জড়তার মুহুর্ত: সূত্র, সমীকরণ এবং গণনার উদাহরণ - শারীরিক - 2025

নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত আবর্তনের একটি নির্দিষ্ট অক্ষ থেকে সম্মান সঙ্গে একটি অনমনীয় শরীর তার কৌণিক বেগ পরিবর্তন তার প্রতিরোধের প্রতিনিধিত্ব করে প্রায় অক্ষ বলেন। এটি ভরগুলির সাথে এবং ঘূর্ণনের অক্ষের অবস্থানের সাথে সমানুপাতিক, যেহেতু দেহ, তার জ্যামিতির উপর নির্ভর করে, অন্যের চেয়ে কিছু নির্দিষ্ট অক্ষের চারপাশে আরও সহজে ঘুরতে পারে।

ধরুন একটি বৃহত অবজেক্ট (অনেকগুলি কণা সমন্বিত) যা অক্ষের চারদিকে ঘুরতে পারে। ধরুন যে একটি বাহ্যিক এফ কাজ করে, ভর Δm _i এর উপাদানটির উপর স্পর্শকাতরভাবে প্রয়োগ করে, যা tor _নেট = ∑ r _i x F _i দ্বারা প্রদত্ত একটি টর্ক বা মুহুর্ত উত্পাদন করে । ভেক্টর r _i হ'ল im _i এর অবস্থান (চিত্র 2 দেখুন)।

চিত্র 1. বিভিন্ন পরিসংখ্যানের জড়তা মুহুর্ত। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

এই মুহুর্তটি ঘূর্ণনের প্লেনের লম্ব হয় (দিকনির্দেশ + কে = কাগজ রেখে)। যেহেতু বল এবং রেডিয়াল অবস্থান ভেক্টর সর্বদা লম্ব থাকে, ক্রস পণ্যটি অবশেষ:

τ _নেট = Σ এফ _আমি r _আমি k = Σ (Δm _আমি একটি _আমি) r _আমি k = Σ Δm _আমি (ক _আমি r _আমি) ট

চিত্র 2. ঘূর্ণন একটি দৃ rig় কঠিন অন্তর্গত একটি কণা। উত্স: সার্ওয়ে, আর। 2018. বিজ্ঞান ও প্রকৌশল জন্য পদার্থবিদ্যা। খণ্ড 1. কেনেজ লার্নিং।

ত্বরণ একটি _i ত্বরণের স্পর্শকাতর উপাদানটির প্রতিনিধিত্ব করে, যেহেতু রেডিয়াল ত্বরণটি টর্ককে অবদান রাখে না। কৌণিক ত্বরণ a একটি ফাংশন হিসাবে, আমরা যে ইঙ্গিত করতে পারি:

অতএব নেট টর্কটি এর মতো দেখাচ্ছে:

τ _নেট = Σ Δm _আমি (α R _আমি ²) = K (Σ R _আমি ² Δm _আমি) α ট

কৌণিক ত্বরণ whole পুরো বস্তুর জন্য সমান, সুতরাং এটি "i" সাবস্ক্রিপ্ট দ্বারা প্রভাবিত হয় না এবং সমষ্টিটি ছেড়ে যেতে পারে, যা হ'ল অক্ষর দ্বারা প্রতীকিত বস্তুর জড়তার মুহূর্তটি:

এটি একটি বিচ্ছিন্ন গণ বিতরণ জড়তা মুহূর্ত। যখন বিতরণ অবিচ্ছিন্ন থাকে, যোগফলটি একটি অখণ্ডের সাথে প্রতিস্থাপিত হয় এবং Δm একটি গণ ডিফারেন্সিয়াল ডিএম হয়। অবিচ্ছেদ্য সম্পূর্ণ বস্তুর উপর বাহিত হয়:

এসআই আন্তর্জাতিক সিস্টেমে জড়তার মুহুর্তের ইউনিটগুলি কেজি এক্সএম ² । এটি একটি স্কেলার এবং ধনাত্মক পরিমাণ, যেহেতু এটি একটি ভর এবং একটি দূরত্বের বর্গক্ষেত্রের পণ্য।

গণনার উদাহরণ

একটি বর্ধিত বস্তু, যেমন একটি বার, ডিস্ক, গোলক বা অন্যান্য, যার ঘনত্ব constant ধ্রুবক এবং জেনেও যে ঘনত্বটি ভর-আয়তনের অনুপাত, ভর বিভক্ত ডিএম এর লিখিত আছে:

জড়তার মুহুর্তের জন্য অবিচ্ছেদে প্রতিস্থাপন, আমাদের রয়েছে:

এটি একটি সাধারণ অভিব্যক্তি, ত্রি-মাত্রিক অবজেক্টের জন্য বৈধ, যার ভলিউম ভি এবং অবস্থান r স্থানিক স্থানাঙ্ক x, y এবং z এর ফাংশন। নোট করুন যে অবিচ্ছিন্ন থাকার কারণে, ঘনত্বটি অবিচ্ছেদ্যতার বাইরে।

ঘনত্ব bul বাল্ক ঘনত্ব হিসাবেও পরিচিত, তবে যদি বস্তুটি খুব চ্যাপ্টা, একটি শীটের মতো বা খুব পাতলা এবং রডের মতো সরু থাকে তবে ঘনত্বের অন্যান্য রূপগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে, আসুন দেখুন:

- খুব পাতলা শীটের জন্য, ব্যবহারের ঘনত্বটি হ'ল the, পৃষ্ঠের ঘনত্ব (প্রতি ইউনিট আয়তনের ভর) এবং ডিএ হ'ল ক্ষেত্রের পার্থক্য।

- এবং যদি এটি একটি পাতলা বার হয়, যেখানে কেবল দৈর্ঘ্য প্রাসঙ্গিক হয়, রেফারেন্স হিসাবে ব্যবহৃত অক্ষ অনুসারে লিনিয়ার ভর ঘনত্ব a এবং একটি দৈর্ঘ্যের পার্থক্য ব্যবহার করা হয় used

অনুসরণকারী উদাহরণগুলিতে, সমস্ত বস্তুগুলি অনমনীয় (বিকৃত নয়) হিসাবে বিবেচিত হয় এবং অভিন্ন ঘনত্ব থাকে।

একটি কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় একটি পাতলা বারের জড়তার মুহুর্ত

এখানে আমরা একটি পাতলা, অনমনীয়, সমজাতীয় বার, দৈর্ঘ্য এল এবং ভর এম এর মধ্যবর্তী মধ্য দিয়ে যাওয়ার একটি অক্ষের প্রতি সম্মানের সাথে জড়তার মুহূর্ত গণনা করতে চলেছি।

প্রথমত, একটি সমন্বিত সিস্টেম স্থাপন করা এবং উপযুক্ত জ্যামিতির সাথে একটি চিত্র তৈরি করা প্রয়োজন, এটির মতো:

চিত্র 3. জমিটি তার কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যে একটি উল্লম্ব অক্ষের সাথে সম্মতিযুক্ত একটি পাতলা রডের জড়তার মুহূর্ত গণনা করতে to সূত্র: এফ.জাপাটা।

বারের সাথে এক্স-অক্ষ এবং y- অক্ষকে ঘোরার অক্ষ হিসাবে বেছে নেওয়া হয়েছিল। ইন্টিগ্রালটি প্রতিষ্ঠিত করার পদ্ধতিটির জন্য বারে একটি ভর বিভাজন নির্বাচন করা দরকার, ডেমি নামক একটি ডিফারেনশিয়াল দৈর্ঘ্যের ডেক্স রয়েছে এবং x = 0 কেন্দ্রের সাথে সম্মতি রেখে নির্বিচারে অবস্থিত x এ অবস্থিত।

লিনিয়ার ভর ঘনত্ব the এর সংজ্ঞা অনুসারে:

যেহেতু ঘনত্বটি অভিন্ন, যা এম এবং এল এর জন্য বৈধ, এটি dm এবং dx এর জন্যও বৈধ:

অন্যদিকে, ভর উপাদান এক্স অবস্থানে রয়েছে, সুতরাং সংজ্ঞাটিতে এই জ্যামিতিটি স্থাপন করে আমাদের একটি নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য আছে, যার সীমাটি স্থানাঙ্ক সিস্টেম অনুসারে বারের শেষ:

লিনিয়ার ঘনত্ব প্রতিস্থাপন λ = এম / এল:

ঘূর্ণনের অন্য অক্ষের সাথে বারের জড়তার মুহূর্তটি সন্ধান করার জন্য, উদাহরণস্বরূপ যেটি এর একটি প্রান্তের মধ্য দিয়ে যায়, আপনি স্টেইনারের উপপাদ ব্যবহার করতে পারেন (শেষে অনুশীলনটি দেখুন) বা প্রদর্শিত চিত্রের মতোই একটি সরাসরি গণনা সম্পাদন করতে পারেন এখানে, তবে জ্যামিতি যথাযথভাবে সংশোধন করা হচ্ছে।

এর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে অ্যাক্সেসের অক্ষের সাথে ডিস্কের জড়তার মুহুর্ত

নগন্য পুরুত্বের একটি খুব পাতলা ডিস্ক একটি সমতল চিত্র। ভর A এর পুরো পৃষ্ঠের উপরে সমানভাবে বিতরণ করা হলে ভর ঘনত্ব σ

ডিএম এবং ডিএ উভয়ই ভর এবং চিত্রটিতে প্রদর্শিত ডিফারেনশিয়াল রিংয়ের ক্ষেত্রের সাথে সামঞ্জস্য করে। আমরা ধরে নেব যে পুরো সমাবেশটি y- অক্ষের চারপাশে ঘোরে।

আপনি কল্পনা করতে পারেন যে ডিস্কটি ব্যাসার্ধের অনেকগুলি ঘনকীয় রিং দ্বারা গঠিত, যার প্রতিটি তার নিজের জড়তার মুহুর্তের সাথে। ব্যাসার্ধ আর পৌঁছানোর আগ পর্যন্ত সমস্ত রিংয়ের অবদান যুক্ত করে আমাদের কাছে ডিস্কের জড়তার মোট মুহুর্ত থাকবে।

চিত্র 4. অক্ষরের অক্ষের সাথে সম্মতভাবে ডিস্কের জড়তার মুহূর্ত গণনা করার জন্য জ্যামিতি। সূত্র: এফ.জাপাটা।

যেখানে এম ডিস্কের পুরো ভর প্রতিনিধিত্ব করে। ডিস্কের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের উপর নির্ভর করে যেমন:

আর এর সাথে শ্রদ্ধা সহ:

আমার সংজ্ঞাতে উপরের প্রতিস্থাপন:

প্রতিস্থাপন σ = এম / (π.R ²) আমরা পাই:

ব্যাস সম্পর্কে একটি শক্ত গোলকের জড়তার মুহুর্ত

ব্যাসার্ধ আর এর একটি গোলককে অন্যের উপরে একটি স্ট্যাক করা ডিস্কের একটি সিরিজ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যেখানে প্রতিটি ইনসিনাইটিমাল ভর ডিএম, ব্যাসার্ধ আর এবং বেধ ডিজে এর ডিস্কের একটি জড় মুহুর্ত থাকে:

এই পার্থক্যটি সন্ধান করার জন্য, আমরা কেবল পূর্ববর্তী বিভাগ থেকে সূত্রটি গ্রহণ করেছি এবং যথাক্রমে dm এবং r এর জন্য এম এবং আর প্রতিস্থাপন করেছি। 5 এর জ্যামিতিতে এর মতো একটি ডিস্ক দেখা যায়।

চিত্র 5. ব্যাসের মধ্য দিয়ে যে অক্ষটি অতিক্রম করে তার সাথে অক্ষের সাথে ব্যাসার্ধের একটি শক্ত গোলকের জড়তার মুহুর্ত গণনা করার জন্য জ্যামিতি। সূত্র: এফ.জাপাটা।

সজ্জিত ডিস্কগুলির জড়তার সমস্ত অসীম মুহুর্তগুলি যোগ করে, গোলকের জড়তার মোট মুহূর্তটি পাওয়া যায়:

যা সমান:

অবিচ্ছেদ্য সমাধানের জন্য আপনাকে যথাযথভাবে dm প্রকাশ করতে হবে। সর্বদা হিসাবে, এটি ঘনত্ব থেকে অর্জন করা হয়:

একটি ডিফারেনশিয়াল ডিস্কের ভলিউম হ'ল:

ডিস্কের উচ্চতা হ'ল বেধ ডিজে, যখন বেসের ক্ষেত্রফল ² area ডলার, সুতরাং:

এবং প্রস্তাবিত ইন্টিগ্রালের পরিবর্তে এটি দেখতে এরকম হবে:

তবে সংহত করার আগে আমাদের অবশ্যই দেখতে হবে যে ডিস্কের r- ব্যাসার্ধ- গোলকটির z এবং R- এর ব্যাসার্ধের উপর নির্ভর করে- যেমন চিত্র 5 থেকে দেখা যায়: পাইথাগোরিয়ান উপপাদ ব্যবহার করা:

যা আমাদের দিকে নিয়ে যায়:

পুরো ক্ষেত্রের সাথে একীভূত করতে, আমরা নোট করি যে z –R এবং R এর মধ্যে পরিবর্তিত হয়, তাই:

সরল করার পরে অবশেষে ρ = এম / ভি = এম / প্রাপ্ত হয় তা জেনে:

অক্ষীয় অক্ষের সাথে সম্মিলিতভাবে একটি শক্ত সিলিন্ডারের জড়তার মুহূর্ত

এই অবজেক্টের জন্য, গোলকের অনুরূপ একটি পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়, কেবলমাত্র তখনই সহজ যখন সিলিন্ডারটি ব্যাসার্ধের আর, বেধের ডাঃ এবং উচ্চতা এইচ এর নলাকার শাঁস দ্বারা গঠিত হওয়ার কল্পনা করা হয়, যেন তারা কোনও পেঁয়াজের স্তর হয়। ।

চিত্র 6. অক্ষীয় অক্ষের সাথে সম্মানের সাথে ব্যাসার্ধের শক্ত সিলিন্ডারের জড়তার মুহূর্ত গণনা করার জন্য জ্যামিতি। উত্স: সার্ওয়ে, আর। 2018. বিজ্ঞান ও প্রকৌশল জন্য পদার্থবিদ্যা। ভলিউম 1. কেনেজ।

একটি নলাকার স্তরটির ভলিউম ডিভি হ'ল:

অতএব শেল ভর:

এই অভিব্যক্তিটি জড়তার মুহুর্তের সংজ্ঞাতে প্রতিস্থাপিত হয়:

উপরের সমীকরণটি ইঙ্গিত দেয় যে সিলিন্ডারের জড়তার মুহূর্তটি তার দৈর্ঘ্যের উপর নির্ভর করে না, তবে কেবল তার ভর এবং ব্যাসার্ধের উপর নির্ভর করে। এল যদি পরিবর্তন হয় তবে অক্ষীয় অক্ষ সম্পর্কে জড়তার মুহূর্তটি একই থাকবে। এই কারণে, সিলিন্ডারের আমি পূর্ববর্তী গণনা করা পাতলা ডিস্কের সাথে একত্রিত হই।

এর কেন্দ্র দিয়ে অতিক্রম করে অক্ষের সাথে সম্মান করে একটি আয়তক্ষেত্রাকার শীটের জড়তার মুহূর্ত

অনুভূমিক y- অক্ষটি আবর্তনের অক্ষ হিসাবে বেছে নেওয়া হয়েছে। নীচের চিত্রটি একীকরণের জন্য প্রয়োজনীয় জ্যামিতিটি দেখায়:

চিত্র 7. শীটের সমান্তরাল অক্ষের সাথে সম্মতভাবে আয়তক্ষেত্রাকার প্লেটের জড়তার মুহুর্ত গণনা করার জন্য জ্যামিতি এবং এর কেন্দ্র দিয়ে যাওয়ার জন্য। সূত্র: এফ.জাপাটা।

লাল বর্ণিত চিহ্নিত অঞ্চল উপাদানটি আয়তক্ষেত্রাকার। এর ক্ষেত্রফল বেস বেস উচ্চতা, সুতরাং:

সুতরাং ভর পার্থক্য হ'ল:

অঞ্চল উপাদান থেকে ঘূর্ণনের অক্ষের দূরত্ব হিসাবে এটি সর্বদা z থাকে। আমরা জড়তা মুহুর্তের অবিচ্ছেদ্য এই সমস্ত বিকল্প:

এখন পৃষ্ঠের ভর ঘনত্ব σ এর পরিবর্তে:

এবং এটি অবশ্যই এর মতো দেখাচ্ছে:

মনে রাখবেন এটি পাতলা বারের মতো।

এর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে অ্যাক্সেসের অক্ষ সহকারে বর্গক্ষেত্রের জড়তার মুহূর্ত

পাশের এল এর সাথে একটি বর্গক্ষেত্রের জন্য, আয়তক্ষেত্রের জন্য বৈধ পূর্বের এক্সপ্রেশনটিতে কেবল এল এর জন্য খ এর মান প্রতিস্থাপন করুন:

জড়তা তাত্ত্বিক মুহুর্ত

অন্যান্য অক্ষের সাথে জড়তার মুহুর্তের গণনা সহজতর করার জন্য দুটি বিশেষত দরকারী উপপাদ্য রয়েছে, যা অন্যথায় প্রতিসামতার অভাবে খুঁজে পাওয়া মুশকিল হতে পারে। এই উপপাদ্যগুলি হ'ল:

স্টেইনারের উপপাদ্য

সমান্তরাল অক্ষকে উপপাদ্যও বলা হয়, এটি অক্ষের সমান্তরালে যতক্ষণ অক্ষরের সমান্তরাল হয় ততক্ষণ বস্তুর ভর কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায় এমন একটি অক্ষের সাথে জড়তার মুহুর্তের সাথে সম্পর্কিত হয়। এটি প্রয়োগ করার জন্য, উভয় অক্ষ এবং অবশ্যই বস্তুর ভর এম এর মধ্যে দূরত্ব ডি জানা দরকার।

আমি _{z- র হতে} একটি বস্তুর Z অক্ষের সাপেক্ষে বিস্তৃত নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত, আমি _{মুখ্যমন্ত্রীর} একটি অক্ষ যে বলেন বস্তুর (মুখ্যমন্ত্রী) ভরের কেন্দ্র মাধ্যমে প্রেরণ করা থেকে সম্মান সঙ্গে নিষ্ক্রিয়তা মুহূর্ত, তারপর এটি সন্তুষ্ট হয় যে:

বা নিম্নলিখিত চিত্রটির স্বরলিপিটিতে: I _{z '} = I _z + Md ²

চিত্র 8. স্টেইনারের উপপাদ্য বা সমান্তরাল অক্ষগুলি। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। জ্যাক দেখুন

লম্ব অক্ষের উপপাদ্য

এই উপপাদ্যটি বিমানের উপরিভাগে প্রয়োগ করা হয় এবং এটি এর মতো হয়: একটি অক্ষকে লম্ব করে চারপাশে বিমানের জড়তার মুহূর্তটি প্রথম অক্ষের সাথে লম্ব দুটি অক্ষের কাছাকাছি জড়তার মুহুর্তগুলির যোগফল:

চিত্র 9. লম্ব অক্ষের উপপাদ্য। সূত্র: এফ.জাপাটা।

যদি বস্তুর প্রতিসাম্য থাকে যেমন আমি _x এবং আমি _y সমান, তবে এটি সত্য যে:

অনুশীলনের সমাধান হয়েছে

চিত্র 1 (নীচে এবং ডানদিকে) এবং চিত্র 10 তে দেখানো মত একটি অক্ষের সাথে সম্মতি সহ বারের জড়তার মুহূর্তটি সন্ধান করুন।

চিত্র 10. এক প্রান্ত দিয়ে যা একটি অক্ষের চারপাশে একটি একজাত বারের জড়তার মুহূর্ত। সূত্র: এফ.জাপাটা।

সমাধান:

আমাদের ইতিমধ্যে একটি অক্ষের চারপাশে বারের জড়তার মুহূর্ত রয়েছে যা এর জ্যামিতিক কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়। যেহেতু বারটি সমজাতীয়, এর ভর কেন্দ্রের কেন্দ্রটি সেই মুহুর্তে, তাই স্টেইনারের উপপাদ্য প্রয়োগ করার জন্য এটিই আমার _{প্রধানমন্ত্রীর} হয়ে থাকবে।

বারটির দৈর্ঘ্য যদি L হয় তবে z অক্ষটি দূরত্বে D = L / 2 হয়, সুতরাং:

তথ্যসূত্র

1. বাউয়ার, ডাব্লু। 2011. প্রকৌশল ও বিজ্ঞানের জন্য পদার্থবিদ্যা। খণ্ড 1. ম্যাক গ্রু হিল। 313-340
2. রেক্স, এ। 2011. পদার্থবিজ্ঞানের মৌলিক বিষয়গুলি। পিয়ারসন। 190-200।
3. সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: হাইপারফিজিক্স.ফাই- অ্যাস্টারস.এসইউ.ইডু।
4. সার্ওয়ে, আর। 2018. বিজ্ঞান ও প্রকৌশল জন্য পদার্থবিদ্যা। ভলিউম 1. কেনেজ।
5. সেভিলা বিশ্ববিদ্যালয়। জড়তার গোলাকার ঘন ঘন moment থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: laplace.us.es।
6. সেভিলা বিশ্ববিদ্যালয়। একটি কণা সিস্টেমের জড়তা মুহুর্ত। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: laplace.us.es।
7. উইকিপিডিয়া। সমান্তরাল অক্ষের উপপাদ্য। পুনরুদ্ধার: en.wikedia.org থেকে