পদগুলির গোষ্ঠীকরণের দ্বারা সাধারণ ফ্যাক্টর: উদাহরণ, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

পদ গোষ্ঠীবদ্ধ দ্বারা সাধারণ ফ্যাক্টর একটি বীজগাণিতিক পদ্ধতির ব্যবহার কারণের আকারে কিছু বীজগাণিতিক এক্সপ্রেশন লিখতে অনুমতি দেয়। এই লক্ষ্য অর্জনের জন্য, আপনাকে অবশ্যই প্রথমে ভাবটি সঠিকভাবে গোষ্ঠীভুক্ত করতে হবে এবং লক্ষ্য রাখতে হবে যে এইভাবে গঠিত প্রতিটি গ্রুপ কার্যত একটি সাধারণ উপাদান রয়েছে factor

কৌশলটি সঠিকভাবে প্রয়োগ করতে কিছু অনুশীলনের প্রয়োজন, তবে কোনও সময় আপনি এটিকে আয়ত্ত করতে পারেন না। আসুন প্রথমে ধাপে ধাপে বর্ণিত একটি উদাহরণস্বরূপ উদাহরণটি দেখুন। তারপরে পাঠকরা তাদের যে অনুশীলনগুলি শিখেছে তা প্রয়োগ করতে পারে যা পরে প্রকাশিত হবে।

চিত্র 1. গোষ্ঠীগত শর্তাবলী দ্বারা একটি সাধারণ ফ্যাক্টর গ্রহণ বীজগণিতীয় অভিব্যক্তি দিয়ে কাজ করা সহজ করে তোলে। সূত্র: পিক্সাবে।

উদাহরণস্বরূপ ধরুন আপনাকে নিম্নলিখিত এক্সপ্রেশনটি ফ্যাক্ট করতে হবে:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

এই বীজগণিত প্রকাশটি 4 টি মনোমালিয়াল বা পদ নিয়ে গঠিত, + এবং - চিহ্ন দ্বারা পৃথক হয়:

2x ², 2xy, -3zx, -3zy

ঘনিষ্ঠভাবে তাকান, এক্স প্রথম তিনটির কাছে সাধারণ তবে শেষের নয়, দ্বিতীয়টি দ্বিতীয় এবং চতুর্থ এবং জে তৃতীয় এবং চতুর্থ হিসাবে সাধারণ is

সুতরাং নীতিগতভাবে একই সাথে চারটি শর্তাবলীর পক্ষে কোনও সাধারণ কারণ নেই, তবে পরবর্তী বিভাগে এগুলি শ্রেণীবদ্ধ করা থাকলে, সম্ভবত এমন একজন উপস্থিত হবে যা দুটি বা ততোধিকের পণ্য হিসাবে ভাবটি লিখতে সহায়তা করে কারণের।

উদাহরণ

ফ্যাক্টর এক্সপ্রেশন: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

পদক্ষেপ 1: গ্রুপ

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

পদক্ষেপ 2: প্রতিটি দলের সাধারণ ফ্যাক্টরটি সন্ধান করুন

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

আমি মনে করি: নেতিবাচক চিহ্নটিও একটি সাধারণ উপাদান যা বিবেচনায় নেওয়া উচিত।

এখন নোট করুন যে প্রথমটি (x + y) দুটি গ্রুপে ভাগ করে পুনরুক্ত করা হয়েছে। এটিই সাধারণ বিষয় যা অনুসন্ধান করা হচ্ছিল।

পদক্ষেপ 3: সম্পূর্ণ এক্সপ্রেশন ফ্যাক্টর

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

পূর্ববর্তী ফলাফলের সাথে, ফ্যাক্টরিংয়ের লক্ষ্য পৌঁছে গেছে, যা শর্তাবলীর সংযোজন এবং বিয়োগের উপর ভিত্তি করে একটি বীজগণিত প্রকাশকে পরিবর্তিত করা ছাড়া অন্য কোনও নয়, আমাদের উদাহরণে: (x +) y) এবং (2x - 3z)।

গ্রুপিংয়ের মাধ্যমে সাধারণ ফ্যাক্টর সম্পর্কে গুরুত্বপূর্ণ প্রশ্ন

প্রশ্ন 1: ফলাফলটি সঠিক তা কীভাবে জানবেন?

উত্তর: বিতরণের সম্পত্তি প্রাপ্ত ফলাফলের জন্য প্রয়োগ করা হয় এবং হ্রাস এবং সরলকরণের পরে, এইভাবে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিটি অবশ্যই মূলটির সাথে মেলে, যদি না হয় তবে ত্রুটি রয়েছে।

পূর্ববর্তী উদাহরণে, আমরা ফলাফলটি বিপরীতে কাজ করি, এটি সঠিক কিনা তা পরীক্ষা করতে:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

যেহেতু সংযোজনগুলির ক্রম যোগফলকে পরিবর্তন করে না, বিতরণযোগ্য সম্পত্তি প্রয়োগের পরে চিহ্নগুলি সহ সমস্ত মূল শর্ত ফিরে আসে, অতএব, অনুষঙ্গটি সঠিক।

প্রশ্ন 2: এটি অন্য উপায়ে গ্রুপ করা যেতে পারে?

উত্তর: বীজগণিতীয় এক্সপ্রেশন রয়েছে যা একের অধিক ফর্মেশন এবং অন্যদেরকে মঞ্জুরি দেয় না। নির্বাচিত উদাহরণে পাঠক নিজে থেকে অন্যান্য সম্ভাবনার চেষ্টা করতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ এই জাতীয়করণ:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (² অক্সি - 3 এজি)

এবং আপনি পরীক্ষা করতে পারেন যে ফলাফলটি এখানে যেমন পাওয়া গেছে ঠিক একইরকম। অনুকূল গ্রুপিং সন্ধান করা অনুশীলনের বিষয়।

প্রশ্ন 3: বীজগণিত প্রকাশ থেকে একটি সাধারণ কারণ কেন গ্রহণ করা প্রয়োজন?

উত্তর: কারণ এমন অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে যেখানে ফ্যাক্টার্ডযুক্ত অভিব্যক্তি গণনা সহজ করে তোলে। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আপনি 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy 0 এর সমান সেট করতে চান ? সম্ভাবনাগুলি কী কী?

এই প্রশ্নের উত্তরের জন্য, ফ্যাক্টর করা সংস্করণটি মূল বিকাশের তুলনায় অনেক বেশি কার্যকর। এটি এভাবে বলা হয়েছে:

(x + y) (2x - 3z) = 0

এক্সপ্রেশনটি 0 এর মূল্য হবার একটি সম্ভাবনা হ'ল z এর মান নির্বিশেষে x = -y। এবং অন্যটি হ'ল x = (3/2) z, y এর মান নির্বিশেষে।

অনুশীলন

- অনুশীলনী 1

পদগুলির গোষ্ঠীভুক্ত করে নিম্নলিখিত ভাবের সাধারণ উপাদানটি বের করুন:

ax + ay + bx + by

সমাধান

প্রথম দুটিটি সাধারণ ফ্যাক্টর "এ" এবং শেষ দুটি সাধারণ বি "বি" সহ গ্রুপিত করা হয়:

কুড়াল + অ্যায় + বিএক্স + বাই = এ (এক্স + ওয়াই) + বি (এক্স + ওয়াই)

এটি হয়ে গেলে, একটি নতুন সাধারণ উপাদান প্রকাশিত হয় যা (x + y), যাতে:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

গ্রুপ করার আরেকটি উপায়

এই অভিব্যক্তি গ্রুপিংয়ের অন্য একটি উপায় সমর্থন করে। শর্তাবলী পুনরায় সাজানো হয়েছে এবং এক্স রয়েছে এমন একটি এবং একটি গ্রুপ রয়েছে যা y রয়েছে এমনদের সাথে একটি গোষ্ঠী তৈরি করা হয় তা দেখে আসুন:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

এইভাবে নতুন সাধারণ উপাদানটি হ'ল (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

যা পরীক্ষা করা প্রথম গ্রুপিং থেকে একই ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়।

- অনুশীলন 2

নিম্নলিখিত বীজগণিতীয় প্রকাশটি দুটি কারণের পণ্য হিসাবে লিখতে হবে:

3 এ ³ - 3 এ ² বি + 9ab ² -এ ² + আব -3 বি ²

সমাধান

এই এক্সপ্রেশন 6 পদ আছে। আসুন প্রথম এবং চতুর্থ, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় এবং শেষ পর্যন্ত পঞ্চম এবং ষষ্ঠকে দলবদ্ধ করার চেষ্টা করি:

3 এ ³ - 3 এ ² বি + 9 এবি ² -এ ² + আব ^-3 বি ² = (3 এ ³ -এ ²) + (- 3 এ ² বি + ⁹ বি ²) + (আব -3 বি ²)

এখন প্রতিটি প্রথম বন্ধনী ফ্যাক্টরড:

= (3 এ ³ -এ ²) + (- 3 এ ² বি + ⁹ বি ²) + (আব -3 বি ²) = এ ² (3 এ - 1) + 3 বি (3 বি – এ) + বি (এ -3 বি)

প্রথম নজরে দেখে মনে হচ্ছে পরিস্থিতি জটিল হয়ে উঠেছে, তবে পাঠককে নিরুৎসাহিত করা উচিত নয়, যেহেতু আমরা শেষ শব্দটি আবার লিখতে চলেছি:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - খ (3 বি-এ)

শেষ দুটি পদ এখন একটি সাধারণ ফ্যাক্টর, যা (3 বি-এ), তাই তারা ফ্যাক্টর করা যেতে পারে। প্রথম পদের একটি ² (3 এ - 1) এর দৃষ্টিভঙ্গি না হারানো খুব গুরুত্বপূর্ণ, যা অবশ্যই এটির সাথে কাজ না করে থাকলেও সমস্ত কিছু সংযোজন হিসাবে চালিয়ে যেতে হবে:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - বি (3 বি-এ) = এ ² (3 এ - 1) + (3 বি-এ) (3 বি-বি)

এক্সপ্রেশনটি দুটি পদে হ্রাস পেয়েছে এবং শেষেরটিতে একটি নতুন সাধারণ ফ্যাক্টর আবিষ্কার হয়েছে, যা "বি"। এখন এটি রয়ে গেছে:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + বি (3 বি-এ) (3a-1)

প্রদর্শিত পরবর্তী সাধারণ উপাদানটি 3 এ - 1:

a ² (3a - 1) + বি (3 বি-এ) (3 এ-1) = (3 এ - 1)

বা যদি আপনি বন্ধনী ছাড়া পছন্দ করেন:

(3 এ - 1) = (3 এ - 1) (একটি ² –ab + 3 বি ²)

পাঠক কি গ্রুপিংয়ের অন্য কোনও উপায় খুঁজে পেতে পারেন যা এই একই ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়?

চিত্র 2. প্রস্তাবিত ফ্যাক্টরিং অনুশীলন। সূত্র: এফ.জাপাটা।

তথ্যসূত্র

1. বালডোর, এ। 1974. প্রাথমিক বীজগণিত। সাংস্কৃতিক ভেনিজোলানা এসএ
2. জিমনেজ, আর। 2008. বীজগণিত। প্রেন্টিস হল.
3. ফ্যাক্টরিংয়ের প্রধান বিষয়। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: জুলিওপ্রোফ.নেট থেকে।
4. UNAM। বুনিয়াদি গণিত: পদ বিভাজন দ্বারা ফ্যাক্টরাইজেশন। অ্যাকাউন্টিং এবং প্রশাসন অনুষদ।
5. জিল, ডি 1984. বীজগণিত এবং ত্রিকোণমিতি। ম্যাকগ্রা হিল