাণ করার জন্য দুটি উপায় রয়েছে।

ত্রিকোণমিতিক পার্থক্য প্রমাণ

এর সমতুল্য সাইন এবং কোসাইন থেকে কোটজেন্ট ফাংশনের ডেরাইভেটিভ প্রমাণিত।

এটি ফাংশনগুলির একটি বিভাগের ডেরাইভেটিভ হিসাবে বিবেচিত হয়

ডাইরিংয়ের পরে বিষয়গুলি গোষ্ঠীভুক্ত করা হয় এবং লক্ষ্য পাইথাগোরিয়ান সনাক্তকরণগুলি অনুকরণ করা

পরিচয় প্রতিস্থাপন এবং পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপ প্রয়োগ, প্রকাশ

ডেরাইভেটিভ সংজ্ঞা দ্বারা প্রমাণ

নিম্নলিখিত প্রকাশটি সংজ্ঞা অনুসারে ডেরাইভেটিভের সাথে মিলে যায়। যেখানে ফাংশনের 2 পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব শূন্যের কাছাকাছি চলে যায়।

আমাদের রয়েছে কটেজেন্টের পরিবর্তে:

যুক্তি এবং পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপের জন্য পরিচয় প্রয়োগ করা হয়

অংকটির ভগ্নাংশ traditionতিহ্যগতভাবে পরিচালিত হয়

বিপরীত উপাদানগুলি নির্মূল করা এবং একটি সাধারণ ফ্যাক্টর গ্রহণ করা, আমরা পাই

পাইথাগোরিয়ান পরিচয় এবং পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপ প্রয়োগ করা

এক্সে মূল্যায়ন করা উপাদানগুলি সীমাটির প্রতি শ্রদ্ধার সাথে ধ্রুবক, তাই তারা এটির যুক্তিটি ছেড়ে দিতে পারে। তারপরে ত্রিকোণমিতিক সীমাগুলির বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করা হয়।

সীমা মূল্যায়ন করা হয়

তারপরে কাঙ্ক্ষিত মানটি না পৌঁছানো পর্যন্ত এটি স্ট্যাক্টর হয়

কোটজেন্টের ডেরিভেটিভটি এভাবে কোসেক্যান্টের বর্গক্ষেত্রের বিপরীত হিসাবে প্রদর্শিত হয়।

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

F (x) ফাংশনের উপর ভিত্তি করে f '(x) এর এক্সপ্রেশনটি সংজ্ঞায়িত করুন

সংশ্লিষ্ট ডেরাইভেশন চেইন বিধি সম্মান করে প্রয়োগ করা হয়

যুক্তি ছড়িয়ে দেওয়া

কখনও কখনও সমাধানগুলি খাপ খাইয়ে নিতে পারস্পরিক বা ত্রিকোণমিতিক পরিচয় প্রয়োগ করা প্রয়োজন।

অনুশীলন 2

এফ (এক্স) এর সাথে সম্পর্কিত ডিফারেনশিয়াল এক্সপ্রেশনটি সংজ্ঞায়িত করুন

ডেরাইভেশন সূত্র অনুযায়ী এবং চেইন বিধি সম্মান

যুক্তিটি উত্পন্ন হয়, যখন বাকিগুলি একই থাকে

সমস্ত উপাদান ডাইভারিং

Baseতিহ্যগত উপায়ে একই বেসের পণ্যগুলি পরিচালনা করছে

সমান উপাদান যুক্ত করা হয় এবং সাধারণ উপাদানটি বের করা হয়

লক্ষণগুলি সরলীকৃত এবং পরিচালিত হয়। সম্পূর্ণভাবে উদ্ভূত অভিব্যক্তির উপায় প্রদান করা

তথ্যসূত্র

1. ত্রিগনোমেট্রিক সিরিজ, খণ্ড ১. এ জাইগমুন্ড। কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয় প্রেস, 2002
2. একক চলকের ক্যালকুলাস। রন লারসন, ব্রুস এইচ। এডওয়ার্ডস। কেনেজ লার্নিং, 10 নভেম্বর 2008
3. ত্রিকোণমিতি এবং বিশ্লেষণী জ্যামিতি সহ ক্যালকুলাস। জন এইচ। স্যাকসন, জন স্যাকসন, ফ্র্যাঙ্ক ওয়াং, ডায়ানা হার্ভে। স্যাকসন পাবলিশার্স, 1988
4. মাল্টিভেয়ারেবল বিশ্লেষণ। সতীশ শিরালি, হরকৃষ্ণ লাল বাসুদেব। স্প্রিংজার সায়েন্স অ্যান্ড বিজনেস মিডিয়া, ১৩ ডিসেম্বর। 2010
5. সিস্টেম ডায়নামিক্স: মডেলিং, সিমুলেশন এবং মেখ্যাট্রোনিক সিস্টেমগুলির নিয়ন্ত্রণ। ডিন সি কর্নোপ্প, ডোনাল্ড এল মার্গোলিস, রোনাল্ড সি রোজেনবার্গ। জন উইলি অ্যান্ড সন্স, Mar মার্চ 2012
6. ক্যালকুলাস: গণিত এবং মডেলিং। উইলিয়াম বাউলড্রি, জোসেফ আর ফিডলার, ফ্রাঙ্ক আর জিওর্ডানো, এড লোদি, রিক ভিট্রেয়। অ্যাডিসন ওয়েসলি লংম্যান, ২ জানুয়ারী 1999