বীজগণিতের লক সম্পত্তি: প্রমাণ, উদাহরণ - গণিতশাস্ত্র - 2025

বীজগণিত তালা সম্পত্তি একটি প্রপঞ্চ যে একটি অপারেশন, যেখানে প্রয়োজনীয় শর্ত যে সঙ্গে একটি সেট দুটি উপাদান সম্পর্কিত হয়, পরে 2 উপাদান বলেন অপারেশন অধীনে প্রসেস করা হয়, ফলে এছাড়াও প্রাথমিক সেট জন্যে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা সমষ্টি সংখ্যাগুলি একটি সেট হিসাবে এবং একটি যোগফলকে অপারেশন হিসাবে গ্রহণ করি তবে আমরা সেই সংখ্যার যোগফলের সাথে সম্মানের সাথে পাই lock এর কারণ 2 টি সংখ্যার যোগফল সবসময় অন্য একটি এমনকি সংখ্যার ফল দেয়, এইভাবে লক শর্তটি পূরণ করে।

সূত্র: আনস্প্ল্যাশ ডটকম

বৈশিষ্ট্য

অনেকগুলি বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা বীজগণিতীয় স্থানগুলি বা দেহগুলি নির্ধারণ করে যেমন কাঠামো বা রিংগুলি। যাইহোক, লক সম্পত্তিটি বুনিয়াদি বীজগণিতগুলির মধ্যে সর্বাধিক পরিচিত।

এই বৈশিষ্ট্যগুলির সমস্ত অ্যাপ্লিকেশনগুলি সংখ্যার উপাদান বা ঘটনার উপর ভিত্তি করে নয়। খাঁটি বীজগণিত-তাত্ত্বিক পদ্ধতির কাছ থেকে প্রতিদিনের অনেকগুলি উদাহরণ কাজ করা যায়।

উদাহরণ হতে পারে এমন কোনও দেশের নাগরিকরা যিনি যে কোনও ধরণের আইনী সম্পর্ক ধরে নিতে পারেন, যেমন বাণিজ্যিক অংশীদারিত্ব বা অন্যের মধ্যে বিবাহ। এই অপারেশন বা পরিচালনা পরিচালনার পরে, তারা দেশের নাগরিক রয়ে যায়। এইভাবে দুটি নাগরিকের সম্মানের সাথে নাগরিকত্ব এবং পরিচালনা কার্যক্রম একটি লককে উপস্থাপন করে।

সংখ্যার বীজগণিত

সংখ্যার ক্ষেত্রে, অনেকগুলি বিষয় রয়েছে যেগুলি গণিত এবং বীজগণিতের বিভিন্ন স্রোতে অধ্যয়নের বিষয় হয়ে দাঁড়িয়েছে। সমসাময়িক গবেষণা এবং কাজের জন্য তাত্ত্বিক ভিত্তি হিসাবে পরিবেশন করা এই অধ্যয়নগুলি থেকে প্রচুর পরিমাণে অধ্যাত্ম এবং উপপাদ্য প্রকাশ পেয়েছে।

যদি আমরা সংখ্যাসূচক সেটগুলি নিয়ে কাজ করি আমরা লক সম্পত্তিটির জন্য অন্য একটি বৈধ সংজ্ঞা স্থাপন করতে পারি। একটি সেট এটিকে অন্য সেট বি-র লক বলা হয় যদি এ-এর মধ্যে সবচেয়ে কম সেট থাকে যা বিতে থাকা সমস্ত সেট এবং অপারেশন থাকে।

প্রদর্শন

লক প্রুফটি বাস্তব সংখ্যা আর এর সেটে উপস্থিত উপাদান এবং ক্রিয়াকলাপের জন্য প্রয়োগ করা হয়।

A এবং B দুটি সংখ্যার যাক সেট আর এর সাথে সম্পর্কিত, এই উপাদানগুলির সমাপ্তি আর এর মধ্যে থাকা প্রতিটি ক্রিয়াকলাপের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়।

যোগফল

- যোগফল: ∀ এ ˄ বি ∈ আর → এ + বি = সি ∈ আর

এটি বলার বীজগণিত পদ্ধতিটি যা সত্যিকারের সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত সমস্ত A এবং B এর জন্য আমাদের কাছে A প্লাস বিয়ের যোগফল সি এর সমান, যা আসল সংখ্যারও অন্তর্ভুক্ত।

এই প্রস্তাবটি সত্য কিনা তা যাচাই করা সহজ; যে কোনও আসল সংখ্যার মধ্যে যোগফল চালানো এবং ফলাফলটিও প্রকৃত সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত কিনা তা যাচাই করা যথেষ্ট।

3 + 2 = 5 ∈ আর

-2 + (-7) = -9। আর

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ আর

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ আর

এটি লক্ষ্য করা যায় যে আসল সংখ্যা এবং যোগফলের জন্য লক শর্তটি পূর্ণ হয়। এই উপায়ে শেষ করা যেতে পারে: আসল সংখ্যার যোগফল একটি বীজগণিতিক লক।

গুণ

- গুণন: ∀ এ ˄ বি ∈ আর → এ বি = সি ∈ আর

বাস্তবের অন্তর্গত সমস্ত A এবং B- এর জন্য আমাদের কাছে A দ্বারা B এর গুণন সি এর সমান, এটিও বাস্তবের অন্তর্গত।

পূর্ববর্তী উদাহরণের একই উপাদানগুলির সাথে যাচাই করার সময়, নিম্নলিখিত ফলাফলগুলি পর্যবেক্ষণ করা হয়।

3 এক্স 2 = 6 ∈ আর

-2 এক্স (-7) = 14 ∈ আর

-3 এক্স 1/3 = -1। আর

5/2 এক্স (-2/3) = -5/3 ∈ আর

এটি এই সিদ্ধান্তে যথেষ্ট প্রমাণ হয় যে: আসল সংখ্যার গুণন একটি বীজগণিতিক লক।

এই সংজ্ঞাটি বাস্তব সংখ্যার সমস্ত ক্রিয়াকলাপে বাড়ানো যেতে পারে, যদিও আমরা কিছু ব্যাতিক্রম খুঁজে পাই।

সূত্র: pixabay.com

বিশেষ ক্ষেত্রে র

বিভাগ

প্রথম বিশেষ কেসটি বিভাগ, যেখানে নিম্নলিখিত ব্যতিক্রম দেখা যায়:

∀ এ ˄ বি ∈ আর → এ / বি ∉ আর ↔ বি = ০

আর এর সাথে সম্পর্কিত সমস্ত ক এবং খের জন্য আমাদের কাছে রয়েছে যে বি এর মধ্যে খ বাস্তবের অন্তর্গত নয় এবং কেবল বি শূন্যের সমান হলে।

এই ক্ষেত্রে শূন্য দ্বারা ভাগ করতে না পারার সীমাবদ্ধতা বোঝায়। কারণ শূন্যটি আসল সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত, তারপরে এটি অনুসরণ করে যে: বিভাগটি রিয়েলগুলিতে কোনও লক নয়।

ফাইলিং

এছাড়াও সম্ভাব্য ক্রিয়াকলাপগুলি রয়েছে, বিশেষত র‌্যাডিকালাইজেশনের ক্ষেত্রে, যেখানে ব্যতিক্রমগুলি এমনকি সূচকগুলির র‌্যাডিকাল শক্তির জন্য উপস্থাপিত হয়:

বাস্তবের অন্তর্গত সমস্ত এ এর ​​জন্য, এ এর ​​নবম মূলটি রিয়েলগুলির অন্তর্গত, যদি এবং কেবলমাত্র যদি A ইতিবাচক বাস্তবগুলির অন্তর্ভুক্ত হয় যার একমাত্র উপাদানটি শূন্য হয়।

এইভাবে এটি বোঝা যায় যে এমনকি শিকড়গুলি কেবল ইতিবাচক বাস্তবের জন্যই প্রযোজ্য এবং এই সিদ্ধান্তে পৌঁছে যে সম্ভাব্যতা আর-তে কোনও লক নয়।

লোগারিদম

একটি সমজাতীয় উপায়ে, এটি লগারিদমিক ফাংশনের জন্য দেখা যায়, যা শূন্যের চেয়ে কম বা সমান মানের জন্য সংজ্ঞায়িত হয় না। লগারিদমটি আর-র একটি লক কিনা তা পরীক্ষা করতে নীচের দিকে এগিয়ে যান:

বাস্তবের অন্তর্গত সমস্ত A এর জন্য, এ এর ​​লোগারিথম বাস্তবের অন্তর্গত, যদি এবং কেবল যদি A ইতিবাচক বাস্তবগুলির অন্তর্গত হয়।

নেগেটিভ মান এবং শূন্যগুলিও আর এর সাথে বাদ দিয়ে বলা যেতে পারে যে:

লগারিদম আসল সংখ্যার লক নয়।

উদাহরণ

প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি যোগ এবং বিয়োগের জন্য লকটি পরীক্ষা করুন:

N তে যোগফল

প্রথমটি হল প্রদত্ত সেটটির বিভিন্ন উপাদানগুলির জন্য লক শর্তটি পরীক্ষা করা, যেখানে যদি এটি পর্যবেক্ষণ করা হয় যে কিছু উপাদান শর্তের সাথে ভেঙে যায় তবে একটি লকের অস্তিত্ব স্বয়ংক্রিয়ভাবে অস্বীকার করা যেতে পারে।

এই সম্পত্তিটি ক এবং বি এর সমস্ত সম্ভাব্য মানগুলির জন্য সত্য, নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপে দেখা গেছে:

1 + 3 = 4 ∈ এন

5 + 7 = 12 ∈ এন

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

কোনও প্রাকৃতিক মান নেই যা লক শর্তটি ভেঙে দেয়, তাই এটি উপসংহারে আসে:

যোগফলটি এন-এ একটি লক is

এন মধ্যে বিয়োগ

শর্ত ভঙ্গ করতে সক্ষম প্রাকৃতিক উপাদানগুলি অনুসন্ধান করা হয়; এ - বি নেটিভদের অন্তর্গত।

এটি পরিচালনা করে লক শর্তটি পূরণ না করে এমন প্রাকৃতিক উপাদানগুলির জোড়া খুঁজে পাওয়া সহজ। উদাহরণ স্বরূপ:

7 - 10 = -3 ∉ এ এন

এই উপায়ে আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি:

বিয়োগটি প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটে কোনও লক নয়।

প্রস্তাবিত অনুশীলন

1-লক সম্পত্তিটি যুক্তি সংখ্যার সেট, অপারেশন, বিয়োগ, গুণ এবং বিভাগের জন্য পূর্ণ হয় কিনা তা দেখান।

2-প্রকৃত সংখ্যাগুলির সেটটি পুরো সংখ্যার সেটের লক হলে ব্যাখ্যা করুন।

3-কোন সংখ্যাটি সেট আসল সংখ্যার লক হতে পারে তা নির্ধারণ করুন।

4-সংযোজন, বিয়োগ, গুণ এবং বিভাগ সম্পর্কিত কল্পিত সংখ্যার সেট করার জন্য লকের সম্পত্তি প্রমাণ করুন।

তথ্যসূত্র

1. খাঁটি গণিতের প্যানোরামা: বাউরবাকিস্ট পছন্দ। জিন ডায়ুডোনে é রিভার্ট, 1987।
2. বীজগণিত সংখ্যা তত্ত্ব। আলেজান্দ্রো জে ডাজ ব্যারিগা, আনা আইরিন রামারেজ, ফ্রান্সিসকো টোমস। জাতীয় স্বায়ত্তশাসিত মেক্সিকো বিশ্ববিদ্যালয়, 1975।
3. লিনিয়ার বীজগণিত এবং এর অ্যাপ্লিকেশন। সান্দ্রা ইবেথ ওচোয়া গার্সিয়া, এডুয়ার্ডো গুটিরিজ গনজালেজ।
4. বীজগণিত কাঠামো ভি: দেহ তত্ত্ব। হেক্টর এ মেরক্লেেন। আমেরিকা যুক্তরাষ্ট্রের অঙ্গ সংগঠন, সাধারণ সচিবালয়, 1979
5. চলমান বীজগণিতের পরিচিতি। মাইকেল ফ্রান্সিস এতিয়া, আইজি ম্যাকডোনাল্ড। রিভার্ট, 1973।