ভেক্টর বীজগণিত: মৌলিক, মাপকাঠি, ভেক্টর - গণিতশাস্ত্র

ভেক্টর বীজগণিত গণিতের একটি শাখা যা রৈখিক সমীকরণ, ভেক্টর, ম্যাট্রিক্স, ভেক্টর স্পেস এবং রৈখিক রূপান্তরের গবেষণা সিস্টেম। এটি ইঞ্জিনিয়ারিং, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করা, কার্যকরী বিশ্লেষণ, অপারেশন গবেষণা, কম্পিউটার গ্রাফিক্স ইত্যাদির সাথে সম্পর্কিত।

লিনিয়ার বীজগণিত অন্য একটি ক্ষেত্র অবলম্বন করেছেন পদার্থবিজ্ঞান, যেহেতু এটির মাধ্যমে ভেক্টর ব্যবহারের মাধ্যমে তাদের বর্ণনা করে শারীরিক ঘটনাগুলির অধ্যয়ন বিকাশ করা সম্ভব হয়েছিল। এটি বিশ্বজগতের আরও ভাল বোঝার সম্ভাবনা তৈরি করেছে।

প্রাথমিক ধারনা

ভেক্টর বীজগণিত কোয়ার্টারিয়নস (বাস্তব সংখ্যার সম্প্রসারণ) 1, i, j এবং k এর অধ্যয়ন থেকে, পাশাপাশি গিবস এবং হেভিসাইড দ্বারা প্রচারিত কার্টেসিয়ান জ্যামিতি থেকে উদ্ভূত, যিনি বুঝতে পেরেছিলেন যে ভেক্টরগণ একটি যন্ত্র হিসাবে কাজ করবে বিভিন্ন শারীরিক ঘটনা উপস্থাপন।

ভেক্টর বীজগণিত তিনটি মৌলিক মাধ্যমে পড়াশোনা করা হয়:

জ্যামিতিক

ভেক্টরগুলি লাইন দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় যেগুলির একটি অরিয়েন্টেশন রয়েছে এবং অপারেশন যেমন সংযোজন, বিয়োগ এবং বাস্তব সংখ্যা দ্বারা গুণন জ্যামিতিক পদ্ধতির মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

বিশ্লেষণী

ভেক্টরগুলির বর্ণনা এবং তাদের ক্রিয়াকলাপগুলি সংখ্যার সাথে সম্পন্ন হয়, যাকে উপাদান বলা হয়। এই ধরণের বিবরণ জ্যামিতিক উপস্থাপনার ফলাফল কারণ একটি সমন্বিত সিস্টেম ব্যবহৃত হয়।

Axiomatically

স্থানাঙ্ক সিস্টেম বা জ্যামিতিক কোনও উপস্থাপনা নির্বিশেষে ভেক্টরগুলির একটি বিবরণ তৈরি করা হয়।

স্থানের পরিসংখ্যানগুলির অধ্যয়ন একটি রেফারেন্স সিস্টেমে তাদের প্রতিনিধিত্বের মাধ্যমে করা হয়, যা এক বা একাধিক মাত্রায় হতে পারে। প্রধান সিস্টেমগুলির মধ্যে রয়েছে:

- এক-মাত্রিক সিস্টেম, যা এমন একটি রেখা যেখানে একটি বিন্দু (O) উত্সকে উপস্থাপন করে এবং অন্য একটি বিন্দু (পি) স্কেল (দৈর্ঘ্য) এবং তার দিক নির্ধারণ করে:

- আয়তক্ষেত্রাকার সমন্বয় ব্যবস্থা (দ্বি-মাত্রিক), যা এক্স-অক্ষ এবং y- অক্ষ নামে দুটি লম্ব লম্ব নিয়ে গঠিত যা একটি বিন্দু (ও) উত্সের মধ্য দিয়ে যায়; এইভাবে বিমানটিকে চারটি অঞ্চলে ভাগ করা হয়েছে যা বলা হয় কোয়াড্রেন্টস। এক্ষেত্রে অক্ষ এবং পি এর মধ্যে বিদ্যমান দূরত্বগুলির দ্বারা বিমানটিতে একটি বিন্দু (পি) দেওয়া হয় P

- মেরু সমন্বয় ব্যবস্থা (দ্বিমাত্রিক)। এক্ষেত্রে সিস্টেমটি একটি বিন্দু হে (উত্স) দ্বারা গঠিত যা মেরু এবং পোড় অক্ষ নামে পরিচিত ও-এর উত্স সহ একটি রশ্মি বলে। এক্ষেত্রে মেরু এবং মেরু অক্ষের উল্লেখ সহ বিমানের পয়েন্ট P, কোণ (Ɵ) দ্বারা প্রদত্ত হয়, যা মূল এবং বিন্দু পি এর মধ্যবর্তী দূরত্ব দ্বারা গঠিত হয়।

- আয়তক্ষেত্রাকার ত্রি-মাত্রিক সিস্টেম, তিনটি লম্ব লাইন দ্বারা গঠিত (x, y, z) যার উত্সটি স্থানের একটি বিন্দু O। তিনটি সমন্বিত বিমান তৈরি হয়: এক্স, এক্স এবং জেড; স্থানটি আটটি অঞ্চলে বিভক্ত হবে যা অক্টেন্টস বলে। স্পেসে পয়েন্ট পয়েন্টের রেফারেন্সটি প্লেন এবং পি এর মধ্যে যে দূরত্ব রয়েছে তা দিয়ে দেওয়া হয়।

মাত্রার

বিশালতা একটি দৈহিক পরিমাণ যা কোনও দৈহিক ঘটনার ক্ষেত্রে যেমন একটি সংখ্যাসূচক মানের মাধ্যমে গণনা বা পরিমাপ করা যায়; তবে, প্রায়শই সংখ্যাসূচক ছাড়াও অন্যান্য কারণগুলির সাথে এই ঘটনাগুলি বর্ণনা করতে সক্ষম হওয়া প্রয়োজন। এ কারণেই বিশালতাকে দুই ধরণের শ্রেণিবদ্ধ করা হয়েছে:

স্কেলারের দৈর্ঘ্য

এগুলি সেই পরিমাণগুলি যা সংখ্যায় সংজ্ঞায়িত ও প্রতিনিধিত্ব করা হয়; এটি একটি পরিমাপের একক সহ এক মডিউল দ্বারা। উদাহরণ স্বরূপ:

ক) সময়: 5 সেকেন্ড

খ) ভর: 10 কেজি।

গ) আয়তন: 40 মিলি।

d) তাপমাত্রা: 40 ºC।

ভেক্টরের দৈর্ঘ্য

এগুলি সেই পরিমাণগুলি যা ইউনিটটির সাথে একত্রে একটি মডিউল দ্বারা সংজ্ঞায়িত এবং প্রতিনিধিত্ব করা হয়, পাশাপাশি একটি ধারণা এবং দিকনির্দেশ দ্বারা। উদাহরণ স্বরূপ:

ক) বেগ: (5ȋ - 3ĵ) মি / সে।

খ) ত্বরণ: 13 মি / এস ²; এস 45º ই।

গ) বাহিনী: 280 এন, 120º º

d) ওজন: -40 ĵ কেজি-এফ।

ভেক্টর পরিমাণগুলি গ্রাহকভাবে ভেক্টর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়।

ভেক্টর কি?

ভেক্টরগুলি একটি ভেক্টর পরিমাণের গ্রাফিকাল উপস্থাপনা; এটি হ'ল এগুলি লাইন বিভাগ যেখানে তাদের শেষ প্রান্তটি একটি তীরের টিপ ip

এগুলি এর মডিউল বা বিভাগের দৈর্ঘ্যের দ্বারা নির্ধারিত হয়, এটির দিকটি যা এটির তীরের টিপ এবং এটির সাথে সম্পর্কিত তার রেখা অনুযায়ী তার দিক নির্দেশ করে। একটি ভেক্টরের উত্স প্রয়োগের পয়েন্ট হিসাবেও পরিচিত।

ভেক্টরের উপাদানগুলি নিম্নরূপ:

মডিউল

এটি কোনও ভেক্টরের মূল থেকে শেষ পর্যন্ত দূরত্ব, একক সহ একটি আসল সংখ্যা দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা। উদাহরণ স্বরূপ:

-ম- = -এ- = এ = 6 সেমি

ঠিকানা

এটি এক্স-অক্ষের (ধনাত্মক থেকে) এবং ভেক্টর এবং সেইসাথে কার্ডিনাল পয়েন্টগুলি (উত্তর, দক্ষিণ, পূর্ব এবং পশ্চিম) এর মধ্যে বিদ্যমান কোণগুলির পরিমাপ।

ইন্দ্রিয়

এটি ভেক্টরের শেষে অবস্থিত তীরচিহ্ন দ্বারা দেওয়া হয়েছে, যেখানে এটি চলছে তা নির্দেশ করে।

ভেক্টরগুলির শ্রেণিবিন্যাস

সাধারণত, ভেক্টরগুলি শ্রেণীবদ্ধ করা হয়:

স্থির ভেক্টর

এটি যার প্রয়োগের উত্স (উত্স) স্থির; অর্থাৎ এটি স্থানের একটি বিন্দুর সাথে সংযুক্ত থাকে, সুতরাং এটি এতে স্থানান্তর করতে পারে না।

বিনামূল্যে ভেক্টর

এটি মহাকাশে অবাধে চলাচল করতে পারে কারণ এর উত্সটি কোনও বিন্দুতে তার মডিউল, দিক বা দিক পরিবর্তন না করে চলে moves

স্লাইডার ভেক্টর

এটি এমন একটি যা এর মডিউল, দিক বা দিক পরিবর্তন না করেই তার ক্রিয়াকলাপের সাথে এর উত্স স্থানান্তর করতে পারে।

ভেক্টরের বৈশিষ্ট্য

ভেক্টরগুলির প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে নিম্নলিখিত:

ভেক্টর দল

এগুলি হ'ল ফ্রি ভেক্টর যাদের স্লাইডিং ভেক্টর বা একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর হিসাবে একই মডিউল, দিক (বা তারা সমান্তরাল) এবং বোধশক্তি রয়েছে।

সমান ভেক্টর

এটি ঘটে যখন দুটি ভেক্টর একই দিক (বা সমান্তরাল হয়), একই ধারণা, এবং বিভিন্ন মডিউল এবং প্রয়োগের পয়েন্ট থাকা সত্ত্বেও তারা একই প্রভাব তৈরি করে।

ভেক্টর সমতা

এগুলির একই মডিউল, দিক এবং জ্ঞান রয়েছে, যদিও তাদের প্রারম্ভিক পয়েন্টগুলি আলাদা, যা কোনও সমান্তরাল ভেক্টরকে প্রভাবিত না করে নিজেই অনুবাদ করতে দেয়।

ভেক্টরগুলির বিপরীতে

তারা হ'ল একই মডিউল এবং দিকনির্দেশনা, তবে তাদের অর্থ বিপরীত।

ইউনিট ভেক্টর

এটি এমন এক যেখানে মডিউলটি ইউনিটের সমান (1)। এটি ভেক্টরকে এর মডিউল দ্বারা বিভক্ত করার মাধ্যমে প্রাপ্ত হয় এবং এটি বেস বা সাধারণ ইউনিট ভেক্টরগুলির সাহায্যে প্লেন বা স্পেসে ভেক্টরের দিক এবং সংজ্ঞা নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়:

নাল ভেক্টর

এটি এমন একটি যার মডুলাস 0 এর সমান; এটির মূল এবং শেষের বিন্দু একই বিন্দুতে মিলে যায়।

একটি ভেক্টরের উপাদান

একটি ভেক্টরের উপাদানগুলি হ'ল রেফারেন্স সিস্টেমের অক্ষগুলিতে ভেক্টরের অনুমানের সেই মানগুলি; ভেক্টরের পচনের উপর নির্ভর করে, যা দুটি বা ত্রিমাত্রিক অক্ষের উপর থাকতে পারে, যথাক্রমে দুটি বা তিনটি উপাদান প্রাপ্ত হবে।

কোনও ভেক্টরের উপাদানগুলি হ'ল আসল সংখ্যা, যা ইতিবাচক, নেতিবাচক বা শূন্য (0) হতে পারে।

সুতরাং, যদি আমাদের একটি ভেক্টর থাকে the, এক্সওয়াই প্লেনের একটি আয়তক্ষেত্র স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার উত্স সহ (দ্বি-মাত্রিক), x অক্ষের প্রজেকশনটি Āx হয় এবং y অক্ষের প্রজেকশনটি Āy হয়। সুতরাং, ভেক্টরটি এর উপাদান ভেক্টরগুলির যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা হবে।

উদাহরণ

প্রথম উদাহরণ

আমাদের একটি ভেক্টর রয়েছে - এটি উত্স থেকে শুরু হয় এবং এর প্রান্তগুলির স্থানাঙ্কগুলি দেওয়া হয়। সুতরাং, ভেক্টর Ā = (Ā _x, A _y) = (4, 5) সেমি।

যদি ভেক্টর three ত্রি-মাত্রিক ত্রিভুজাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা (স্পেসে) x, y, z, অন্য বিন্দু (পি) পর্যন্ত উত্সে কাজ করে, তবে এর অক্ষের অনুমানগুলি Āx, Āy এবং Āz হবে; সুতরাং, ভেক্টরটি এর তিনটি উপাদান ভেক্টরের যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা হবে।

দ্বিতীয় উদাহরণ

আমাদের একটি ভেক্টর রয়েছে - এটি উত্স থেকে শুরু হয় এবং এর প্রান্তগুলির স্থানাঙ্কগুলি দেওয়া হয়। সুতরাং, ভেক্টর Ā = (A _x, A _y, A _z) = (4, 6, -3) সেমি।

যে ভেক্টরগুলির আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক রয়েছে তাদের বেস ভেক্টরগুলির ক্ষেত্রে প্রকাশ করা যেতে পারে। তার জন্য, প্রতিটি স্থানাঙ্কটি কেবলমাত্র তার নিজ ইউনিট ভেক্টর দ্বারা গুণিত করতে হবে, এমনভাবে যাতে বিমান এবং স্থানের জন্য তারা নিম্নলিখিত হবে:

প্লেনের জন্য: Ā = এ _x আমি + _{এওয়াই} জে।

স্থানের জন্য: Ā = এ _x আমি + _{এওয়াই} জে + এ _জে কে।

ভেক্টর অপারেশন

অনেকগুলি পরিমাণ রয়েছে যার মডিউল, ইন্দ্রিয় এবং দিক রয়েছে যেমন ত্বরণ, গতি, স্থানচ্যুতি, বল, অন্যদের মধ্যে।

এগুলি বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয় এবং এগুলি প্রয়োগের জন্য কিছু ক্ষেত্রে যেমন সংযোজন, বিয়োগ, গুণ এবং ভেক্টর এবং স্কেলারের বিভাজন যেমন অপারেশন করা প্রয়োজন।

সংযোজন এবং ভেক্টর বিয়োগ

ভেক্টরগুলির সংযোজন এবং বিয়োগকে একটি একক বীজগণিতিক ক্রিয়াকলাপ হিসাবে বিবেচনা করা হয় কারণ বিয়োগফলকে যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টরগুলির বিয়োগ Ā এবং Ē হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

ভেক্টরগুলির সংযোজন এবং বিয়োগ করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে: সেগুলি গ্রাফিকাল বা বিশ্লেষণী হতে পারে।

গ্রাফিকাল পদ্ধতি

যখন কোনও ভেক্টরের মডিউল, দিক এবং দিক থাকে তখন ব্যবহৃত হয়। এর জন্য, লাইনগুলি অঙ্কিত হয় যা একটি চিত্র তৈরি করে যা পরে ফলাফল নির্ধারণে সহায়তা করে। সর্বাধিক পরিচিতদের মধ্যে নিম্নলিখিত:

সমান্তরাল পদ্ধতি

দুটি ভেক্টরের সংযোজন বা বিয়োগ করতে, স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর একটি সাধারণ পয়েন্ট বেছে নেওয়া হয় - যা ভেক্টরগুলির উত্সের বিন্দুটি উপস্থাপন করবে - এর মডিউল, দিক এবং দিক রেখে keeping

লাইনগুলি তখন ভেক্টরগুলির সাথে সমান্তরালভাবে টানা হয় সমান্তরাল রূপটি তৈরি করতে। ফলস্বরূপ ভেক্টরটি হ'ল তির্যক যেটি উভয় ভেক্টরের উত্সের বিন্দু থেকে সমান্তরালম্বের শীর্ষবিন্দুতে যায়:

ত্রিভুজ পদ্ধতি

এই পদ্ধতিতে ভেক্টরগুলি তাদের মডিউল, দিকনির্দেশ এবং দিকনির্দেশ রেখে একের পর এক স্থাপন করা হয়। ফলস্বরূপ ভেক্টর দ্বিতীয় ভেক্টরের সমাপ্তির সাথে প্রথম ভেক্টরের উত্সের মিলন হবে:

বিশ্লেষণ পদ্ধতি

দুটি বা আরও বেশি ভেক্টর জ্যামিতিক বা ভেক্টর পদ্ধতির মাধ্যমে যুক্ত বা বিয়োগ করা যেতে পারে:

জ্যামিতিক পদ্ধতি

যখন দুটি ভেক্টর একটি ত্রিভুজ বা সমান্তরাল রূপ গঠন করে, এম).পশ ({});

- স্কেলার বিতরণ সম্পত্তি: যদি কোনও ভেক্টর দুটি স্কেলারের যোগফল দ্বারা গুণিত হয় তবে এটি প্রতিটি স্কেলারের জন্য ভেক্টরের গুণকের সমান।

ভেক্টরগুলির গুণ

ভেক্টরগুলির গুণক বা পণ্য সংযোজন বা বিয়োগ হিসাবে করা যেতে পারে, তবে এটি সেভাবে করা শারীরিক অর্থ হারিয়ে ফেলে এবং প্রায়শই অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে পাওয়া যায় না। এই কারণে, সর্বাধিক ব্যবহৃত ধরণের পণ্য হ'ল স্কেলার এবং ভেক্টর পণ্য।

স্কালে পণ্য

এটি দুটি ভেক্টরের ডট পণ্য হিসাবেও পরিচিত। যখন দুটি ভেক্টরের মডিউলগুলি তাদের মধ্যে গঠিত ক্ষুদ্রতম কোণটির কোসাইন দ্বারা গুণিত হয়, তখন একটি স্কেলার প্রাপ্ত হয়। দুটি ভেক্টরের মধ্যে একটি স্কেলার পণ্য প্রকাশ করতে তাদের মধ্যে একটি বিন্দু স্থাপন করা হয় এবং এটি এরূপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়:

দুটি ভেক্টরগুলির মধ্যে যে কোণটির উপস্থিতি রয়েছে তার মান নির্ভর করবে তারা সমান্তরাল বা লম্ব লম্বা হবে কি না; সুতরাং, আপনি করতে হবে:

- যদি ভেক্টরগুলি সমান্তরাল হয় এবং একই ধারণা থাকে তবে কোসাইন 0º = 1।

- যদি ভেক্টরগুলি সমান্তরাল হয় এবং এর বিপরীত দিক থাকে তবে কোসাইন 180º = -1।

- যদি ভেক্টরগুলি লম্ব হয়, কোসাইন 90º = 0।

এই কোণটি জেনেও গণনা করা যায়:

ডট পণ্যতে নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

- ভ্রমণমূলক সম্পত্তি: ভেক্টরগুলির ক্রম স্কেলারকে পরিবর্তন করে না।

-বিধ্বস্ত সম্পত্তি: যদি কোনও স্কেলার দুটি ভেক্টরের যোগফল দ্বারা গুণিত হয় তবে প্রতিটি ভেক্টরের জন্য এটি স্কেলারের গুণকের সমান।

ভেক্টর পণ্য

দুটি ভেক্টর এ এবং বি এর ভেক্টর গুণ, বা ক্রস প্রোডাক্ট এর ফলে নতুন ভেক্টর সি হবে এবং ভেক্টরগুলির মধ্যে ক্রস ব্যবহার করে প্রকাশ করা হবে:

নতুন ভেক্টরের নিজস্ব বৈশিষ্ট্য থাকবে। ঐ দিকে:

- দিক: এই নতুন ভেক্টরটি বিমানের জন্য লম্ব হবে, যা মূল ভেক্টর দ্বারা নির্ধারিত হয়।

- দিক: এটি ডান হাতের নিয়ম দিয়ে নির্ধারিত হয়, যেখানে ভেক্টর এ-কে বি এর দিকে আবর্তিত করা হয়, আঙ্গুলের সাহায্যে আবর্তনের দিক নির্দেশ করে এবং ভেক্টরের দিকটি থাম্ব দিয়ে চিহ্নিত করা হয়।

- মডিউল: এটি ভেক্টর অ্যাক্সবি এর মডিউলগুলির গুণন দ্বারা নির্ধারিত হয়, এই ভেক্টরগুলির মধ্যে বিদ্যমান ক্ষুদ্রতম কোণটির সাইন দ্বারা। এটি প্রকাশ করা হয়:

দুটি ভেক্টরগুলির মধ্যে যে কোণটির উপস্থিতি রয়েছে তা নির্ভর করে তারা সমান্তরাল বা লম্ব লম্বালম্বী কিনা তার উপর নির্ভর করবে। সুতরাং, নিম্নলিখিতটি বলা সম্ভব:

- যদি ভেক্টরগুলি সমান্তরাল হয় এবং একই বোধ থাকে, তবে 0 0 = 0।

- যদি ভেক্টরগুলি সমান্তরাল হয় এবং তার বিপরীত দিকনির্দেশ থাকে তবে সাইন 180º = 0।

- যদি ভেক্টরগুলি লম্ব হয়, তবে 90º = 1 হবে।

যখন কোনও ভেক্টর পণ্যটি তার বেস ভেক্টরগুলির ক্ষেত্রে প্রকাশিত হয়, তখন আমাদের রয়েছে: