তত্ত্ব সেট করুন: বৈশিষ্ট্য, উপাদান, উদাহরণ, অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

সেট তত্ত্ব গাণিতিক যুক্তিবিজ্ঞান যা সত্ত্বা সেট নামক মধ্যে সম্পর্ক নিয়ে গবেষণা জন্য দায়ী একটি শাখা। সেটগুলি একই প্রকৃতির অবজেক্টগুলির সংগ্রহ হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। সাইড অবজেক্টস সেটের উপাদান এবং এটি হতে পারে: সংখ্যা, অক্ষর, জ্যামিতিক চিত্র, শব্দগুলি যা বস্তুর প্রতিনিধিত্ব করে, বস্তুগুলি নিজের এবং অন্যান্য।

এটি 19 শতকের শেষদিকে জর্জি ক্যান্টর ছিলেন, যিনি সেট তত্ত্বের প্রস্তাব করেছিলেন। বিংশ শতাব্দীর অন্যান্য উল্লেখযোগ্য গণিতবিদরা তাদের আনুষ্ঠানিককরণ করেছিলেন: গটলব ফ্রেইজ, আর্নস্ট জেরমেলো, বার্ট্র্যান্ড রাসেল, অ্যাডলফ ফ্রেইঙ্কেল প্রমুখ।

চিত্র 1. সেট এ, বি এবং তাদের ছেদ এ⋂ বি-এর ভেন চিত্রটি (নিজস্ব বিবরণ)।

ভেন ডায়াগ্রামগুলি কোনও সেট উপস্থাপনের গ্রাফিক উপায়, এবং এটিতে একটি বদ্ধ প্লেন চিত্র থাকে যার মধ্যে সেটের উপাদান থাকে।

উদাহরণস্বরূপ, চিত্র 1-এ দুটি সেট A এবং B দেখানো হয়েছে, যার উপাদানগুলিতে অভিন্ন রয়েছে, A এবং B এর মতো উপাদানগুলি এগুলি একটি নতুন সেট গঠন করে যা A এবং B এর ছেদ সেট বলে, যা ফর্মে লেখা হয়েছে প্রতীকী নিম্নরূপ:

এ ∩ বি

বৈশিষ্ট্য

সেটটি একটি আদিম ধারণা যেমন এটি জ্যামিতিতে পয়েন্ট, লাইন বা প্লেনের ধারণা। উদাহরণটি দেখিয়ে বোঝানোর চেয়ে ধারণাটি প্রকাশের আর কোন উপায় নেই:

সেট ই স্পেনের পতাকা রঙ দ্বারা গঠিত। সেটটি প্রকাশের এই উপায়টিকে বোঝা দ্বারা ডাকা হয়। এক্সটেনশন দ্বারা লিখিত একই সেটটি হ'ল:

E = {লাল, হলুদ}

এই ক্ষেত্রে, লাল এবং হলুদ সেট ই উপাদানগুলির উপাদান It এটি লক্ষ করা উচিত যে উপাদানগুলি ব্রেসগুলিতে তালিকাবদ্ধ রয়েছে এবং পুনরাবৃত্তি হয় না। স্প্যানিশ পতাকার ক্ষেত্রে তিনটি বর্ণের ফিতে (লাল, হলুদ, লাল) রয়েছে যার মধ্যে দুটি পুনরাবৃত্তি হয়, তবে পুরোটি প্রকাশিত হওয়ার পরে উপাদানগুলির পুনরাবৃত্তি হয় না।

ধরুন প্রথম তিনটি স্বর বর্ণের দ্বারা সেট করা ভিটামি:

ভি = {এ, ই, আই

ভি এর পাওয়ার সেট, পি (ভি) দ্বারা নির্দেশিত হ'ল সমস্ত সেটের সেট যা ভি এর উপাদানগুলির সাথে গঠিত হতে পারে:

পি (ভি) = {{এ}, {ই}, {আই}, {এ, ই}, {এ, আই}, {ই, আই}, {এ, ই, আই}

সেট এর প্রকার

সীমাবদ্ধ সেট

এটি এমন একটি সেট যা এর উপাদানগুলি গণনাযোগ্য। সীমাবদ্ধ সেটগুলির উদাহরণ হ'ল স্প্যানিশ বর্ণমালার অক্ষর, স্প্যানিশের স্বরবর্ণ, সৌরজগতের গ্রহগুলি, অন্যদের মধ্যে। একটি সীমাবদ্ধ সেটের উপাদানগুলির সংখ্যাটিকে এর কার্ডিনালিটি বলে।

অসীম সেট

অসীম সেটটি সমস্ত হিসাবে বোঝা যায় যে এর উপাদানগুলির সংখ্যা অগণনীয়, যেহেতু এর উপাদানগুলির সংখ্যা যত বড়ই হোক না কেন, আরও উপাদান খুঁজে পাওয়া সর্বদা সম্ভব।

অসীম সেটটির উদাহরণ হ'ল প্রাকৃতিক সংখ্যা N এর সেট, যা নিম্নলিখিত আকারে প্রকাশিত হয়:

এন = {1, 2, 3, 4, 5,…।} যেহেতু প্রাকৃতিক সংখ্যা যত বড়ই হোক না কেন, পরের বৃহত্তম সর্বদা সর্বদা খুঁজে পাওয়া যাবে, অন্তহীন প্রক্রিয়াতে, স্পষ্টতই একটি অসীম সেট। স্পষ্টতই একটি অসীম সেটের কার্ডিনালিটি ∞ ∞

ফাঁকা সেট

এটি এমন সেট যা কোনও উপাদান ধারণ করে না। খালি সেট ভিটি Ø দ্বারা বা ভিতরে থাকা উপাদানগুলি ছাড়াই একজোড়া কী দ্বারা বোঝানো হয়েছে:

ভি = {} = Ø।

খালি সেটটি অনন্য, অতএব এটি "একটি খালি সেট" বলা অবশ্যই ভুল হতে হবে, সঠিক ফর্মটি "খালি সেট" বলতে হবে।

খালি সেটটির বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে আমাদের কাছে এটি যে কোনও সেটের উপসেট রয়েছে:

Ø ⊂ এ

তদ্ব্যতীত, যদি কোনও সেট খালি সেটটির উপসেট হয়, তবে অগত্যা বলা হয়েছে যে সেটটি শূন্যস্থান হবে:

এ ⊂ Ø ⇔ এ = Ø

একাকী সেট

ইউনিট সেট এমন কোনও সেট যা একটি একক উপাদান থাকে। উদাহরণস্বরূপ, পৃথিবীর প্রাকৃতিক উপগ্রহের সেট একটি একক সেট, যার একমাত্র উপাদান চাঁদ। পূর্ণসংখ্যার সেট বি 2 এর চেয়ে কম এবং শূন্যের চেয়ে বেশি কেবলমাত্র উপাদান 1 থাকে, সুতরাং এটি একটি ইউনিট সেট।

বাইনারি সেট

একটি সেট বাইনারি হয় যদি এটিতে কেবল দুটি উপাদান থাকে। উদাহরণস্বরূপ সেট এক্স, যেমন এক্সটি এক্স ^ 2 = 2 এর একটি আসল সংখ্যা সমাধান extension

এক্স = {-√2, + √2

ইউনিভার্সাল সেট

সর্বজনীন সেটটি এমন একটি সেট যা একই ধরণের বা প্রকৃতির অন্যান্য সেট রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যার সর্বজনীন সেট হ'ল আসল সংখ্যার সেট। তবে আসল সংখ্যা হ'ল পুরো সংখ্যা এবং যুক্তিযুক্ত সংখ্যার একটি সার্বজনীন সেট।

মূল বস্তুসমূহ

- সেট মধ্যে সম্পর্ক

সমাবেশগুলিতে, তাদের এবং তাদের উপাদানগুলির মধ্যে বিভিন্ন ধরণের সম্পর্ক স্থাপন করা যেতে পারে। যদি দুটি সেট A এবং B এর মধ্যে হুবহু একই উপাদান থাকে তবে সাম্যের একটি সম্পর্ক স্থাপন করা হয় যা নীচে বর্ণিত:

এ = বি

যদি একটি সেট এ এর ​​সমস্ত উপাদান একটি সেট বি এর অন্তর্গত, তবে বি এর সমস্ত উপাদানগুলি এ এর ​​অন্তর্ভুক্ত না হয়, তবে এই সেটগুলির মধ্যে একটি অন্তর্ভুক্তি সম্পর্ক রয়েছে যা এইভাবে চিহ্নিত করা হয়েছে:

এ ⊂ বি, তবে বি ⊄ এ

উপরের এক্সপ্রেশনটি পড়ে: A হ'ল একটি উপসেট, তবে বি এ এর ​​উপসেট নয় B

কিছু উপাদান বা উপাদান একটি সেটের সাথে সম্পর্কিত তা বোঝাতে, সদস্যপদ প্রতীক used ব্যবহৃত হয়, উদাহরণস্বরূপ বলা যায় যে x উপাদান বা উপাদানগুলি এটের অন্তর্ভুক্ত, এটি প্রতীকীভাবে এইভাবে লেখা হয়েছে:

x ∈ এ

যদি কোনও উপাদান সেট এ এর ​​সাথে সম্পর্কিত না হয় তবে এই সম্পর্কটি এইভাবে লেখা হয়:

এবং ∉ এ

একটি সেট এবং সেটের উপাদানগুলির মধ্যে সদস্যতার সম্পর্ক বিদ্যমান থাকে, পাওয়ার সেটটির একমাত্র ব্যতিক্রম ব্যতীত, পাওয়ার সেটটি হ'ল সেটটির উপাদানগুলির সাথে গঠিত হতে পারে এমন সমস্ত সম্ভাব্য সেটগুলির সংগ্রহ বা সেট।

ধরুন V = {a, e, i}, এর পাওয়ার সেটটি P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i i, {a, e, i}}, সেক্ষেত্রে সেট ভিটি সেট পি (ভি) এর উপাদান হয়ে যায় এবং এটি লেখা যেতে পারে:

ভি ∈ পি (ভি)

- অন্তর্ভুক্তির বৈশিষ্ট্য

অন্তর্ভুক্তির প্রথম সম্পত্তিটি প্রমাণ করে যে প্রতিটি সেট নিজের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত থাকে বা অন্য কথায় এটি নিজের একটি উপসেট হয়:

এ ⊂ এ

অন্তর্ভুক্তির অন্যান্য সম্পত্তি হ'ল ট্রানজিটিভিটি: যদি A হ'ল বি এর একটি উপসেট হয় এবং বি এর পরিবর্তে সি এর একটি উপসেট হয়, তবে এ সি এর একটি উপসেট হয় প্রতীকী আকারে, ট্রানজিটিভিটি সম্পর্কটি নিম্নরূপে লিখিত হয়:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => এ ⊂ সে

নীচে ভেন চিত্রটি অন্তর্ভুক্তির ট্রানজিটিভিটির সাথে সম্পর্কিত:

চিত্র 2. (এ ⊂ বি) ^ (বি ⊂ সি) => এ ⊂ সে

- সেট মধ্যে অপারেশন

ছেদ করা

ছেদটি দুটি সেটগুলির মধ্যে একটি ক্রিয়াকলাপ যা প্রথম দুটি হিসাবে একই ইউনিভার্সাল সেটের একটি নতুন সেটকে জন্ম দেয়। সেই অর্থে এটি একটি বদ্ধ অপারেশন।

প্রতীকীভাবে চৌরাস্তা অপারেশনটি এভাবে তৈরি করা হয়:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B

একটি উদাহরণ নিম্নরূপ: "উপাদানগুলি" শব্দের অক্ষরের সেট এ এবং "পুনরাবৃত্তি" শব্দের বর্ণগুলির সেট বি, এ এবং বি এর মধ্যবর্তী ছেদটি এভাবে লেখা হয়েছে:

এএবিবি = {ই, এল, এম, এন, টি, এস} ⋂ {আর, ই, পি, টি, আই, ডি, ও, এস} = {ই, টি, এস} স্পেনীয় বর্ণমালার অক্ষরের সমষ্টি হ'ল বি এর A এবং B এর সর্বজনীন সেট।

মিলন

দুটি সেটগুলির মিলনটি দুটি সেটের সাধারণ উপাদান এবং দুটি সেটগুলির অ-সাধারণ উপাদানগুলির দ্বারা গঠিত সেট। সেটগুলির মধ্যে ইউনিয়ন অপারেশনটি প্রতীকীভাবে প্রকাশিত হয়:

A∪B = {x / x∈A vx∈B

পার্থক্য

সেট এ বিয়োগ সেট বিয়ের পার্থক্য অপারেশনকে এবি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে। এবি হল একটি নতুন সেট যা এ এ থাকা সমস্ত উপাদান দ্বারা গঠিত এবং যা বি এর অন্তর্গত নয়, প্রতীকীভাবে এটি লিখিত আছে:

এ - বি = {এক্স / এক্স ∈ এ ^ এক্স ∉ বি}

চিত্র 3. ক - বি = {এক্স / এক্স ∈ এ ^ এক্স ∉ বি}

প্রতিসম পার্থক্য

প্রতিসম পার্থক্য হ'ল দুটি সেটগুলির মধ্যে একটি অপারেশন যেখানে ফলস্বরূপ সেটটি দুটি সেটের মধ্যে সাধারণ নয় এমন উপাদানগুলির সমন্বয়ে তৈরি হয়। প্রতিসম পার্থক্যটি প্রতীকীভাবে এর মতো উপস্থাপিত হয়:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (বিএ)}

উদাহরণ

উদাহরণ 1

ভেন চিত্রটি সেট উপস্থাপনের একটি গ্রাফিকাল উপায়। উদাহরণস্বরূপ, শব্দ সেট অক্ষরের সেট সি এর মতো উপস্থাপিত হয়:

উদাহরণ 2

ভেন ডায়াগ্রামের সাহায্যে এটি নীচে দেখানো হয়েছে যে "সেট" শব্দের মধ্যে স্বরবর্ণের সেটটি "সেট" শব্দের অক্ষরের সেটের উপসেট হয়।

উদাহরণ 3

স্প্যানিশ বর্ণমালার বর্ণগুলির সেট Ñ একটি সীমাবদ্ধ সেট, এক্সটেনশন দ্বারা এই সেটটি এভাবে লেখা হয়:

Ñ = {এ, বি, সি, ডি, ই, এফ, জি, এইচ, আই, জে, কে, এল, এম, এন, o, ও, পি, কিউ, আর, এস, টি, ইউ, ভি, ড, x, y, z} এবং এর কার্ডিনালিটি 27।

উদাহরণ 4

স্প্যানিশ ভাষায় স্বরবর্ণের সেট ভি the সেটটির উপসেট Ñ:

ভি ⊂ Ñ অতএব একটি সীমাবদ্ধ সেট।

বিস্তৃত আকারে সীমাবদ্ধ সেট ভি এর লিখিত আছে: ভি = {এ, ই, আই, ও, ইউ its এবং এর কার্ডিনালটি 5।

উদাহরণ 5

A = {2, 4, 6, 8 sets এবং B = {1, 2, 4, 7, 9 the সেটগুলি দেওয়া হয়েছে, AB এবং BA নির্ধারণ করুন।

A - B হ'ল A এর উপাদান যা বি তে নেই:

এ - বি = {6, 8

খ - এ হ'ল বি এর উপাদানগুলি যা এ তে নেই:

বি - এ = {1, 7, 9}

সমাধান ব্যায়াম

অনুশীলনী 1

প্রতীকী আকারে এবং 10 টিরও কম প্রাকৃতিক সংখ্যার সেট পি বর্ধিত করে লিখুন।

সমাধান: পি = {x∈ এন / এক্স <10 ^ এক্স মড 2 = 0

পি = {2, 4, 6, 8}

অনুশীলন 2

ধরা যাক যে প্রাকৃতিক সংখ্যা দ্বারা গঠিত সেট এ 210 এর ফ্যাক্টর, এবং সেট বি যা মূল প্রাকৃতিক সংখ্যা 9 এর চেয়ে কম সংখ্যক দ্বারা গঠিত, উভয় সেটকে এক্সটেনশন দিয়ে নির্ধারণ করুন এবং দুটি সেটের মধ্যে কী সম্পর্ক রয়েছে তা স্থাপন করুন।

সমাধান: সেট এ এর ​​উপাদানগুলি নির্ধারণ করার জন্য, আমাদের প্রাকৃতিক সংখ্যা 210 এর কারণগুলি খুঁজে বের করে শুরু করতে হবে:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

তারপরে সেট এ লেখা আছে:

এ = {2, 3, 5, 7}

আমরা এখন সেট বিটি বিবেচনা করি, যা প্রাইমস 9. এর চেয়ে কম হয়। 1 প্রাইম নয় কারণ এটি প্রাইমের সংজ্ঞাটি পূরণ করে না: "একটি সংখ্যা প্রাইম হয় যদি কেবল এবং তার ঠিক দুটি বিভাজন, 1 এবং নিজেই সংখ্যা থাকে।" 2 সমান এবং একই সাথে এটি প্রধান কারণ এটি একটি প্রাইমের সংজ্ঞা পূরণ করে, 9 এর চেয়ে কম অন্যান্য প্রাইমগুলি 3, 5 এবং 7 হয়। সুতরাং সেট বিটি হ'ল:

বি = {2, 3, 5, 7}

সুতরাং দুটি সেট সমান: এ = বি

অনুশীলন 3

যার উপাদানগুলি x থেকে পৃথক সে সেটটি নির্ধারণ করুন।

সমাধান: সি = {এক্স / এক্স ≠ এক্স}

যেহেতু প্রতিটি উপাদান, সংখ্যা বা বস্তু নিজের সমান, তাই সেট সি খালি সেট ব্যতীত অন্য কোনও হতে পারে না:

সি = Ø

অনুশীলন 4

প্রাকৃতিক সংখ্যার এন এর সেট এবং জেডটি পূর্ণসংখ্যার সেট হয়ে উঠুক। এন ⋂ জেড এবং এন ∪ জেড নির্ধারণ করুন

সমাধান:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z কারণ N N Z

তথ্যসূত্র

1. গারো, এম (২০১৪)। গণিত: চতুর্ভুজ সমীকরণ: চতুর্ভুজ সমীকরণ কীভাবে সমাধান করবে solve মেরিলো গারো
2. হিউসলার, ইএফ, এবং পল, আরএস (2003)। পরিচালনা এবং অর্থনীতি জন্য গণিত। পিয়ারসন শিক্ষা.
3. জিমনেজ, জে।, রদ্রিগেজ, এম।, এস্ট্রদা, আর। (2005) গণিত 1 এসইপি। থ্রেশহোল্ড
4. প্রিকিয়াডো, সিটি (2005)। গণিত কোর্স তৃতীয়। সম্পাদকীয় প্রগ্রেসো।
5. গণিত 10 (2018)। "সীমাবদ্ধ সেটগুলির উদাহরণ"। পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: matematicas10.net থেকে
6. উইকিপিডিয়া। সেটতত্ত্ব. পুনরুদ্ধার করা হয়েছে: এস.ইউইকিভিডিয়া