ইউক্লিডের উপপাদ্য: প্রমাণ, প্রয়োগ এবং অনুশীলন - গণিতশাস্ত্র - 2025

ইউক্লিডের উপপাদ্য একটি লাইন আঁকা একটি ত্রিভুজ বৈশিষ্ট্য দেখায় যে ভাগ এটা দুটি নতুন ত্রিভুজ অনুরূপ এবং, ঘুরে, মূল ত্রিভুজ মতই মধ্যে; তারপরে, আনুপাতিকতার একটি সম্পর্ক আছে।

ইউক্লিড ছিলেন প্রাচীন যুগের অন্যতম সেরা গণিতবিদ এবং জ্যামিতিবিদ যিনি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যের বেশ কয়েকটি প্রমাণ পরিবেশন করেছিলেন। তার প্রধান নামগুলির মধ্যে একটি হ'ল তার নাম, যার ব্যাপক প্রয়োগ রয়েছে।

এটি ঘটেছে কারণ এই উপপাদ্যের মাধ্যমে এটি ডান ত্রিভুজটিতে বিদ্যমান জ্যামিতিক সম্পর্ককে একটি সহজ উপায়ে ব্যাখ্যা করেছে যেখানে ত্রিভুজের পাগুলি অনুমানের উপর তাদের অনুমানের সাথে সম্পর্কিত।

সূত্র এবং বিক্ষোভ

ইউক্লিডের উপপাদ্যটি প্রস্তাব করেছে যে প্রতিটি ডান ত্রিভুজের মধ্যে যখন একটি রেখা টানা হয় - যা উচ্চরূপকে প্রতিনিধিত্ব করে যা অনুভূতির সাথে সম্মুখে ডান কোণটির সাথে শীর্ষে - দুটি ডান ত্রিভুজ মূল থেকে গঠিত হয়।

এই ত্রিভুজগুলি একে অপরের সাথে সমান এবং মূল ত্রিভুজগুলির সাথেও সমান হবে, যার অর্থ তাদের অনুরূপ দিকগুলি একে অপরের সাথে সমানুপাতিক:

তিনটি ত্রিভুজের কোণ একত্রিত; এর অর্থ হ'ল, যখন তারা তাদের ভার্টেক্স সম্পর্কে 180 ডিগ্রি ঘোরানো হয়, তখন একটি কোণ অন্যটির সাথে মিলে যায়। এ থেকে বোঝা যায় যে তারা সবাই এক হবে।

এইভাবে, তিনটি ত্রিভুজের মধ্যে যে মিল রয়েছে তা তাদের কোণগুলির সমতা দ্বারাও যাচাই করা যেতে পারে। ত্রিভুজগুলির মিল থেকে ইউক্লিড দুটি উপপাদ্য থেকে এগুলির অনুপাত স্থাপন করে:

- উচ্চতা উপপাদ্য।

- পায়ে উপপাদ্য।

এই উপপাদ্যের একটি বিস্তৃত প্রয়োগ রয়েছে। প্রাচীনকালে এটি উচ্চতা বা দূরত্ব গণনা করতে ব্যবহৃত হত, ত্রিকোণমিতির জন্য দুর্দান্ত অগ্রিম উপস্থাপন করে।

বর্তমানে এটি গাণিতিক, যেমন ইঞ্জিনিয়ারিং, পদার্থবিজ্ঞান, রসায়ন এবং জ্যোতির্বিদ্যার উপর ভিত্তি করে বিভিন্ন ক্ষেত্রে অন্যান্য ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা হয়।

উচ্চতা উপপাদ্য

এই উপপাদ্যে এটি প্রতিষ্ঠিত হয় যে কোনও ডান ত্রিভুজের ক্ষেত্রে অনুভূতির সাথে সমানভাবে ডান কোণ থেকে টানা উচ্চতা হ'ল জ্যামিতিক সমানুপাতিক গড় (উচ্চতার বর্গ) যেটি অনুমানের উপর নির্ধারণ করে তার পাগুলির অনুমানের মধ্যে।

এটি হ'ল উচ্চতার বর্গক্ষেত্রটি অনুমান করা কাঠগুলির গুণনের সমান হবে:

এইচ _সি ² = মি _* এন

প্রদর্শন

একটি ত্রিভুজটি এবিসি দেওয়া, যা ডান দিকের শীর্ষে রয়েছে, উচ্চতার চক্রান্তটি দুটি অনুরূপ ডান ত্রিভুজ তৈরি করে, এডিসি এবং বিসিডি; সুতরাং, তাদের সম্পর্কিত দিকগুলি আনুপাতিক:

এমন একটি উপায়ে যে উচ্চতা এইচ _সি যেটি বিভাগের সিডির সাথে মিলে যায়, হাইপেনপেনস AB = c এর সাথে মিলে যায়, সুতরাং আমাদের রয়েছে:

পরিবর্তে, এটি এর সাথে মিলে যায়:

হাইপোপেনিউজ (এইচ _সি) এর সমাধান করা, সাম্যের দুটি সদস্যকে গুণিত করার জন্য:

এইচ _{সি *} এইচ _{সি =} মি _* এন

এইচ _সি ² = মি _* এন

সুতরাং, অনুমানের মান দ্বারা দেওয়া হয়:

লেগ উপপাদ্য

এই উপপাদ্যটিতে এটি প্রতিষ্ঠিত হয়েছে যে, প্রতিটি ডান ত্রিভুজের প্রতিটি স্তরের পরিমাপ জ্যামিতিক সমানুপাতিক গড় (প্রতিটি পায়ের বর্গ) হবে অনুমিতি (পরিপূর্ণ) এবং এটির উপরের প্রতিটিটির অনুমানের পরিমাপের মধ্যে:

খ ² = সি _* মি

a ² = c _* n

প্রদর্শন

একটি ত্রিভুজটি এবিসি দেওয়া, যা ডান দিকের সিটি এর ঠিক ঠিক এইভাবে অনুভূতিকে সি করা হয়, উচ্চতার চক্রান্ত করার সময় (জ) পা এবং ক এর অনুমানগুলি নির্ধারিত হয়, যা যথাক্রমে মি এবং এন অংশে থাকে এবং কোনটি থাকে অনুমান।

সুতরাং, ডান ত্রিভুজ এটিবিতে আঁকা উচ্চতা দুটি অনুরূপ ডান ত্রিভুজ, এডিসি এবং বিসিডির উত্পন্ন করে, যাতে সংশ্লিষ্ট দিকগুলি সমানুপাতিক হয়, যেমন:

ডিবি = এন, যা অনুমানের উপর লেগ সিবির প্রক্ষেপণ।

AD = m, যা অনুমানের উপর লেগ এসির প্রক্ষেপণ।

তারপরে, অনুমান গ এর অনুমানের পাগুলির যোগফল দ্বারা নির্ধারিত হয়:

সি = মি + এন

ত্রিভুজগুলির এডিসি এবং বিসিডির মিলের কারণে আমাদের রয়েছে:

উপরেরটি একই:

সাম্যের দুই সদস্যকে গুণনের জন্য লেগ "এ" সলভ করা, আমাদের রয়েছে:

a _* a = c _* n

a ² = c _* n

সুতরাং, "ক" লেগের মান দ্বারা দেওয়া হয়:

একইভাবে, ত্রিভুজগুলির এসিবি এবং এডিসির মিলের কারণে আমাদের রয়েছে:

উপরেরটি সমান:

সমতা দুটি সদস্যকে গুণিত করার জন্য "বি" লেগের জন্য সমাধান করা, আমাদের রয়েছে:

খ _* বি = সি _* মি

খ ² = সি _* মি

সুতরাং, লেগ "বি" এর মান দ্বারা দেওয়া হয়:

ইউক্লিডের উপপাদ্যগুলির মধ্যে সম্পর্ক

উচ্চতা এবং পাগুলির সাথে সম্পর্কিত তত্ত্বগুলি একে অপরের সাথে সম্পর্কিত কারণ উভয়ের পরিমাপটি ডান ত্রিভুজটির অনুমানের সাথে সম্মত হয়।

ইউক্লিডের উপপাদ্যগুলির সম্পর্কের মধ্য দিয়ে উচ্চতার মানও পাওয়া যায়; লেগের উপপাদ্য থেকে m এবং n এর মানগুলি সমাধান করে এটি সম্ভব এবং তারা উচ্চতার উপপাদ্যটিতে প্রতিস্থাপন করা হবে। এই উপায়ে এটি পূর্ণ হয় যে উচ্চতাটি অনুপাত দ্বারা বিভক্ত পাগুলির গুণনের সমান is

খ ² = সি _* মি

m = b ² ÷ c

a ² = c _* n

n = a ² ÷ c

উচ্চতার উপপাদ্যে আমরা এম এবং এন প্রতিস্থাপন করি:

এইচ _সি ² = মি _* এন

এইচ _সি ² = (খ ² ÷ সি) _* (একটি ² ÷ সি)

h _সি = (খ ² _* এ ²) ÷ সি

সমাধান ব্যায়াম

উদাহরণ 1

ত্রিভুজটি ABC দেওয়া হয়েছে, ঠিক A এ, AC এবং AD এর পরিমাপ নির্ধারণ করুন, যদি AB = 30 সেমি এবং বিডি = 18 সেমি

সমাধান

এক্ষেত্রে আমাদের অনুমানিত পাগুলির একটি (বিডি) এবং মূল ত্রিভুজ (এবি) এর একটি পায়ের পরিমাপ রয়েছে। এইভাবে, লেগের উপপাদ্য প্রয়োগ করা যেতে পারে লেগ বিসি এর মান সন্ধান করতে।

এবি ² = বিডি _* বিসি

(30) ² = 18 _* বিসি

900 = 18 _* বিসি

বিসি = 900 ÷ 18

বিসি = 50 সেমি

লেগ সিডির মান জানা যায় যে বিসি = 50:

সিডি = বিসি - বিডি

সিডি = 50 - 18 = 32 সেমি

এখন লেগের উপপাদ্য প্রয়োগ করে লেগ এসির মান নির্ধারণ করা সম্ভব:

এসি ² = সিডি _* বিডি

এসি ² = 32 _* 50

এসি ² = 160

এসি = √1600 = 40 সেমি

উচ্চতা (AD) এর মান নির্ধারণ করার জন্য, উচ্চতা উপপাদ্য প্রয়োগ করা হয়, যেহেতু প্রজেক্টড পা সিডি এবং বিডির মানগুলি জানা যায়:

AD ² = 32 _* 18

AD ² = 576

AD = √576

AD = 24 সেমি

উদাহরণ 2

খণ্ডগুলির পরিমাপগুলি জেনে ডানদিকে N তে ঠিক ত্রিভুজ MNL এর উচ্চতা (h) এর মান নির্ধারণ করুন:

এনএল = 10 সেমি

এমএন = 5 সেমি

পিএম = 2 সেমি

সমাধান

আমাদের কাছে হাইপোপেনিউজ (পিএম) -এর সাথে প্রত্যাশিত পাগুলির মধ্যে একটির পাশাপাশি মুল ত্রিভুজটির পাগুলির পরিমাপ রয়েছে। এইভাবে, অন্যান্য উপস্থাপিত লেগের (এলএন) মান খুঁজতে লেগের উপপাদ্য প্রয়োগ করা যেতে পারে:

এনএল ² = পিএম _* এলএম

(10) ² = 5 _* এলএম

100 = 5 _* এলএম

পিএল = 100 ÷ 5 = 20

যেহেতু পা এবং অনুমানের মূল্য ইতিমধ্যে জানা গেছে, উচ্চতা এবং পাগুলির উপপাদ্যগুলির সম্পর্কের মধ্য দিয়ে উচ্চতার মান নির্ধারণ করা যেতে পারে:

এনএল = 10

এমএন = 5

এলএম = 20

h = (খ ² _* এ ²) ÷ সি।

এইচ = (10 ² _* 5 ²) ÷ (20)

এইচ = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 সেমি।

তথ্যসূত্র

1. ব্রাউন, ই। (2011)। বিশৃঙ্খলা, ফ্র্যাক্টাল এবং অদ্ভুত জিনিস। অর্থনৈতিক সংস্কৃতির তহবিল।
2. ক্যাবেরা, ভিএম (1974)। আধুনিক গণিত, খণ্ড 3।
3. ড্যানিয়েল হার্নান্দেজ, ডিপি (2014)। তৃতীয় বর্ষ গণিত। কারাকাস: স্যান্টিলানা।
4. এনসাইক্লোপিডিয়া ব্রিটানিকা, i। (উনিশশ পঁচানব্বই). হিস্পানিক এনসাইক্লোপিডিয়া: ম্যাক্রোপিডিয়া। এনসাইক্লোপিডিয়া ব্রিটানিকা পাবলিশার্স।
5. ইউক্লিড, আরপি (1886)। ইউক্লিডের জ্যামিতির উপাদানসমূহ।
6. গার্ডিও, এজে (2000) গণিতের উত্তরাধিকার: ইউক্লিড থেকে নিউটন, তাদের বইগুলির মাধ্যমে প্রতিভা। সেভিলা বিশ্ববিদ্যালয়।