পুরো সংখ্যা: বৈশিষ্ট্য, উদাহরণ, অনুশীলন - গণিত - 2025

পূর্ণসংখ্যার দরকারী সংখ্যার একটি সেট বস্তু সম্পূর্ণ অবশ্যক গণনা এবং আছে আছে। যারা একদিকে এবং অন্যদিকে নির্দিষ্ট রেফারেন্সের জায়গা রয়েছে তাদের গণনা করা।

এছাড়াও পুরো সংখ্যার সাহায্যে আপনি সংখ্যার চেয়ে বড় বিয়োগ বা পার্থক্যটি সম্পাদন করতে পারেন এবং এর চেয়ে বড় আরও একটি উদাহরণ, উদাহরণস্বরূপ asণ হিসাবে নিষ্পত্তি হয়। উপার্জন এবং debtsণের মধ্যে পার্থক্য যথাক্রমে + এবং - চিহ্ন দ্বারা তৈরি করা হয়।

চিত্র 1. পুরো সংখ্যার জন্য সংখ্যা লাইন। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স। লেওমগ / সিসি বিওয়াই-এসএ (https://creativecommons.org/license/by-sa/3.0)।

সুতরাং, সম্পূর্ণ সংখ্যার সেটটিতে নিম্নলিখিতগুলি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে:

- ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যাগুলি, যা একটি + চিহ্ন দ্বারা পূর্বে লেখা হয়, বা কেবল চিহ্ন ছাড়া, কারণ এটিও বোঝা যায় যে তারা ইতিবাচক। উদাহরণস্বরূপ: +1, +2, + 3… ইত্যাদি।

-0, এতে চিহ্নটি অপ্রাসঙ্গিক, যেহেতু এটি কিছু পরিমাণ থেকে বিয়োগ করতে এটি যুক্ত করা কোনও বিষয় নয়। তবে 0টি খুব গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু এটি পূর্ণসংখ্যার জন্য রেফারেন্স: একদিকে ধনাত্মক এবং অন্যটি নেতিবাচক, যেমন আমরা চিত্র 1 এ দেখছি।

নেগেটিভ পূর্ণসংখ্যা, যা সর্বদা চিহ্নের আগে লেখা উচিত - যেহেতু তাদের সাথে debtsণের পরিমাণ এবং রেফারেন্সের অন্যদিকে থাকা সমস্তগুলি আলাদা করা হয়। নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার উদাহরণগুলি: -1, -2, -3… এবং এর পরে।

পূর্ণসংখ্যাগুলি কীভাবে উপস্থাপিত হয়?

শুরুতে আমরা সেট সংকেত সহ পুরো সংখ্যাটি উপস্থাপন করি: জেড = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, তালিকা এবং সংগঠিত তবে খুব দরকারী উপস্থাপনাটি হ'ল নম্বর লাইনের দ্বারা ব্যবহৃত। এটি করার জন্য, একটি লাইন আঁকতে প্রয়োজনীয়, যা সাধারণত অনুভূমিক, যার উপর 0 চিহ্নিত এবং অভিন্ন বিভাগে বিভক্ত:

চিত্র 2. নম্বর লাইনে পুরো সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব। 0 থেকে ডানদিকে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং 0 থেকে বামে নেতিবাচকগুলি রয়েছে। সূত্র: এফ.জাপাটা।

নেতিবাচকগুলি 0 এর বাম দিকে যায় এবং ধনাত্মক ডানদিকে যায়। নম্বর লাইনের তীরগুলি প্রতীক দেয় যে সংখ্যাগুলি অনন্তের দিকে চলে। যে কোনও পূর্ণসংখ্যা দেওয়া হয়, সর্বদা এটির চেয়ে বড় বা অন্যটি কম যা খুঁজে পাওয়া সম্ভব।

একটি পূর্ণসংখ্যার পরম মান

একটি পূর্ণসংখ্যার পরম মান হ'ল সংখ্যা এবং 0 এর মধ্যে দূরত্ব এবং দূরত্ব সর্বদা ধনাত্মক থাকে। সুতরাং theণাত্মক পূর্ণসংখ্যার পরম মানটি এর বিয়োগ চিহ্ন ছাড়া সংখ্যা।

উদাহরণস্বরূপ, -5 এর পরম মান 5 হয় নিরঙ্কুশ মানটি বার দ্বারা চিহ্নিত করা হয়:

--5- = 5

এটি দেখার জন্য, কেবল নম্বর-লাইনের শূন্যস্থানগুলি -5 থেকে 0 পর্যন্ত গণনা করুন যদিও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার পরম মান একই সংখ্যা হিসাবে উদাহরণস্বরূপ - + 3- = 3, যেহেতু 0 থেকে তার দূরত্ব 3 স্পেস সহ:

চিত্র 3. একটি সম্পূর্ণ সংখ্যার পরম মান সর্বদা একটি ধনাত্মক পরিমাণ। সূত্র: এফ.জাপাটা।

প্রোপার্টি

- পূর্ণসংখ্যার সেটটি জেড হিসাবে চিহ্নিত করা হয় এবং এতে প্রাকৃতিক সংখ্যা এন এর সেট অন্তর্ভুক্ত থাকে, তাদের উপাদানগুলি অসীম।

-একটি সম্পূর্ণ সংখ্যা এবং এর পরে যে একটি (বা তার আগে যেটি আসে) সর্বদা unityক্যের মধ্যে আলাদা হয়। উদাহরণস্বরূপ, 5 পরে 6 আসে, যার মধ্যে 1 তাদের মধ্যে পার্থক্য।

-প্রতি পূর্ণসংখ্যার একজন পূর্বসূরী এবং উত্তরসূরি রয়েছে।

কোনও ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা 0 এর চেয়ে বড়।

-এ নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার সর্বদা 0 এর চেয়ে কম এবং কোনও ধনাত্মক সংখ্যা থাকে। উদাহরণস্বরূপ -100 সংখ্যাটি ধরুন, এটি 2 এর চেয়ে কম 10 এবং 50 এর চেয়ে কম But

-0 টিতে স্বাক্ষর বিবেচনা নেই, কারণ এটি নেতিবাচক বা ইতিবাচকও নয়।

- সম্পূর্ণ সংখ্যার সাহায্যে আপনি প্রাকৃতিক সংখ্যার সাথে সমান ক্রিয়াকলাপ পরিচালনা করতে পারেন, যথা: সংযোজন, বিয়োগফল, গুণ, ক্ষমতায়ন এবং আরও অনেক কিছু।

- একটি পূর্ণসংখ্যার x এর বিপরীতে পূর্ণসংখ্যাটি x হয় এবং এর বিপরীতের সাথে পূর্ণসংখ্যার যোগফল 0 হয়:

x + (-x) = 0।

পূর্ণসংখ্যার সাথে অপারেশন

- সম

যদি যোগ করা সংখ্যার একই চিহ্ন থাকে তবে তাদের নিখুঁত মান যুক্ত করা হয় এবং ফলাফলটি সংযোজনকারীদের চিহ্ন সহ স্থাপন করা হয়। এখানে কিছু উদাহরন:

ক) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

খ) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-যদি সংখ্যাগুলি পৃথক চিহ্নের হয় তবে পরম মানগুলি বিয়োগ করা হয় (সর্বনিম্ন থেকে সর্বোচ্চ) এবং ফলাফলটি সর্বোচ্চ পরম মানের সাথে সংখ্যার সাইন দিয়ে স্থাপন করা হয়:

ক) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

খ) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

পূর্ণসংখ্যার যোগফলের বৈশিষ্ট্য

- যোগফলটি পরিবর্তনশীল, সুতরাং সংযোজনগুলির ক্রম যোগফলকে পরিবর্তন করে না। A এবং b কে দুটি পূর্ণসংখ্যার হতে দিন, এটি সত্য যে a + b = b + a

-0 হল পূর্ণসংখ্যার যোগফলের নিরপেক্ষ উপাদান: a + 0 = a

এর বিপরীতে যে কোনও পূর্ণসংখ্যা যোগ করা হয় এটি 0 হয় + a এর বিপরীত isa এবং বিপরীতভাবে –a এর বিপরীত + + হয়। অতএব: (+ ক) + (-এ) = 0।

চিত্র 2. পুরো সংখ্যার যোগ করার জন্য লক্ষণের বিধি। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

- বিয়োগ

পুরো সংখ্যা বিয়োগ করতে, এই নিয়ম দ্বারা একজনকে অবশ্যই পরিচালনা করতে হবে: বিয়োগটি এর বিপরীতের সাথে সংখ্যার যোগ করার সমান। এর পরে a এবং b এর দুটি সংখ্যা হওয়া যাক:

a - b = a + (-বি)

উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আপনার নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপটি করা দরকার: (-3) - (+7), তারপরে:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- গুণ

সম্পূর্ণ সংখ্যার গুণক চিহ্নগুলির জন্য নির্দিষ্ট নিয়ম অনুসরণ করে:

- একই চিহ্ন সহ দুটি সংখ্যার পণ্য সর্বদা ধনাত্মক।

- যখন বিভিন্ন চিহ্ন সহ দুটি সংখ্যা গুণিত হয়, ফলাফল সর্বদা নেতিবাচক হয়।

- পণ্যের মানটি সম্পর্কিত পরম মানগুলিকে গুন করার সমান।

তাত্ক্ষণিকভাবে কয়েকটি উদাহরণ যা উপরেরগুলি স্পষ্ট করে:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

পূর্ণসংখ্যার গুণনের গুণাবলী

- বহুবৃত্তি পরিবর্তনশীল। A এবং b দুটি পূর্ণসংখ্যা হওয়া যাক, এটি সত্য যে: ab = বাহ, যা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

গুণনের নিরপেক্ষ উপাদানটি হল ১. একটি পুরো সংখ্যা হিসাবে ধরা যাক, তাই a.1 = 1

-০ দ্বারা গুণিত কোনও পূর্ণসংখ্যা 0: a.0 = 0 এর সমান

বিতরণ সম্পত্তি

গুণটি সংযোজন সম্পর্কিত বিতরণযোগ্য সম্পত্তির সাথে সম্মতি জানায়। যদি a, b এবং c পুরো সংখ্যা হয় তবে:

a। (b + c) = ab + ac

এই সম্পত্তিটি কীভাবে প্রয়োগ করা যায় তার একটি উদাহরণ এখানে দেওয়া হয়েছে:

(-3)। = (-3)। (- 4) + (- 3).11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

ক্ষমতায়ন

-যদি বেসটি ইতিবাচক হয় তবে অপারেশনের ফলাফল সর্বদা ইতিবাচক হয়।

-যখন বেসটি নেতিবাচক হয়, ঘনিষ্ঠটি সমান হলে ফলাফলটি ইতিবাচক হয়। এবং যদি উদ্দীপকটি বিজোড় হয় তবে ফলাফলটি নেতিবাচক।

- বিভাগ

একই চিহ্নের বিধিগুলি গুণে যেমন বিভাগে প্রয়োগ হয়:

- যখন একই চিহ্নের দুটি সম্পূর্ণ সংখ্যা বিভক্ত হয়, ফলাফল সর্বদা ইতিবাচক হয়।

- যখন বিভিন্ন চিহ্ন সহ দুটি পূর্ণসংখ্যা ভাগ করা হয়, ভাগফলটি নেতিবাচক হয়।

উদাহরণ স্বরূপ:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

গুরুত্বপূর্ণ: বিভাজন পরিবর্তনমূলক নয়, অন্য কথায় a ÷ b ≠ b ÷ a এবং সর্বদা হিসাবে, 0 দ্বারা বিভাজন অনুমোদিত নয়।

- ক্ষমতায়ন

একটি পূর্ণসংখ্যা হিসাবে ধরা যাক এবং আমরা এটিকে একটি সূচক এনগুলিতে বাড়িয়ে তুলতে চাই, তারপরে আমাদের অবশ্যই নীচে দেখানো হিসাবে n বার করে গুণতে হবে:

a ⁿ = aaaa…..এএ

নীচের বিষয়গুলিও বিবেচনা করুন, এটি একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করে:

-একটি যদি negativeণাত্মক হয় এবং n সমান হয় তবে ফলাফলটি ইতিবাচক হয়।

- যখন একটি নেতিবাচক এবং এন বিজোড় হয়, এটি নেতিবাচক সংখ্যার ফলাফল করে।

-একটি যদি ধনাত্মক হয় এবং n সম বা বিজোড় হয় তবে ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার ফলাফল সর্বদা পাওয়া যায়।

0-তে বড় হওয়া কোনও পূর্ণসংখ্যা 1: a ⁰ = 1 এর সমান

1 তে উত্থাপিত যে কোনও সংখ্যা সংখ্যার সমান: a ¹ = a

আসুন উদাহরণস্বরূপ বলা যাক যে আমরা (–3) ⁴ খুঁজতে চাই, এটি করার জন্য আমরা নিজের দ্বারা চার বার (-3) গুন করব: (–3)। (- 3)। (- 3)। (- 3) = 81।

নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার সাথে অন্য একটি উদাহরণ হ'ল:

(-2) ³ = (-2)। (- 2)। (- 2) = -8

সমান বেসের ক্ষমতার পণ্য

ধরুন, সমান বেসের দুটি শক্তি, যদি আমরা তাদেরকে গুণিত করি তবে আমরা একই বেসের সাথে আরও একটি শক্তি অর্জন করি, যার ঘাঁটি দেওয়া প্রদায়কদের যোগফল:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

সমান বেস শক্তি ভাগফল

সমান বেসের ক্ষমতার বিভাজন করার সময়, ফলাফলটি একই বেসের সাথে একটি শক্তি হয়, যার ঘাঁটি দেওয়া প্রদায়কদের বিয়োগফল হয়:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

এখানে দুটি উদাহরণ যা এই বিষয়গুলি পরিষ্কার করে:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

উদাহরণ

আসুন এই নিয়মগুলি প্রয়োগ করার জন্য সহজ উদাহরণগুলি দেখুন, মনে রাখবেন যে ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে সাইনটি দিয়ে সরবরাহ করা যেতে পারে:

ক) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

খ) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

গ) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

ছ) (- 4) এক্স (-11) = 4 এক্স 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

সমাধান ব্যায়াম

- অনুশীলনী 1

পিঁপড়াটি চিত্র ১ এর নং রেখাটি বরাবর সরানো হয় বিন্দু x = +3 থেকে শুরু করে এটি নিম্নলিখিত নড়াচড়া করে:

- ডানদিকে 7 ইউনিট সরায়

- এখন আপনি 5 ইউনিট বাম দিকে ফিরে আসবেন

বাম দিকে আরও 3 ইউনিট চলুন।

তিনি ফিরে যান এবং 4 ইউনিট ডানদিকে নিয়ে যান।

ট্যুর শেষে পিঁপড়াটি কোন পর্যায়ে রয়েছে?

সমাধান

স্থানচ্যুতি ডি কল করা যাক। যখন তারা ডানদিকে থাকে তখন তাদেরকে একটি ইতিবাচক চিহ্ন এবং যখন তারা বাম দিকে হয় তখন একটি নেতিবাচক চিহ্ন দেওয়া হয়। এইভাবে, এবং x = +3 থেকে শুরু করে আমাদের কাছে রয়েছে:

-প্রথম ডি: x ₁ = +3 + 7 = +10

-সেকেন্ড ডি: x ₂ = +10 + (-5) = +5

তৃতীয় ডি: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-রোম ডি: x ₄ = + 2 + 4 = +6

পিপীলিকা তার হাঁটা শেষ করলে এটি x = +6 অবস্থানে থাকে। অর্থাৎ সংখ্যা লাইনে এটি 0 টির ডানদিকে 6 ইউনিট।

- অনুশীলন 2

নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপটি সমাধান করুন:

{36 +}। {- + 2 (-8 + 6)]}

সমাধান

এই অপারেশনে গ্রুপিং লক্ষণ রয়েছে, যা বন্ধনী, বর্গাকার বন্ধনী এবং ধনুর্বন্ধনী। সমাধান করার সময়, আপনাকে প্রথমে বন্ধনীগুলির যত্ন নিতে হবে, তার পরে বন্ধনী এবং শেষ অবধি বন্ধনীগুলি। অন্য কথায়, আপনাকে ভিতরে থেকে বাইরে কাজ করতে হবে।

এই অনুশীলনে, বিন্দুটি একটি গুণকে উপস্থাপন করে, তবে যদি কোনও সংখ্যা এবং প্রথম বন্ধনের বা অন্য চিহ্নের মধ্যে কোনও বিন্দু না থাকে তবে এটি একটি পণ্য হিসাবেও বোঝা যায়।

ধাপে ধাপে নীচে, রঙগুলি প্রথম বন্ধনী হ্রাস করার ফলাফল অনুসরণ করার জন্য গাইড হিসাবে কাজ করে, যা অন্তঃস্থলীয় দলবদ্ধ প্রতীকগুলি:

{36 +}। {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}। {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}। {- 4]} =

= {52}। {1- 4]} = {52}। {- 3} = -156

- অনুশীলন 3

প্রথম ডিগ্রি সমীকরণ সমাধান করুন:

12 + x = 30 + 3x

সমাধান

পদগুলি সমতার বামে অজানা এবং ডান সংখ্যাসূচক শর্তাদি সহ গোষ্ঠীযুক্ত:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

তথ্যসূত্র

1. কেরেনা, এম। 2019. প্রাক-বিশ্ববিদ্যালয় গণিতের ম্যানুয়াল। লিটোরাল জাতীয় বিশ্ববিদ্যালয়।
2. ফিগার, জে 2000. 7 ম গ্রেড গণিত। সিও-বিও সংস্করণ।
3. হফম্যান, জে। 2005. গণিতের বিষয় নির্বাচন। মনফোর্ট পাবলিকেশনস।
4. জিমনেজ, আর। 2008. বীজগণিত। প্রেন্টিস হল.
5. পুরো সংখ্যা। থেকে উদ্ধার করা: Cimanet.uoc.edu।