ক্রস পণ্য: বৈশিষ্ট্য, অ্যাপ্লিকেশন এবং অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

ক্রস পণ্য বা ভেক্টর পণ্য দুই বা ততোধিক ভেক্টর গুন একটি উপায়। ভেক্টরকে গুণিত করার জন্য তিনটি উপায় রয়েছে তবে এগুলির কোনওটিই শব্দের স্বাভাবিক অর্থে গুণ নয়। এই ফর্মগুলির মধ্যে একটি ভেক্টর পণ্য হিসাবে পরিচিত, যার ফলশ্রুতি তৃতীয় ভেক্টর।

ক্রস পণ্য, যাকে ক্রস পণ্য বা বাইরের পণ্যও বলা হয়, এর বিভিন্ন বীজগণিত এবং জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য রয়েছে। বিশেষত পদার্থবিজ্ঞানের অধ্যয়নের ক্ষেত্রে এই বৈশিষ্ট্যগুলি খুব কার্যকর in

সংজ্ঞা

ভেক্টর পণ্যটির একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা নিম্নরূপ: যদি A = (a1, a2, a3) এবং B = (b1, b2, b3) ভেক্টর হয় তবে A এবং B এর ভেক্টর পণ্য, যা আমরা AxB হিসাবে চিহ্নিত করব:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

AxB স্বরলিপি কারণে এটি "A ক্রস বি" হিসাবে পড়া হয়।

বাহ্যিক পণ্যটি কীভাবে ব্যবহার করবেন তার একটি উদাহরণ হ'ল যদি এ = (1, 2, 3) এবং বি = (3, -2, 4) ভেক্টর হয়, তবে আমাদের যে ভেক্টর পণ্যের সংজ্ঞা রয়েছে তা ব্যবহার করে:

অ্যাক্সবি = (১, ২, ৩) এক্স (৩, -২, ৪) = (২ * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8)।

ভেক্টর পণ্য প্রকাশ করার আর একটি উপায় নির্ধারকগুলির স্বরলিপি দ্বারা প্রদত্ত।

দ্বিতীয় অর্ডার নির্ধারণকারীর গণনা প্রদান করেছেন:

সুতরাং, সংজ্ঞায় প্রদত্ত ক্রস প্রোডাক্টের সূত্রটি আবার নিম্নরূপে লেখা যেতে পারে:

এটি সাধারণত তৃতীয়-ক্রম নির্ধারণকারী হিসাবে নিম্নরূপে সরলীকৃত হয়:

যেখানে আমি, জে, কে ভেক্টরগুলি উপস্থাপন করে যা আর ^{3 এর} ভিত্তি তৈরি করে ।

ক্রস পণ্যটি প্রকাশ করার এই উপায়টি ব্যবহার করে আমাদের কাছে আগের উদাহরণটি আবার লিখতে পারে:

প্রোপার্টি

ভেক্টর পণ্য ধারণ করে এমন কিছু বৈশিষ্ট্য নিম্নলিখিত:

সম্পত্তি ঘ

যদি ³ আর ^{3 তে} কোনও ভেক্টর হয় তবে আমাদের রয়েছে:

- অ্যাক্সএ = 0

- এক্স 0 = 0

- 0xA = 0

এই বৈশিষ্ট্যগুলি কেবল সংজ্ঞা ব্যবহার করে চেক করা সহজ। যদি এ = (এ 1, এ 2, এ 3) থাকে তবে:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0।

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0।

যদি আমি, জে, কে আর ³ এর ইউনিট বেস উপস্থাপন করে, তবে আমরা সেগুলি নীচে লিখতে পারি:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

কে = (0, 0, 1)

সুতরাং, আমাদের আছে যে নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি সত্য:

স্তন্যপায়ী নিয়ম হিসাবে, নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলি প্রায়শই এই বৈশিষ্ট্যগুলি মনে রাখার জন্য ব্যবহৃত হয়:

সেখানে অবশ্যই আমাদের লক্ষ্য রাখতে হবে যে কোনও ভেক্টর নিজের সাথে ভেক্টরকে 0 প্রদান করে এবং বাকী পণ্যগুলি নীচের নিয়মে প্রাপ্ত করা যেতে পারে:

ঘড়ির কাঁটার দিকে ক্রমাগত দুটি ভেক্টরের ক্রস প্রোডাক্ট পরবর্তী ভেক্টর দেয়; এবং যখন পাল্টা-ঘড়ির কাঁটার দিক বিবেচনা করা হয়, ফলাফলটি নেতিবাচক চিহ্ন সহ নিম্নলিখিত ভেক্টর।

এই বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য ধন্যবাদ আমরা দেখতে পারি যে ভেক্টর পণ্যটি পরিবর্তনশীল নয়; উদাহরণস্বরূপ, কেবলমাত্র ixj ≠ jx i নোট করুন। নিম্নলিখিত সম্পত্তিটি আমাদের জানায় যে কীভাবে AxB এবং BxA সাধারণভাবে সম্পর্কিত।

সম্পত্তি 2

যদি A এবং B R ³ এর ভেক্টর হয় তবে আমাদের রয়েছে:

অক্সবি = - (বিএক্সএ)।

প্রদর্শন

যদি বাহ্যিক পণ্যের সংজ্ঞা অনুসারে A = (a1, a2, a3) এবং B = (b1, b2, b3) থাকে তবে:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (বিএক্সএ)।

আমরা আরও দেখতে পাচ্ছি যে এই পণ্যটি নিম্নলিখিত উদাহরণের সাথে সম্মিলিত নয়:

ix (ixj) = ixk = - j তবে (ixi) xj = 0xj = 0

এটি থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

সম্পত্তি 3

যদি A, B, C R ³ এর ভেক্টর হয় এবং r একটি আসল সংখ্যা হয় তবে নিম্নলিখিতটি সত্য:

- এক্স (বি + সি) = এক্সবি + এক্সসি

- আর (এক্সএক্সবি) = (আরএ) এক্সবি = এক্স (আরবি)

এই বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য ধন্যবাদ আমরা বীজগণিতের আইন ব্যবহার করে ভেক্টর পণ্য গণনা করতে পারি, যদি শর্তটি সম্মানিত হয়। উদাহরণ স্বরূপ:

যদি এ = (1, 2, 3) এবং বি = (3, -2, 4) হয় তবে আমরা তাদের আর ³ এর নীতিগত ভিত্তিতে আবার লিখতে পারি ।

সুতরাং, A = i + 2j + 3k এবং B = 3i - 2j + 4k। তারপরে, পূর্ববর্তী বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করা:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (কেএক্সজি) - 6 (কেএক্সজে) +12 (কেএক্সকি)

= 3 (0) - 2 (কে) + 4 (- জে) + 6 (- কে) - 4 (0) + 8 (আই) + 9 (জে) - 6 (- আই) +12 (0)

= - 2 কে - 4 জ - 6 কে + 8 আই + 9 জ + 6 আই = 14 আই + 5 জ - 4 কে

= (14, 5, - 8)।

সম্পত্তি 4 (ট্রিপল ডট পণ্য)

যেমনটি আমরা শুরুতে উল্লেখ করেছি, ভেক্টর পণ্য ছাড়াও ভেক্টরকে গুণ করার অন্যান্য উপায় রয়েছে। এর মধ্যে অন্যতম উপায় হল স্কেলারের পণ্য বা অভ্যন্তরীণ পণ্য, যা A ∙ B হিসাবে চিহ্নিত এবং যার সংজ্ঞা:

যদি এ = (এ 1, এ 2, এ 3) এবং বি = (বি 1, বি 2, বি 3) হয় তবে A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

উভয় পণ্য সম্পর্কিত সম্পত্তি যে ট্রিপল স্কেলার পণ্য হিসাবে পরিচিত।

যদি A, B এবং C আর ³ এর ভেক্টর হয় তবে A ∙ BxC = AxB ∙ C

উদাহরণ হিসাবে দেখা যাক, এ = (1, 1, - 2), বি = (- 3, 4, 2) এবং সি = (- 5, 1, - 4) প্রদত্ত এই সম্পত্তিটি সন্তুষ্ট।

বিএক্সসি = - 3 কে - 12 জে + 20 কে - 16 আই - 10 জ - 2 আই = - 18 আই - 22 জ + 17 ক

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

অন্য দিকে:

AxB = 4 কে - 2 জে + 3 কে + 2 আই + 6 জ + 8 আই = 10 আই + 4 জ + 7 কে

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

আর একটি ট্রিপল পণ্য হ'ল এক্স (বিএক্সসি), যা ট্রিপল ভেক্টর পণ্য হিসাবে পরিচিত।

সম্পত্তি 5 (ট্রিপল ভেক্টর পণ্য)

যদি A, B এবং C R ³ এর ভেক্টর হয় তবে:

Ax (BxC) = (A ∙ C) বি - (A ∙ B) গ

উদাহরণ হিসাবে দেখা যাক, এ = (1, 1, - 2), বি = (- 3, 4, 2) এবং সি = (- 5, 1, - 4) প্রদত্ত এই সম্পত্তিটি সন্তুষ্ট।

পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে আমরা জানি যে BxC = (- 18, - 22, 17)। আসুন গণনা করি এক্স (বিএক্সসি):

এক্স (বিএক্সসি) = - 22 কে - 17 জ + 18 কে + 17 আই + 36 জ - 44 আই = - 27 আই + 19 জ - 4 কে

অন্যদিকে, আমাদের:

এ ∙ সি = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

এ ∙ বি = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

সুতরাং, আমাদের করতে হবে:

(A ∙ C) বি - (এ ∙ বি) সি = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

সম্পত্তি 6

এটি ভেক্টরগুলির জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটি। যদি A এবং B আর ^{3 তে} দুটি ভেক্টর হয় এবং ϴ তাদের মধ্যে গঠিত কোণ হয় তবে:

--এক্সবি-- = - এ ---- বি - পাপ (ϴ), যেখানে - ∙ - কোনও ভেক্টরের মডিউলাস বা পরিমাণকে বোঝায়।

এই সম্পত্তিটির জ্যামিতিক ব্যাখ্যা নিম্নরূপ:

A = PR এবং B = PQ দিন Q সুতরাং ভেক্টর এ এবং বি দ্বারা গঠিত কোণটি ত্রিভুজ আরকিউপির কোণ P, নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে।

অতএব, সমান্তরাল দিক হিসাবে সমান্তরাল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রের PR এবং PQ রয়েছে - এ ---- বি - পাপ (ϴ), যেহেতু আমরা --A-- একটি বেস হিসাবে নিতে পারি এবং এর উচ্চতা দ্বারা দেওয়া হয় - বি - পাপ (ϴ)।

সুতরাং, আমরা উপসংহারে পৌঁছে যেতে পারি যে --AxB-- হল সমান্তরাল ক্ষেত্রের ক্ষেত্র।

উদাহরণ

চতুর্ভুজ পি (1,,2,3), কিউ (4, 3, –1), আর (2, 2,1) এবং এস (5,7, -3) এর নীচের সূচকে দেওয়া দেখায় যে চতুর্ভুজটি বলেছে একটি সমান্তরাল এবং এটির ক্ষেত্রটি সন্ধান করুন।

এর জন্য আমরা প্রথমে ভেক্টরগুলি নির্ধারণ করি যা চতুর্ভুজের দিকগুলির দিক নির্ধারণ করে। এই:

এ = পিকিউ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

বি = জনসংযোগ = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

সি = আরএস = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

ডি = কিউএস = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

যেমন আমরা দেখতে পাচ্ছি, এ এবং সি এর একই পরিচালক ভেক্টর রয়েছে, যার জন্য আমাদের কাছে উভয়ই সমান্তরাল; বি এবং ডি এর ক্ষেত্রেও একই ঘটনা ঘটে তাই আমরা উপসংহারে পৌঁছলাম যে পিকিউআরএস একটি সমান্তরাল্লাম

এই সমান্তরাল ক্ষেত্রের ক্ষেত্রটি পেতে, আমরা বিএক্সএ গণনা করি:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5 কে + 4 জ - 12 কে - 16 আই - 6 জ + 10 আই

= - 6 আই - 2 জ - 7 কে।

সুতরাং, বর্গক্ষেত্রের অঞ্চলটি হ'ল:

--বিএক্সএ-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89

এটি সিদ্ধান্তে নেওয়া যায় যে সমান্তরাল অঞ্চলটি 89 এর বর্গমূল হবে।

সম্পত্তি 7

দুটি ভেক্টর A এবং B R ^{3 এ} সমান্তরাল হয় এবং কেবলমাত্র AxB = 0 হলে

প্রদর্শন

এটি স্পষ্ট যে যদি A বা B নাল ভেক্টর হয় তবে এটি AxB = 0. পূর্ণ হয় যেহেতু শূন্য ভেক্টর অন্য কোনও ভেক্টরের সাথে সমান্তরাল, তাই সম্পত্তিটি বৈধ।

যদি দুটি ভেক্টরের কোনওই শূন্য ভেক্টর না হয় তবে আমাদের রয়েছে যে তাদের দৈর্ঘ্য শূন্য থেকে পৃথক; এটি উভয় --A-- ≠ 0 এবং --B-- ≠ 0, সুতরাং আমাদের কাছে --AxB-- = 0 হবে এবং কেবল যদি পাপ (ϴ) = 0 হয় এবং এটি ঘটে এবং কেবল যদি ϴ = π বা ϴ = 0।

অতএব, আমরা AxB = 0 উপসংহার করতে পারি যদি এবং কেবলমাত্র ϴ = π বা ϴ = 0 হয়, যা কেবল তখনই ঘটে যখন উভয় ভেক্টর একে অপরের সাথে সমান্তরাল হয়।

সম্পত্তি 8

যদি A এবং B আর ³ এ দুটি ভেক্টর হয় তবে AxB A এবং B উভয় ক্ষেত্রেই লম্ব হয় is

প্রদর্শন

এই প্রমাণের জন্য, আসুন মনে রাখবেন যে দুটি ভেক্টর লম্ব হয় যদি A ∙ B শূন্যের সমান হয়। তদতিরিক্ত, আমরা জানি যে:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, তবে AxA 0 এর সমান Therefore সুতরাং, আমাদের রয়েছে:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0।

এটির মাধ্যমে আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে A এবং AxB একে অপরের জন্য লম্ব। আনুষাঙ্গিকভাবে, আমাদের:

AxB ∙ B = A ∙ BxB।

বিএক্সবি = ০ থেকে, আমাদের রয়েছে:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0।

অতএব, অ্যাক্সবি এবং বি একে অপরের জন্য লম্ব এবং এটি দিয়ে সম্পত্তি প্রদর্শিত হয়। এটি আমাদের পক্ষে খুব কার্যকর, যেহেতু তারা আমাদের বিমানের সমীকরণ নির্ধারণের অনুমতি দেয়।

উদাহরণ 1

P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) এবং আর (2, 1, 3) পয়েন্টগুলির মধ্য দিয়ে যায় এমন বিমানের সমীকরণ পান।

এ = কিউআর = (2 - 3.1 + 2, 3 - 2) এবং বি = পিআর = (2 - 1.1 - 3, 3 - 2) আসুন। তারপরে A = - i + 3j + k এবং B = i - 2j + k। এই তিনটি পয়েন্ট দ্বারা গঠিত প্লেনটি সন্ধান করতে, বিমানের স্বাভাবিক যে ভ্যাক্টরটি পাওয়া যায় এটি সন্ধানের জন্য যথেষ্ট, যা অ্যাক্সবি।

AxB = (- i + 3j + কে) x (i - 2j + কে) = 5 আই + 2 জ - কে।

এই ভেক্টরটির সাথে, এবং পয়েন্টটি পয়েন্ট (1, 3, 2) গ্রহণ করে, আমরা নীচের হিসাবে সমতলটির সমীকরণ নির্ধারণ করতে পারি:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (এক্স - 1) + 2 (y - 3) - (জেড - 2) = 0

সুতরাং, আমাদের কাছে আছে যে সমতলটির সমীকরণ 5x + 2y - z - 9 = 0 হয়।

উদাহরণ 2

পি এর বিন্দু (4, 0, - 2) সমেত সমতলটির সমীকরণটি সন্ধান করুন এবং এটি এক্স - y + z = 0 এবং 2x + y - 4z - 5 = 0 এর প্রতিটি প্লেনের জন্য লম্ব।

প্লেন কুড়াল + এর + সিজেড + ডি = 0 এর একটি সাধারণ ভেক্টর (এ, বি, সি) হ'ল জেনে আমাদের কাছে (1, -1,1) x - y + z = 0 y এর একটি সাধারণ ভেক্টর (2,1, - 4) 2x + y - 4z - 5 = 0 এর একটি সাধারণ ভেক্টর।

অতএব সন্ধানী বিমানের একটি সাধারণ ভেক্টর অবশ্যই লম্ব (1, -1,1) এবং (2, 1, - 4) এর লম্ব হতে হবে। এই ভেক্টরটি হ'ল:

(1, -1,1) এক্স (2,1, - 4) = 3 আই + 6 জ + 3 কে।

তারপরে, আমাদের কাছে রয়েছে যে সন্ধান করা বিমানটি পয়েন্ট পি (4,0, - 2) থাকে এবং একটি সাধারণ ভেক্টর হিসাবে ভেক্টর (3,6,3) থাকে।

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (জেড + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0

অ্যাপ্লিকেশন

সমান্তরালিত আয়তনের গণনা

ট্রিপল স্কেলার পণ্য রয়েছে এমন একটি অ্যাপ্লিকেশনটি এমন একটি সমান্তরালিতের ভলিউম গণনা করতে সক্ষম হবে যার প্রান্তগুলি ভেক্টর এ, বি এবং সি দ্বারা দেওয়া হয়েছে, চিত্রটিতে দেখানো হয়েছে:

আমরা এই প্রয়োগটি নিম্নলিখিত উপায়ে ছাড়িয়ে নিতে পারি: যেমনটি আমরা আগেই বলেছিলাম ভেক্টর অ্যাক্সবি একটি ভেক্টর যা এ এবং বি এর বিমানের পক্ষে স্বাভাবিক, আমাদেরও আছে যে ভেক্টর - (এক্সেক্স) অন্য একটি ভেক্টর যা সাধারণভাবে বলা বিমান ছিল।

আমরা সাধারণ ভেক্টরটি বেছে নিই যা ভেক্টর সি দিয়ে ক্ষুদ্রতম কোণ গঠন করে; সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই, অক্সিবিকে ভেক্টর হতে দিন যার সি এর কোণটি সবচেয়ে ছোট।

আমাদের কাছে রয়েছে যে এক্সএক্সবি এবং সি উভয়েরই একই পয়েন্ট রয়েছে। তদ্ব্যতীত, আমরা জানি যে সমান্তরালুকের ক্ষেত্রফল যে সমান্তরালীর ভিত্তি গঠন করে তা হল --AxB-- - সুতরাং, সমান্তরাল পাঠগুলির উচ্চতা h দ্বারা দেওয়া হলে, আমাদের আছে যে এর আয়তন হবে:

ভি = --এক্সবি - এইচ।

অন্যদিকে, আসুন AxB এবং C এর মধ্যে ডট পণ্যটি বিবেচনা করুন, যা নীচে বর্ণিত হতে পারে:

তবে, ত্রিকোণমিতিক বৈশিষ্ট্য অনুসারে আমাদের কাছে এইচ = - সি - কোস (ϴ) রয়েছে, তাই আমাদের কাছে রয়েছে:

এইভাবে, আমাদের এটি রয়েছে:

সাধারণ পরিভাষায়, আমাদের কাছে আছে যে একটি সমান্তরাল খণ্ডের ভলিউম ট্রিপল স্কেলারের পণ্য এক্সবি ∙ সি এর পরম মান দ্বারা দেওয়া হয়

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), আর = (1, 8, 7) এবং এস = (2, 6, 9) পয়েন্টগুলি দেওয়া, এই পয়েন্টগুলি এমন একটি সমান্তরাল গঠন করে যার প্রান্তগুলি তারা PQ, PR এবং PS। সমান্তরাল পাঠিত বলার ভলিউম নির্ধারণ করুন।

সমাধান

যদি আমরা গ্রহণ করি:

- এ = পিকিউ = (-1, 6, 1)

- বি = জনসংযোগ = (-4, 4, 2)

- সি = পিএস = (-3, 2, 2)

ট্রিপল স্কেলার পণ্য সম্পত্তি ব্যবহার করে, আমাদের আছে:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20)

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52।

অতএব, আমাদের কাছে আছে যে সমান্তরাল পাঠিত ভলিউম 52 হয় is

অনুশীলন 2

যে সমান্তরালীর প্রান্তগুলি A = PQ, B = PR এবং C = PS দ্বারা দেওয়া হয়েছে সেখানে সমান্তরালিতের ভলিউম নির্ধারণ করুন, যেখানে P, Q, R এবং S বিন্দু (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) এবং (2, 2, 5) যথাক্রমে।

সমাধান

প্রথমে আমাদের কাছে এ = (2, 2, -1), বি = (1, -2, 2), সি = (1, -1, 1) রয়েছে।

আমরা AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6) গণনা করি।

তারপরে আমরা AxB ∙ C গণনা করি:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1।

সুতরাং আমরা এই উপসংহারে পৌঁছেছি যে সমান্তরাল পাঠিত ভলিউমটি 1 কিউবিক ইউনিট।

তথ্যসূত্র

1. লেথোল্ড, এল। (1992)। বিশ্লেষণী জ্যামিতির সাথে গণনা। হারলা, এসএ
2. রেজনিক, আর।, হলিডেড, ডি।, এবং ক্রেন, কে। (2001)। পদার্থবিজ্ঞানের খণ্ড ১. মেক্সিকো: মহাদেশীয়।
3. সায়েঞ্জ, জে (এনডি) ভেক্টর ক্যালকুলাস 1 এড। হাইপোটেনজ।
4. স্পিগেল, এমআর (২০১১) ভেক্টরিয়াল বিশ্লেষণ 2ed। ম্যাক গ্রু হিল
5. জিল, ডিজি, এবং রাইট, ডাব্লু। (2011)। বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবল 4ed এর গণনা। ম্যাক গ্রু হিল