আসল সংখ্যা: ইতিহাস, উদাহরণ, বৈশিষ্ট্য, ক্রিয়াকলাপ - গণিত - 2025

বাস্তব সংখ্যার সংখ্যাসূচক সেট যে প্রাকৃতিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ এবং যুক্তিহীন অন্তর্ভুক্ত গঠন করে। এগুলিকে প্রতীক are বা কেবল আর দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং বিজ্ঞান, প্রকৌশল এবং অর্থনীতিতে তাদের ক্ষেত্র এমন যে "সংখ্যার" কথা বলার সময়, এটি প্রায় সত্যই বিবেচিত হয় যে এটি একটি আসল সংখ্যা।

প্রাচীন নাম থেকেই সত্যিকারের সংখ্যা ব্যবহৃত হয়, যদিও তাদের নাম দেওয়া হয়নি। পাইথাগোরাস তাঁর বিখ্যাত উপপাদ্য বিকাশের সময় থেকেই এমন সংখ্যার উত্থান হয়েছিল যা প্রাকৃতিক সংখ্যা বা পূর্ণসংখ্যার ভাগ হিসাবে পাওয়া যায়নি।

চিত্র 1. ভেন ডায়াগ্রামটি দেখায় যে কীভাবে আসল সংখ্যার সেটটিতে অন্যান্য নম্বর সেট থাকে। উত্স> উইকিমিডিয়া কমন্স।

সংখ্যার উদাহরণগুলি √2, √3 এবং, π এই সংখ্যাগুলি যুক্তিবাদী সংখ্যার বিপরীতে অযৌক্তিক বলা হয়, যা পুরো সংখ্যার ভাগফল থেকে আসে। সুতরাং এটি প্রয়োজনীয় একটি সংখ্যার সেট যা উভয় শ্রেণীর সংখ্যার অন্তর্ভুক্ত।

"রিয়েল নাম্বার" শব্দটি বহু গণিত সমীকরণ সমাধানে উত্থিত হতে পারে এমন দুটি ধরণের শিকড়ের মধ্যে পার্থক্য করার জন্য মহান গণিতবিদ রেনা ডেসকার্টেস (1596-1650) তৈরি করেছিলেন।

এর মধ্যে কয়েকটি মূল এমনকি নেতিবাচক সংখ্যারও শিকড় হতে পারে, ডেসকার্টেস এগুলিকে "কাল্পনিক সংখ্যা" বলে অভিহিত করেছিলেন এবং যারা ছিলেন না, তারা আসল সংখ্যা ছিল।

সংজ্ঞা সময়ের সাথে সাথে চলতে থাকে, দুটি বৃহত সংখ্যাসূচক সেটগুলিকে জন্ম দেয়: আসল সংখ্যা এবং জটিল সংখ্যা, একটি বৃহত্তর সেট যার মধ্যে আসল সংখ্যা, কাল্পনিক সংখ্যা এবং সেই অংশগুলি বাস্তব এবং অংশের কাল্পনিক।

আসল সংখ্যার বিবর্তনটি 1872 সাল অবধি অব্যাহত ছিল, গণিতবিদ রিচার্ড দেদেকাইন্ড (1831-1936) তথাকথিত দেদেকিন্ড কাটগুলির মাধ্যমে আসল সংখ্যার সেটকে আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন। তাঁর রচনাটির সংশ্লেষণটি একটি নিবন্ধে প্রকাশিত হয়েছিল যা একই বছর আলো দেখেছে।

আসল সংখ্যার উদাহরণ

নীচের সারণীতে প্রকৃত সংখ্যাগুলির উদাহরণ দেখানো হয়েছে। এই সেটটিতে প্রাকৃতিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, যুক্তিবাদী এবং অযৌক্তিক হিসাবে উপসর্গ রয়েছে। এই সেটগুলির যেকোন সংখ্যা হ'ল নিজেই একটি আসল সংখ্যা।

সুতরাং 0, নেতিবাচক, ধনাত্মক, ভগ্নাংশ এবং দশমিক হ'ল আসল সংখ্যা।

চিত্র ২. প্রকৃত সংখ্যার উদাহরণগুলি হ'ল প্রাকৃতিক, পূর্ণসংখ্যা, যুক্তিবাদী, অযৌক্তিক এবং ট্রান্সসেন্টেন্ট। সূত্র: এফ.জাপাটা।

আসল লাইনে আসল সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব

বাস্তব সংখ্যার বাস্তব লাইনে প্রতিনিধিত্ব করা যাবে আর যেমন ছবিতে দেখানো। 0 টি সর্বদা উপস্থিত থাকার প্রয়োজন হয় না, তবে এটি জেনে রাখা সুবিধাজনক যে নেতিবাচক বাস্তবগুলি বাম দিকে এবং ইতিবাচকগুলি ডানদিকে রয়েছে। সে কারণেই এটি একটি চমৎকার রেফারেন্স পয়েন্ট।

আসল লাইনে, একটি স্কেল নেওয়া হয়, যেখানে পূর্ণসংখ্যাগুলি পাওয়া যায়:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…। তীরটি ইঙ্গিত করে যে লাইনটি অনন্ততায় প্রসারিত। তবে এটি সমস্ত নয়, বিবেচিত ব্যবধানে আমরা সর্বদা অসীম প্রকৃত সংখ্যাগুলিও খুঁজে পাই।

আসল সংখ্যাগুলি ক্রমে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। শুরুতে, পূর্ণসংখ্যার ক্রম রয়েছে, যেখানে ইতিবাচকগুলি সর্বদা 0 এর চেয়ে বেশি থাকে, তবে sণাত্মক কম থাকে।

এই অর্ডারটি আসল সংখ্যার মধ্যে রাখা হয়েছে। নিম্নলিখিত অসমতার উদাহরণ হিসাবে দেখানো হয়েছে:

ক) -1/2 <√2

খ) ই <π

গ) π> -1/2

চিত্র 3.- আসল লাইন। সূত্র: উইকিমিডিয়া কমন্স।

আসল সংখ্যার বৈশিষ্ট্য

-প্রকাশের সংখ্যাগুলির মধ্যে প্রাকৃতিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, যুক্তিযুক্ত সংখ্যা এবং অযৌক্তিক সংখ্যা অন্তর্ভুক্ত।

- সংযোজনগুলির ক্রমবর্ধমান সম্পত্তি পূর্ণ হয়: সংযোজনগুলির ক্রম যোগফলকে পরিবর্তন করে না। যদি ক এবং খ দুটি প্রকৃত সংখ্যা হয় তবে সর্বদা সত্য যে:

a + b = b + a

0 টি যোগফলের নিরপেক্ষ উপাদান: a + 0 = a

- যোগফলের জন্য সহযোগী সম্পত্তি পূর্ণ হয়। যদি ক, খ এবং গ প্রকৃত সংখ্যা হয়: (ক + বি) + সি = এ + (বি + সি)।

- আসল সংখ্যার বিপরীতে হ'ল

বিয়োগের যোগফল হিসাবে বিয়োগফলকে সংজ্ঞায়িত করা হয়: a - b = a + (-b)।

- পণ্যটির ক্রমবর্ধমান সম্পত্তি পূর্ণ হয়: কারণগুলির ক্রম পণ্য পরিবর্তন করে না: আব = বা ba

পণ্যটিতে সহকারী সম্পত্তিটিও প্রয়োগ করা হয়: (আব).সি = ক। (বিসি)

-1 1 হ'ল গুণটির নিরপেক্ষ উপাদান: a.1 = a

- গুণনের বিতরণ সম্পত্তি সংযোজনের ক্ষেত্রে বৈধ: ক। (b + c) = ab + ac

0 দ্বারা বিভাজন সংজ্ঞায়িত করা হয় না।

-১০ ব্যতীত যে কোনও আসল সংখ্যার ^{A -1} = 1 এর মতো ^{-1 এর} গুণক বিপরীত থাকে ।

-এক যদি একটি আসল সংখ্যা হয়: একটি ⁰ = 1 এবং ¹ = a।

- একটি আসল সংখ্যার পরম মান বা মডুলাসটি হল সংখ্যা এবং 0 এর মধ্যে দূরত্ব।

আসল সংখ্যা সহ অপারেশন

আসল সংখ্যার সাহায্যে আপনি সংখ্যাসূচক সেটগুলির সাথে অপারেশনগুলি করতে পারেন যা সংযোজন, বিয়োগ, গুণ, বিভাগ, ক্ষমতায়ন, রেডিকেশন, লগারিদম এবং আরও অনেক কিছু সহ।

সর্বদা হিসাবে, 0 দ্বারা বিভাজন সংজ্ঞায়িত করা হয় না, তেমনি negativeণাত্মক সংখ্যা বা 0 এর লগারিদমও করে না, যদিও এটি লগ 1 = 0 এবং 0 এবং 1 এর মধ্যে সংখ্যার লোগারিথগুলি negativeণাত্মক।

অ্যাপ্লিকেশন

সমস্ত ধরণের পরিস্থিতিতে সত্যিকারের সংখ্যার প্রয়োগ অত্যন্ত বিচিত্র var সঠিক সংখ্যা বিজ্ঞান, কম্পিউটার বিজ্ঞান, প্রকৌশল, অর্থনীতি এবং সামাজিক বিজ্ঞানের অনেক সমস্যার উত্তর হিসাবে উপস্থিত হয় appear

দূরত্ব, সময়, বাহিনী, শব্দের তীব্রতা, অর্থ এবং আরও অনেক কিছুর মতো সমস্ত ধরণের পরিমাণ এবং পরিমাণের বাস্তব সংখ্যায় তাদের প্রকাশ রয়েছে।

টেলিফোন সিগন্যালগুলির সংক্রমণ, একটি ভিডিওর চিত্র এবং শব্দ, এয়ার কন্ডিশনার, একটি হিটার বা একটি রেফ্রিজারেটরের তাপমাত্রা ডিজিটালি নিয়ন্ত্রণ করা যায়, যার অর্থ শারীরিক পরিমাণকে সংখ্যার সিকোয়েন্সে রূপান্তরিত করা।

ইন্টারনেটে ব্যাংকিং লেনদেন করার সময় বা তাত্ক্ষণিক বার্তাপ্রেরণের পরামর্শের ক্ষেত্রেও এটি ঘটে। আসল সংখ্যাগুলি সর্বত্র।

অনুশীলনের সমাধান হয়েছে

আমরা অনুশীলনগুলির সাথে দেখতে যাচ্ছি যে এই সংখ্যাগুলি কীভাবে আমাদের সাধারণ পরিস্থিতিতে সম্মুখীন হয় সাধারণ পরিস্থিতিতে কীভাবে কাজ করে।

অনুশীলনী 1

পোস্ট অফিস কেবল প্যাকেজগুলি গ্রহণ করে যার জন্য দৈর্ঘ্য, ঘের পরিমাপ 108 ইঞ্চি অতিক্রম করে না। সুতরাং, প্রদর্শিত প্যাকেজটি গ্রহণযোগ্য হওয়ার জন্য এটি অবশ্যই পূরণ করতে হবে:

L + 2 (x + y) ≤ 108

ক) 6 ইঞ্চি প্রশস্ত, 8 ইঞ্চি লম্বা এবং 5 ফুট দীর্ঘ প্যাকেজটি কি তা পেরে উঠবে?

খ) 2 x 2 x 4 ফুট ³ পরিমাপ করে এমন একটি সম্পর্কে কী বলা যায় ?

গ) এমন প্যাকেজের সর্বোচ্চ গ্রহণযোগ্য উচ্চতা কত? যার ভিত্তি বর্গক্ষেত্র এবং 9 x 9 ইঞ্চি ² পরিমাপ করে ?

উত্তর

এল = 5 ফুট = 60 ইঞ্চি

x = 6 ইঞ্চি

y = 8 ইঞ্চি

সমাধানের জন্য অপারেশনটি হ'ল:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) ইঞ্চি = 60 + 2 x 14 ইঞ্চি = 60 + 28 ইঞ্চি = 88 ইঞ্চি

প্যাকেজ গ্রহণ করা হয়।

উত্তর খ

এই প্যাকেটের মাত্রা প্যাকেট ক এর চেয়ে ছোট), তাই তারা উভয়েই এটি তৈরি করে।

উত্তর গ

এই প্যাকেজে:

x = এল = 9 ইঞ্চি

এটি অবশ্যই লক্ষ্য করা যায় যে:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

এবং 40.5 ইঞ্চি

তথ্যসূত্র

1. কেরেনা, এম। 2019. প্রাক-বিশ্ববিদ্যালয় গণিতের ম্যানুয়াল। লিটোরাল জাতীয় বিশ্ববিদ্যালয়।
2. দিয়েগো, এ। আসল সংখ্যা এবং তাদের বৈশিষ্ট্য। থেকে উদ্ধার করা হয়েছে: matematica.uns.edu.ar।
3. ফিগার, জে 2000. গণিত 9 তম। ডিগ্রি সিও-বিও সংস্করণ।
4. জিমনেজ, আর। 2008. বীজগণিত। প্রেন্টিস হল.
5. স্টুয়ার্ট, জে। 2006. প্রিক্যালকুলাস: ক্যালকুলাসের জন্য গণিত। ৫ ম। সংস্করণ। কেনেজ লার্নিং।