ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব: ধারণা, সূত্র, গণনা, উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

ইউক্লিডিয় দূরত্ব একটি ধনাত্মক সংখ্যা যে একটি স্থান যেখানে উপপাদ্য ব্যবহার এবং ইউক্লিডের জ্যামিতি উপপাদ্য পূর্ণ হয় দুটো বিন্দুর মধ্যে বিচ্ছেদ তার ইঙ্গিত দেয়।

ইউক্লিডিয়ান স্পেসে A এবং B দুটি পয়েন্টের মধ্যকার দূরত্ব হ'ল এই পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে যায় এমন একমাত্র রেখার সাথে সম্পর্কিত ভেক্টর AB এর দৈর্ঘ্য ।

চিত্র 1. লাইন (ওএক্স) দ্বারা গঠিত এক-মাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্থান। বেশ কয়েকটি পয়েন্ট উক্ত স্থান, তাদের স্থানাঙ্ক এবং দূরত্বগুলিতে দেখানো হয়। (রিকার্ডো পেরেজ প্রস্তুত)।

মানুষ যে স্থানটি উপলব্ধি করে এবং আমরা যেখানে স্থানান্তর করি তা ত্রিমাত্রিক স্থান (3-ডি), যেখানে ইউক্লিডের জ্যামিতির অক্ষ এবং উপপাদ্যগুলি পরিপূর্ণ হয়। দ্বি-মাত্রিক উপ-স্থান (প্লেন) এবং এক-মাত্রিক উপ-স্থান (লাইন) এই স্থানটিতে রয়েছে।

ইউক্লিডিয়ান স্পেসগুলি এক-মাত্রিক (1-ডি), দ্বি-মাত্রিক (2-ডি), ত্রিমাত্রিক (3-ডি), বা এন-ডাইমেনশনাল (এনডি) হতে পারে।

এক্স-ডাইমেনশনাল স্পেস এক্সের পয়েন্টগুলি হ'ল যেগুলি ওরিয়েন্টেড লাইন (ওএক্স) এর সাথে সম্পর্কিত, ও থেকে এক্স এর দিকটি ইতিবাচক দিক। এই লাইনের পয়েন্টগুলি সনাক্ত করতে, কার্টেসিয়ান সিস্টেমটি ব্যবহৃত হয়, যা লাইনের প্রতিটি বিন্দুতে একটি সংখ্যা নির্ধারণ করে।

সূত্র

রেখার উপর অবস্থিত পয়েন্ট A এবং B এর মধ্যে ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব ডি (এ, বি) তাদের এক্স স্থানাঙ্কের পার্থক্যের বর্গক্ষেত্রের বর্গমূল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

d (A, B) = √ ((এক্সবি - এক্সএ) ^ 2)

এই সংজ্ঞাটি গ্যারান্টি দেয় যে: দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব সর্বদা একটি ধনাত্মক পরিমাণ। এবং যে A এবং B এর দূরত্ব B এবং A এর মধ্যকার দূরত্বের সমান is

চিত্র 1 এ রেখা (ওএক্স) দ্বারা গঠিত এক-মাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্থান এবং উল্লিখিত লাইনের বিভিন্ন পয়েন্ট দেখায় shows প্রতিটি পয়েন্টের একটি সমন্বয় থাকে:

পয়েন্ট এ এর ​​স্থানাঙ্ক XA = 2.5, পয়েন্ট বি স্থানাঙ্ক XB = 4 এবং পয়েন্ট সি স্থানাঙ্ক XC = -2.5 রয়েছে

d (A, B) = √ ((4 - 2.5) 2) = 1.5

d (বি, এ) = √ ((2.5) - 4) 2) = 1.5

d (এ, সি) = √ ((- 2.5 - 2.5) 2) = 5.0

ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব দুটি মাত্রায়

দ্বিমাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্থানটি একটি বিমান। ইউক্লিডিয়ান বিমানের পয়েন্টগুলি ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির অক্ষগুলি পূর্ণ করে, উদাহরণস্বরূপ:

- একটি একক লাইন দুটি পয়েন্টের মধ্য দিয়ে যায়।

- প্লেনের তিনটি পয়েন্ট একটি ত্রিভুজ গঠন করে যার অভ্যন্তরীণ কোণগুলি সর্বদা 180º পর্যন্ত যোগ করে º

- একটি ডান ত্রিভুজটিতে, হাইপেনটেনিউজের বর্গক্ষেত্রটি এর পাগুলির স্কোয়ারের সমান।

দুটি মাত্রায়, একটি বিন্দুতে এক্স এবং ওয়াই সমন্বয় থাকে।

উদাহরণস্বরূপ একটি পয়েন্ট পি এর স্থানাঙ্ক (এক্সপি, ওয়াইপি) এবং একটি পয়েন্ট কিউ স্থানাঙ্ক (এক্সকিউ, ওয়াইকিউ) থাকে।

P এবং Q বিন্দুর মধ্যে ইউক্লিডিয়ান দূরত্বটি নিম্নলিখিত সূত্রের সাহায্যে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

d (পি, কিউ) = √ ((এক্সকিউ - এক্সপি) + 2 + (ওয়াইকিউ - ওয়াইপি) ^ 2)

এটি লক্ষ করা উচিত যে এই সূত্রটি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সমতুল্য, চিত্র 2 তে দেখানো হয়েছে।

চিত্র 2. বিমানে পি এবং কিউ দুইটি পয়েন্টের মধ্যকার দূরত্ব পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য পূর্ণ করে। (রিকার্ডো পেরেজ প্রস্তুত)।

নন-ইউক্লিডিয়ান উপরিভাগ

সমস্ত দ্বিমাত্রিক স্পেস ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির সাথে খাপ খায় না। একটি গোলকের পৃষ্ঠটি দ্বিমাত্রিক স্থান।

একটি গোলাকার পৃষ্ঠের ত্রিভুজের কোণগুলি 180º পর্যন্ত যোগ করে না এবং এর সাথে পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্য পরিপূর্ণ হয় না, সুতরাং একটি গোলাকার পৃষ্ঠটি ইউক্লিডের অক্ষগুলি পূরণ করে না।

N মাত্রায় ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব

স্থানাঙ্কের ধারণাটি আরও বড় মাত্রায় বাড়ানো যেতে পারে:

- 2-ডি পয়েন্টে পি এর সমন্বয় (এক্সপি, ওয়াইপি) রয়েছে

- 3-ডিতে একটি বিন্দু কিউ এর সমন্বয় থাকে (এক্সকিউ, ওয়াইকিউ, জেডকিউ)

- 4-ডি-তে পয়েন্ট আর এর স্থানাঙ্ক থাকবে (এক্সআর, ওয়াইআর, জেডআর, ডাব্লুআর)

- এনডিতে একটি পয়েন্ট পি এর স্থানাঙ্ক থাকবে (পি 1, পি 2, পি 3,….., পিএন)

এন-ডাইমেনশনাল ইউক্লিডিয়ান স্পেসের দুটি এবং পয়েন্টের দু'র মধ্যবর্তী দূরত্বটি নিম্নলিখিত সূত্র দিয়ে গণনা করা হয়:

d (পি, কিউ) = √ ((কিউ 1 - পি 1) ^ 2 + (কিউ 2 - পি 2) + 2 + …….. + (কিউএন - পিএন) ^ 2)

অন্য নির্দিষ্ট পয়েন্ট পি (কেন্দ্র) থেকে সমানতুলক একটি এন-ডাইমেনশনাল ইউক্লিডিয়ান স্পেসের সমস্ত পয়েন্ট Q এর লোকস একটি এন-ডাইমেনশনাল হাইপারস্পিয়ার গঠন করে।

ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব কীভাবে গণনা করা যায়

ইউক্লিডিয়ান ত্রি-মাত্রিক স্থানটিতে অবস্থিত দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্বটি কীভাবে গণনা করা হবে তা নীচে দেখানো হয়েছে।

ধরুন কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের বিন্দু A:(2, 3, 1) দ্বারা প্রদত্ত x, y, z) এবং স্থানাঙ্কগুলির বিন্দু B:(-3, 2, 2)।

আমরা এই পয়েন্টগুলির মধ্যে দূরত্ব নির্ধারণ করতে চাই, যার জন্য সাধারণ সম্পর্ক তৈরি হয়:

d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2)

d (এ, বি) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5,196

উদাহরণ

পি এবং কিউ দুটি পয়েন্ট রয়েছে কার্তেসিয়ান স্থানাঙ্কগুলির পয়েন্ট প, পি দ্বারা প্রদত্ত x, y, z) এবং স্থানাঙ্কগুলির বিন্দু Q:(-3, 2, 1)।

উভয় পয়েন্টের সংযোগকারী সেগমেন্টের মিডপয়েন্ট এম এর স্থানাঙ্কগুলি খুঁজতে বলা হয়।

অজানা পয়েন্ট এম এর স্থানাঙ্ক (এক্স, ওয়াই, জেড) আছে বলে ধরে নেওয়া হচ্ছে।

যেহেতু এম এর মধ্যবিন্দু, তাই এটি অবশ্যই সত্য হবে যে ডি (পি, এম) = ডি (কিউ, এম), তাই ডি (পি, এম) = 2 = ডি (কিউ, এম) ^ 2 অবশ্যই সত্য হতে হবে:

(এক্স - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (জেড - 1) ^ 2 = (এক্স - (-3)) ^ 2 + (ওয়াই - 2) ^ 2 + (জেড - 1) ^ 2

এই ক্ষেত্রে হিসাবে, তৃতীয় পদটি উভয় সদস্যের সমান, পূর্বের অভিব্যক্তিটি সরল করে:

(এক্স - 2) ^ 2 + (ওয়াই - 3) ^ 2 = (এক্স + 3) ^ 2 + (ওয়াই - 2) ^ 2

এরপরে আমাদের দুটি অজানা এক্স এবং ওয়াইয়ের একটি সমীকরণ রয়েছে the সমস্যাটি সমাধান করার জন্য আর একটি সমীকরণ প্রয়োজন।

পয়েন্ট এম লাইনটি পি এবং কিউ পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে যায় যা আমরা নিম্নলিখিত হিসাবে গণনা করতে পারি:

প্রথমে আমরা লাইনের পরিচালক ভেক্টর পিকিউ খুঁজে পাই: পিকিউ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>।

তারপরে পিএম = ওপি + একটি পিকিউ, যেখানে ওপি পয়েন্ট পি এর অবস্থান ভেক্টর এবং এটি একটি পরামিতি যা আসল সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত।

উপরের সমীকরণটি রেখার ভেক্টর সমীকরণ হিসাবে পরিচিত, কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে নিম্নলিখিত রূপটি গ্রহণ করে:

<এক্স -2, ওয়াই -3, জেড -1> = <2, 3, 1> + এ <-5, -1, 0> = <2 - 5 এ, 3 - এ, 0>

আমাদের সাথে সম্পর্কিত উপাদানগুলির সমতুল্য:

এক্স - 2 = 2-5 এ; Y - 3 = 3 -a; জেড - 1 = 0

এটি, এক্স = 4 - 5 এ, ওয়াই = 6 - এ, অবশেষে জেড = 1।

এটি চতুষ্কোণ প্রকাশে প্রতিস্থাপিত হয় যা X এর সাথে Y সম্পর্কিত:

(4 - 5 এ - 2) ^ 2 + (6 - এ - 3) ^ 2 = (4 - 5 এ + 3) ^ 2 + (6 - এ - 2) ^ 2

এটি সরল করা হয়েছে:

(2 - 5a) ^ 2 + (3 -a) ^ 2 = (7 - 5 এ) + 2 + (4 - ক) ^ 2

এখন উদ্ঘাটন:

4 + 25 এ ^ 2 - 20 এ + 9 + এ ^ 2 - 6 এ = 49 + 25 এ ^ 2 - 70 এ + 16 + এ ^ 2 - 8 এ

এটি সরল করা হয়েছে, উভয় সদস্যের শর্তাদির মতো বাতিল করা হচ্ছে:

4 - 20 এ + 9 - 6 এ = 49 - 70 এ + 16 - 8 এ

প্যারামিটারটি সাফ করা হয়েছে:

52 এ = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 এর ফলাফল 1 = 1।

অর্থাৎ, এক্স = 4 - 5, ওয়াই = 6 - 1, শেষ পর্যন্ত জেড = 1।

পরিশেষে আমরা বিভাগটির মিডপয়েন্ট এম এর কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কগুলি পাই:

এম: (-1, 5, 1)

তথ্যসূত্র

1. লেহম্যান সি। (1972) বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি। Uteha।
2. Superprof। দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: সুপারপ্রফেস
3. UNAM। অ্যাফাইন সাবলাইনার বহুগুণের মধ্যে দূরত্ব। থেকে উদ্ধার করা: prometeo.matem.unam.mx/
4. উইকিপিডিয়া। ইউক্লিডীয় দূরত্ব. পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.com.com থেকে
5. উইকিপিডিয়া। ইউক্লিডিয়ান স্থান। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: es.wikedia.com.com থেকে