- সংজ্ঞা
- মামলা
- মামলা 1
- উদাহরণ
- মামলা 2
- উদাহরণ
- মামলা 3
- উদাহরণ
- মামলা 4
- উদাহরণ
- অ্যাপ্লিকেশন
- ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস
- উদাহরণ 1
- উদাহরণ 2
- উদাহরণ 3
- গণঅ্যাকশন আইন
- উদাহরণ
- ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ: লজিস্টিক সমীকরণ
- উদাহরণ
- তথ্যসূত্র
আংশিক ভগ্নাংশ polynomials, যা হর একটি রৈখিক বা দ্বিঘাত বহুপদী হতে হবে এবং এছাড়াও পারেন দ্বারা গঠিত একটি পাওয়ারে উত্থাপিত হতে পারে ভগ্নাংশ হয়। কখনও কখনও যখন আমাদের যুক্তিযুক্ত ফাংশন থাকে তখন আংশিক ভগ্নাংশ বা সরল ভগ্নাংশের যোগফল হিসাবে এই ফাংশনটি পুনরায় লেখা খুব দরকারী।
এটি তাই কারণ এই পদ্ধতিতে আমরা এই ফাংশনগুলি আরও ভালভাবে পরিচালনা করতে পারি, বিশেষত ক্ষেত্রে যেখানে অ্যাপ্লিকেশনটি সংহত করা প্রয়োজন। একটি যৌক্তিক ফাংশন হ'ল দুটি বহুত্বের মধ্যে ভাগফল হয় এবং সেগুলি সঠিক বা অনুচিত হতে পারে।
অংকটির বহিরাগতের ডিগ্রি যদি ডিনোমিনেটরের চেয়ে কম হয়, তবে এটি যুক্তিযুক্ত সঠিক ফাংশন বলে; অন্যথায়, এটি একটি অযৌক্তিক যুক্তিযুক্ত ফাংশন হিসাবে পরিচিত।
সংজ্ঞা
যখন আমাদের একটি অযৌক্তিক যৌক্তিক ফাংশন থাকে, আমরা সংখ্যার বহুপদীকে বিভাজক দ্বারা বিভাজন করতে পারি এবং এভাবে বিভাজন অ্যালগরিদমকে t (x) + s (x) / হিসাবে লিখতে ভগ্নাংশ পি (এক্স) / কিউ (এক্স) পুনরায় লিখতে পারি / q (x), যেখানে t (x) একটি বহুপদী এবং s (x) / q (x) একটি যথাযথ যৌক্তিক কাজ।
একটি আংশিক ভগ্নাংশটি বহুবচনগুলির যথাযথ ক্রিয়াকলাপ, যার ডিনোমিনেটর রূপ (ax + b) n বা (ax 2 + bx + c) n এর হয়, যদি বহুবর্ষীয় অক্ষ 2 + বিএক্স + সি এর আসল শিকড় না থাকে এবং n একটি সংখ্যা হয় প্রাকৃতিক.
আংশিক ভগ্নাংশে যুক্তিযুক্ত ফাংশনটি পুনরায় লেখার জন্য, প্রথমে করণীয়টি হ'ল লুই এবং / অথবা চতুর্ভুজযুক্ত উপাদানগুলির গুণক হিসাবে ডিনোমিনেটর কিউ (এক্স) ফ্যাক্টর। একবার এটি হয়ে গেলে আংশিক ভগ্নাংশ নির্ধারিত হয়, যা এই কারণগুলির প্রকৃতির উপর নির্ভর করে।
মামলা
আমরা বেশ কয়েকটি কেস আলাদাভাবে বিবেচনা করি।
মামলা 1
Q (x) এর গুণকগুলি সমস্ত লিনিয়ার এবং কোনওটিই পুনরাবৃত্তি হয় না। ঐটাই বলতে হবে:
q (x) = (a 1 x + b 1) (a 2 x + b 2)… (a s x + b s)
কোনও লিনিয়ার ফ্যাক্টর অপরটির মতো নয়। যখন এই কেসটি ঘটে তখন আমরা লিখব:
পি (এক্স) / কিউ (এক্স) = এ 1 / (একটি 1 এক্স + বি 1) + এ 2 / (একটি 2 এক্স + বি 2)… + এএস / (একটি এস এক্স + বি এস)।
যেখানে A 1, A 2,…, A গুলি হ'ল ধ্রুবক।
উদাহরণ
আমরা যৌক্তিক কাজটিকে সাধারণ ভগ্নাংশে বিভক্ত করতে চাই:
(x - 1) / (x 3 + 3x 2 + 2x)
আমরা ডিনোমিনেটরকে এগিয়ে দেই, তা হ'ল:
x 3 + 3x 2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)
তারপর:
(x - 1) / (x 3 + 3x 2 + 2x) = (এক্স - 1) / এক্স (এক্স + 1) (এক্স + 2)
(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = এ / এক্স + বি / (এক্স + 1) + সি / (এক্স + 2)
সর্বনিম্ন সাধারণ একাধিক প্রয়োগ করে, এটি পাওয়া যায়:
x - 1 = এ (x + 1) (x + 2) + বি (এক্স + 2) এক্স + সি (এক্স + 1) এক্স
আমরা ধ্রুবক এ, বি এবং সি এর মানগুলি পেতে চাই যা প্রতিটি শর্ত বাতিল করে এমন শিকড়কে প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে পাওয়া যায়। এক্স এর জন্য 0 প্রতিস্থাপন:
0 - 1 = এ (0 + 1) (0 + 2) + বি (0 + 2) 0 + সি (0 + 1) 0।
- 1 = 2A
এ = - ১/২।
প্রতিস্থাপন - এক্স এর জন্য আমাদের 1:
- 1 - 1 = এ (- 1 + 1) (- 1 + 2) + বি (- 1 + 2) (- 1) + সি (- 1 + 1) (- 1)।
- 2 = - খ
খ = 2।
প্রতিস্থাপন - 2 এক্স এর জন্য আমাদের:
- 2 - 1 = এ (- 2 + 1) (- 2 + 2) + বি (- 2 + 2) (- 2) + সি (- 2 + 1) (- 2)
–3 = 2 সি
সি = –3/2।
এইভাবে A = –1/2, B = 2 এবং C = –3/2 এর মানগুলি পাওয়া যায়।
এ, বি এবং সি এর মানগুলি পাওয়ার জন্য অন্য একটি পদ্ধতি রয়েছে যদি সমীকরণের ডান দিকে থাকে তবে এক্স - ১ = এ (x + 1) (এক্স + ২) + বি (এক্স + ২) এক্স + সি (এক্স + 1) x আমরা শর্তাদি একত্রিত করি, আমাদের আছে:
x - 1 = (A + B + C) x 2 + (3A + 2B + C) x + 2A।
যেহেতু এটি বহুবর্ষের সমতা, তাই আমাদের বাম দিকের সহগগুলি ডান পাশের সমান হতে হবে। নিম্নলিখিত সমীকরণের সিস্টেমে এটির ফলাফল:
এ + বি + সি = ০
3 এ + 2 বি + সি = 1
2 এ = - 1
এই সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করে আমরা A = –1/2, B = 2, এবং C = -3/2 ফলাফলগুলি পাই।
পরিশেষে, প্রাপ্ত মানগুলি প্রতিস্থাপন করে আমাদের কাছে এটি রয়েছে:
(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2))।
মামলা 2
Q (x) এর গুণকগুলি সমস্ত লিনিয়ার এবং কিছু পুনরাবৃত্তি হয়। মনে করুন যে (কুঠার + বি) এমন একটি উপাদান যা "গুলি" বার পুনরাবৃত্তি করে; তারপরে, এই ফ্যাক্টরের সাথে tial s tial আংশিক ভগ্নাংশের যোগফল।
এ এস / (কুড়াল + বি) গুলি + এ -এস -১ / (কুড়াল + বি) এস -১ + + + এ 1 / (কুড়াল + বি)।
যেখানে A s, A s-1,…, A 1 নির্ধারিত স্থির হয়। নিম্নলিখিত ধরণের সাথে আমরা দেখাব যে কীভাবে এই ধ্রুবকগুলি নির্ধারণ করা যায়।
উদাহরণ
আংশিক ভগ্নাংশগুলি বিভক্ত করুন:
(x - 1) / (এক্স 2 (এক্স - 2) 3)
আমরা আংশিক ভগ্নাংশের যোগফল হিসাবে যুক্তিযুক্ত ফাংশনটি নিম্নরূপ লিখি:
(x - 1) / (x 2 (x - 2) 3) = এ / এক্স 2 + বি / এক্স + সি / (এক্স - 2) 3 + ডি / (এক্স - 2) 2 + ই / (এক্স - 2))।
তারপর:
x - 1 = এ (এক্স - 2) 3 + বি (এক্স - 2) 3 এক্স + সিক্স 2 + ডি (এক্স - 2) এক্স 2 + ই (এক্স - 2) 2 এক্স 2
এক্স এর জন্য 2 প্রতিস্থাপন, আমাদের এটি রয়েছে:
7 = 4 সি, সি, 7/4।
এক্স এর জন্য 0 প্রতিস্থাপন:
- 1 = –8A বা এ = 1/8।
পূর্ববর্তী সমীকরণ এবং বিকাশে এই মানগুলি প্রতিস্থাপন করা, আমাদের কাছে এটি রয়েছে:
x - 1 = 1/8 (x 3 - 6x 2 + 12x - 8) + বিএক্স (x 3 - 6x 2 + 12x - 8) + 7 / 4x 2 + ডিএক্স 3 - 2 ডিএক্স 2 + এক্স 2 (এক্স 2 - 4 এক্স + 4)
x - 1 = (বি + ই) x 4 + (1/8 - 6 বি + ডি - 4 ই) এক্স 3 + (- ¾ + 12 বি + 7/4 - 2 ডি + 4 ই) এক্স 2 + (3/2 - 8 বি) x - 1।
সমান গুণফলগুলি, আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণের সিস্টেমটি পাই:
বি + ই = 0;
1 / 8-6 বি + ডি -4 ই = 1;
- 3/4 + 12 বি + 7/4 - 2 ডি + 4 ই = 0
3/2 - 8 বি = 0।
সিস্টেমটি সমাধান করা, আমাদের রয়েছে:
বি = 3/16; ডি = 5/4; ই = - 3/16।
এই জন্য, আমাদের করতে হবে:
(x - 1) / (এক্স 2 (এক্স - 2) 3) = (1/8) / এক্স 2 + (3/16) / এক্স + (7/4) / (এক্স - 2) 3 + (5 / 4) / (এক্স - 2) 2 - (3/16) / (এক্স - 2)
মামলা 3
কিউ (এক্স) এর গুণকগুলি লিনিয়ার চতুর্ভুজ, কোনও পুনরাবৃত্তি চতুর্ভুজযুক্ত কারণ ছাড়াই। এই ক্ষেত্রে, চতুর্ভুজ গুণক (অক্ষ 2 + বিএক্স + সি) আংশিক ভগ্নাংশ (অক্ষ + বি) / (কুড়াল 2 + বিএক্স + সি) এর সাথে মিলিত হবে, যেখানে ধ্রুবক A এবং B নির্ধারিত হবে।
নিম্নলিখিত ক্ষেত্রে কীভাবে এই ক্ষেত্রে এগিয়ে যেতে হবে তা দেখায়
উদাহরণ
সাধারণ ভগ্নাংশ a (x + 1) / (x 3 - 1) কে বিভক্ত করুন ।
প্রথমে আমরা ডিনোমিনেটরকে এগিয়ে নিয়ে যাই, যা আমাদের ফলস্বরূপ দেয়:
(x - 1) = (x - 1) (x + x +1)।
আমরা লক্ষ করতে পারি যে (x 2 + x + 1) একটি অদম্য চতুষ্কোণ বহুপদী; এটির মূল শিকড় নেই। আংশিক ভগ্নাংশে এর ক্ষয়টি নিম্নরূপ হবে:
(x + 1) / (এক্স - 1) (এক্স 2 + এক্স +1) = এ / (এক্স - 1) + (বিএক্স + সি) / (এক্স 2 + এক্স +1)
এটি থেকে আমরা নিম্নলিখিত সমীকরণটি অর্জন করি:
x + 1 = (এ + বি) এক্স 2 + (এ - বি + সি) এক্স + (এ - সি)
বহুবর্ষের সমতা ব্যবহার করে আমরা নিম্নলিখিত সিস্টেমটি পাই:
এ + বি = 0;
এ-বি + সি = 1;
এ-সি = 1;
এই সিস্টেম থেকে আমাদের এ = 2/3, বি = - 2/3 এবং সি = 1/3 রয়েছে। প্রতিস্থাপন, আমাদের যে আছে:
(x + 1) / (x - 1) (x 2 + x +1) = 2/3 (এক্স - 1) - (2x + 1) / 3 (এক্স 2 + এক্স +1)।
মামলা 4
পরিশেষে, কেস 4 হ'ল এক যেখানে q (x) এর গুণকগুলি লিনিয়ার এবং চতুর্ভুজ, যেখানে কিছু রৈখিক চতুর্ভুজ কারণগুলি পুনরাবৃত্তি হয়।
এই ক্ষেত্রে, (অক্ষ 2 + বিএক্স + সি) যদি একটি চতুর্ভুজযুক্ত ফ্যাক্টর যা "s" বার পুনরাবৃত্তি করে, তবে ফ্যাক্টরের সাথে সম্পর্কিত আংশিক ভগ্নাংশ (অক্ষ 2 + বিএক্স + সি) হবে:
(A 1 x + B) / (ax 2 + bx + c) +… + (A s-1 x + B s-1) / (ax 2 + bx + c) s-1 + (A s x + B s) / (ax 2 + bx + c) s
যেখানে A s, A s-1,…, A এবং B s, B s-1,…, B নির্ধারিত স্থির হয়।
উদাহরণ
আমরা নিম্নলিখিত যুক্তিযুক্ত ক্রিয়াকে আংশিক ভগ্নাংশে বিভক্ত করতে চাই:
(x - 2) / (x (x 2 - 4x + 5) 2)
যেহেতু x 2 - 4x + 5 একটি অদম্য চতুষ্কোণ গুণক, তাই আমাদের আংশিক ভগ্নাংশের ক্ষয় দ্বারা দেওয়া হয়েছে:
(x - 2) / (x (x 2 - 4x + 5) 2) = এ / এক্স + (বিএক্স + সি) / (এক্স 2 - 4 এক্স +5) + (ডিএক্স + ই) / (এক্স 2 - 4 এক্স + 5) 2
সরলকরণ ও বিকাশকারী আমাদের রয়েছে:
x - 2 = A (x 2 - 4x + 5) 2 + (Bx + C) (x 2 - 4x + 5) x + (ডিএক্স + ই) x
x - 2 = (এ + বি) এক্স 4 + (- 8 এ - 4 বি + সি) এক্স 3 + (26 এ + 5 বি - 4 সি + ডি) এক্স 2 + (- 40 এ + 5 সি + ই) x + 25 এ।
উপরের দিক থেকে আমাদের নীচের সমীকরণের সিস্টেম রয়েছে:
এ + বি = 0;
- 8 এ - 4 বি + সি = 0;
26 এ + 5 বি - 4 সি + ডি = 0;
- 40 এ + 5 সি + ই = 1;
25 এ = 2।
সিস্টেমটি সমাধান করার সময়, আমাদের সাথে বাকি রয়েছে:
এ = - 2/25, বি = 2/25, সি = - 8/25, ডি = 2/5 এবং ই = - 3/5।
প্রাপ্ত মানগুলি প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে আমাদের:
(x - 2) / (x (x 2 - 4x + 5) 2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x 2 - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x 2 - 4x + 5) 2
অ্যাপ্লিকেশন
ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস
আংশিক ভগ্নাংশ মূলত অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাসের অধ্যয়নের জন্য ব্যবহৃত হয়। আংশিক ভগ্নাংশ ব্যবহার করে কীভাবে ইন্টিগ্রালগুলি সম্পাদন করা যায় তার কয়েকটি উদাহরণ এখানে রয়েছে।
উদাহরণ 1
আমরা এর অবিচ্ছেদ্য গণনা করতে ইচ্ছুক:
আমরা দেখতে পাচ্ছি ডিনোমিনেটর q (x) = (t + 2) 2 (t + 1) এমন রৈখিক কারণ নিয়ে গঠিত যেখানে এর মধ্যে একটির পুনরাবৃত্তি হয়; এই কারণেই আমরা কেস 2 এ আছি।
আমাদের করতে হবে:
1 / (টি + 2) 2 (টি + 1) = এ / (টি + 2) 2 + বি / (টি + 2) + সি / (টি + 1)
আমরা সমীকরণটি আবার লিখি এবং আমাদের রয়েছে:
1 = এ (টি + 1) + বি (টি + 2) (টি + 1) + সি (টি + 2) 2
যদি টি = - 1, আমাদের রয়েছে:
1 = ক (0) + বি (1) (0) + সি (1)
1 = সি
যদি টি = - 2, এটি আমাদের দেয়:
1 = এ (- 1) + বি (0) (- 1) + সি (0)
এ = - 1
তারপরে, যদি t = 0:
1 = ক (1) + বি (2) (1) + সি (2)
এ এবং সি এর মান প্রতিস্থাপন:
1 = - 1 + 2 বি + 4
1 = 3 + 2 বি
2 বি = - 2
উপরের দিক থেকে আমাদের কাছে এটি বি = - 1 রয়েছে।
আমরা অবিচ্ছেদ্য হিসাবে আবার লিখি:
আমরা এটি প্রতিস্থাপন পদ্ধতি দ্বারা সমাধানের জন্য এগিয়ে যাই:
এটি ফলাফল:
উদাহরণ 2
নিম্নলিখিত অবিচ্ছেদ্য সমাধান করুন:
এই ক্ষেত্রে আমরা aq (x) = x 2 - 4 কে (x) = (x - 2) (x + 2) হিসাবে ফ্যাক্টর করতে পারি । আমরা স্পষ্টভাবে কেস 1। সুতরাং:
(5x - 2) / (এক্স - 2) (এক্স + 2) = এ / (এক্স - 2) + বি / (এক্স + 2)
এটি হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:
5x - 2 = এ (x + 2) + বি (x - 2)
যদি x = - 2 হয় তবে আমাদের রয়েছে:
- 12 = এ (0) + বি (- 4)
খ = 3
এবং যদি x = 2:
8 = এ (4) + বি (0)
এ = 2
সুতরাং, আমরা প্রদত্ত অবিচ্ছেদ্য সমাধানের সমান:
এটি আমাদের ফলাফল হিসাবে দেয়:
উদাহরণ 3
অবিচ্ছেদ্য সমাধান করুন:
আমাদের কাছে q (x) = 9x 4 + x 2 রয়েছে, যা আমরা q (x) = x 2 (9x 2 + 1) এ ফ্যাক্টর করতে পারি ।
এবার আমাদের কাছে বারবার লিনিয়ার ফ্যাক্টর এবং একটি চতুর্ভুজ ফ্যাক্টর রয়েছে; যে, আমরা ক্ষেত্রে 3 হয়।
আমাদের করতে হবে:
1 / এক্স 2 (9 এক্স 2 + 1) = এ / এক্স 2 + বি / এক্স + (সিক্স + ডি) / (9x 2 + 1)
1 = এ (9x 2 + 1) + বিএক্স (9x 2 + 1) + সিক্স 2 + ডিএক্স 2
সমান বহুপদীকে গোষ্ঠীকরণ এবং ব্যবহার করে আমাদের কাছে:
1 = (9 বি + সি) এক্স + (9 এ + ডি) এক্স + বিএক্স + এ
এ = 1;
খ = 0;
9 এ + ডি = 0;
9 বি + সি = 0
এই সমীকরণের সিস্টেম থেকে আমাদের রয়েছে:
ডি = - 9 এবং সি = 0
এইভাবে, আমাদের আছে:
উপরের সমাধান দ্বারা, আমাদের আছে:
গণঅ্যাকশন আইন
অবিচ্ছেদ্য ক্যালকুলাসের জন্য প্রয়োগ করা আংশিক ভগ্নাংশের একটি আকর্ষণীয় প্রয়োগ রসায়নে পাওয়া যায়, আরও স্পষ্টভাবে গণ কর্মের আইনে।
ধরুন আমাদের দুটি এবং দুটি পদার্থ রয়েছে, এ এবং বি, যা একত্রে মিলিত হয় এবং একটি পদার্থ সি গঠন করে, যাতে সময়ের সাথে সাথে সি এর পরিমাণের ব্যয়টি কোনও নির্দিষ্ট সময়ে এ এবং বি এর পরিমাণের সমানুপাতিক হয়।
আমরা নিম্নলিখিতভাবে গণ কর্মের আইনটি প্রকাশ করতে পারি:
এই অভিব্যক্তিতে A হ'ল এ এর সাথে সম্পর্কিত গ্রামগুলির প্রাথমিক সংখ্যা এবং B. বি এর সাথে সম্পর্কিত গ্রামগুলির প্রাথমিক সংখ্যা α
তদ্ব্যতীত, আর এবং এস যথাক্রমে এ এবং বি এর গ্রাম সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে যা সি + এর আর + এস গ্রাম গঠনের সাথে মিলিত হয়, এর অংশের জন্য, x সময় টিতে পদার্থ সি এর গ্রাম সংখ্যাটির প্রতিনিধিত্ব করে, এবং কে অনুপাতের ধ্রুবক। উপরের সমীকরণটি এ হিসাবে আবারও লেখা যেতে পারে:
নিম্নলিখিত পরিবর্তন করা:
আমাদের সমীকরণটি হয়ে যায়:
এই অভিব্যক্তি থেকে আমরা পেতে পারি:
যেখানে যদি একটি ≠ বি, আংশিক ভগ্নাংশ সংহতকরণের জন্য ব্যবহার করা যায়।
উদাহরণ
আসুন উদাহরণস্বরূপ একটি পদার্থ সি গ্রহণ করা যাক যা একটি বি এর সাথে পদার্থ A এর সংমিশ্রণ থেকে উদ্ভূত হয়, এমনভাবে গণ-আইন পূরণ হয় যেখানে a এবং b এর মান যথাক্রমে 8 এবং 6 হয়। একটি সমীকরণ দিন যা আমাদের সময়ের ফাংশন হিসাবে সি গ্রামের মান দেয়।
প্রদত্ত গণ আইনে মানগুলি প্রতিস্থাপন করা, আমাদের রয়েছে:
ভেরিয়েবলগুলি আলাদা করার সময় আমাদের রয়েছে:
এখানে 1 / (8 - x) (6 - x) আংশিক ভগ্নাংশের যোগফল হিসাবে লিখিত হতে পারে:
সুতরাং, 1 = এ (6 - এক্স) + বি (8 - এক্স)
যদি আমরা এক্স এর জন্য 6 প্রতিস্থাপন করি, আমাদের বি = 1/2 রয়েছে; এবং এক্স এর জন্য 8 প্রতিস্থাপন, আমাদের A = - 1/2 আছে।
আমাদের রয়েছে আংশিক ভগ্নাংশ দ্বারা সংহতকরণ:
এটি আমাদের ফলাফল হিসাবে দেয়:
ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ: লজিস্টিক সমীকরণ
আংশিক ভগ্নাংশকে দেওয়া যেতে পারে এমন আরও একটি অ্যাপ্লিকেশন হ'ল লজিস্টিক ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ। সাধারণ মডেলগুলিতে আমাদের কাছে জনসংখ্যার বৃদ্ধির হার তার আকারের সাথে সমানুপাতিক; ঐটাই বলতে হবে:
এই কেসটি একটি আদর্শ এবং এটি যতক্ষণ না ঘটবে কোনও সিস্টেমে উপলব্ধ সংস্থানগুলি জনসংখ্যার সমর্থন করার জন্য অপর্যাপ্ত real
এই পরিস্থিতিতে, সবচেয়ে যুক্তিসঙ্গত বিষয়টি ভাবা হয় যে সর্বাধিক ক্ষমতা রয়েছে, যা আমরা এলকে ডাকব, যে সিস্টেমটি বজায় রাখতে পারে, এবং বৃদ্ধির হার উপলব্ধ আকারের দ্বারা গুণিত জনসংখ্যার আকারের সাথে সমানুপাতিক। এই যুক্তি নিম্নলিখিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বাড়ে:
এই অভিব্যক্তিটিকে লজিস্টিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বলা হয়। এটি একটি পৃথকযোগ্য ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ যা আংশিক ভগ্নাংশ একীকরণ পদ্ধতির সাহায্যে সমাধান করা যেতে পারে।
উদাহরণ
নীচের যৌক্তিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ y '= 0.0004y (1000 - y) অনুসারে বৃদ্ধি পাচ্ছে এমন একটি জনসংখ্যার একটি উদাহরণ বিবেচনা করা হবে, যার প্রাথমিক তথ্য 400। বছরগুলোতে.
যদি আমরা 'টি' এর উপর নির্ভর করে এমন ফাংশন হিসাবে লেবাননিজের স্বীকৃতি দিয়ে y লিখি, আমাদের আছে:
আংশিক ভগ্নাংশ সংহতকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করে বাম পাশের অবিচ্ছেদ্য সমাধান করা যেতে পারে:
আমরা এই শেষ সমতাটি আবার নিম্নরূপ লিখতে পারি:
- y = 0 প্রতিস্থাপন করে আমাদের কাছে A সমান 1/1000 হয়।
- y = 1000 প্রতিস্থাপন করা আমাদের কাছে বিটি 1/1000 এর সমান।
এই মানগুলির সাথে অবিচ্ছেদ্য নিম্নরূপ:
সমাধানটি হ'ল:
প্রাথমিক তথ্য ব্যবহার:
ক্লিয়ারিং যখন এবং আমাদের আছে:
তারপরে আমাদের কাছে এটি টি = 2:
উপসংহারে, 2 বছর পরে জনসংখ্যার আকার প্রায় 597.37।
তথ্যসূত্র
- এ, আরএ (২০১২) গণিত 1. ইউনিভার্সিডেড ডি লস অ্যান্ডিস। প্রকাশনা পরিষদ
- কর্টেজ, আই।, এবং সানচেজ, সি। (এনডি)। 801 সংহত ইন্টিগ্রালগুলি। জাতীয় পরীক্ষামূলক বিশ্ববিদ্যালয় তচিরা।
- লেথোল্ড, এল। (1992)। বিশ্লেষণী জ্যামিতির সাথে গণনা। হারলা, এসএ
- পুরসেল, ইজে, ভারবার্গ, ডি, এবং রিগডন, এসই (2007)। ক্যালকুলেশন। মেক্সিকো: পিয়ারসন এডুকেশন।
- সায়েঞ্জ, জে (এনডি) ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস। অতিভুজ।